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新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 §3.1.2 函数的表示法(2份打包,原卷版+教师版)
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3.1.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息.知识点 函数的表示法思考 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗?答案为:不一定.并不是所有的函数都可以用解析式表示,不仅如此,图象法也不适用于所有函数,如D(x)=列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段.特别提醒 函数三种表示法的优缺点比较1.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)=________.x1≤x<222<x≤4f(x)123 2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其定义域是________. 3.已知f(x)的图象如图,则f(x)的值域为________.4.若一次函数f(x)的图象经过点(0,1)和(1,2),则该函数的解析式为________.一、函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t=ax+.当x=2时,t=100;当x=14时,t=28,且参加此项任务的人数不能超过20人.(1)写出函数t的解析式;(2)用列表法表示此函数;(3)画出函数t的图象. 反思感悟 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主. 跟踪训练1 已知函数f(x)=﹣x﹣1,x∈{1,2,3,4},试分别用图象法和列表法表示函数y=f(x). 二、函数的图象的画法例2 作出下列函数的图象:(1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y=,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[﹣2,2]. 延伸探究根据作出的函数图象求其值域. 反思感悟 作函数y=f(x)图象的方法(1)若y=f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍.(2)若y=f(x)不是所学过的函数之一,则要按:①列表;②描点;③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象. 跟踪训练2 作出下列函数的图象:(1)y=1﹣x(x∈Z); (2)y=x2﹣4x+3,x∈[1,3]. 三、求函数的解析式例3 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x);(2)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x﹣1)=2x2﹣4x,求f(x);(3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f ()+f(x)=x(x≠0),求f(x). 反思感悟 求函数解析式的四种常用方法(1)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.(2)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.(3)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.提醒:应用换元法求函数解析式时,务必保证函数在换元前后的等价性.跟踪训练3 (1)已知f(x+1)=x2﹣3x+2,求f(x);(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,求f(x). 函数图象的应用典例 已知函数f(x)=x2﹣2x(x>1或x<﹣1),(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)的图象与y=m有两个交点,求实数m的取值范围. [素养提升] (1)函数图象很直观,在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质,依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点.(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形分析数学问题,是直观想象的核心内容,也是数学的核心素养.1.函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的定义域是( )A.R B.(﹣∞,1)∪(1,+∞)C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D.(﹣1,0)2.已知函数f(2x﹣1)=4x+6,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=2x+8 B.f(x)=2x+1 C.f(x)=2x+2 D.f(x)=4x+23.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为( )x123f(x)230 A.3 B.2 C.1 D.0 4.已知函数f(x)由下表给出,则f(f(3))=________.x1234f(x)32415.已知二次函数f(x)的图象经过点(﹣3,2),顶点是(﹣2,3),则函数f(x)的解析式为________________.1.知识清单:(1)函数的表示法.(2)函数的图象.(3)求函数解析式.2.方法归纳:待定系数法、换元法、数形结合法.3.常见误区:求函数解析式时易忽视定义域.1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( )A.y=2x B.y=2x(x∈R)C.y=2x(x∈{1,2,3,…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4}) 2.已知f(1﹣2x)=,则f()的值为( )A.4 B. C.16 D. 3.已知f(x﹣1)=x2+4x﹣5,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=x2+6x B.f(x)=x2+8x+7C.f(x)=x2+2x﹣3 D.f(x)=x2+6x﹣104.已知函数f(2x+1)=3x+2,且f(a)=2,则a的值为( )A.﹣1 B.5 C.1 D.85.李明在放学回家的路上,开始时和同学边走边讨论问题,走得比较慢,后来他们索性停下来将问题彻底解决,再后来他加快速度回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )6.已知函数f(x)=x﹣,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为________. 7.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)=6x+4,则f(x)=________. 8.某航空公司规定,乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的最大重量为________ kg. 9.画出二次函数f(x)=﹣x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题:(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小;(2)求函数f(x)的值域. 10.(1)已知函数f(x+1)=3x+2,求f(x);(2)已知f (x﹣)=x2+,求f(x);(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)﹣2f(﹣x)=1+2x,求f(x). 11.函数y=的大致图象是( ) 12.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式为( )A.y=20﹣2x B.y=20﹣2x(0<x<10)C.y=20﹣2x(5≤x≤10) D.y=20﹣2x(5<x<10) 13.设f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),且g(f(x))=x2﹣x+1,则a的值为________. 14.已知函数F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且F()=16,F(1)=8,则F(x)的解析式为________________.15.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+b满足f(3)=3,且f(x)≥x恒成立,求f(x)的解析式. 第2课时 分段函数学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.知识点 分段函数1.一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.3.作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象.思考 分段函数是一个函数还是几个函数?答案为:分段函数是一个函数,而不是几个函数.1.分段函数由几个函数构成.( )2.函数f(x)=是分段函数.( )3.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系,但它们是一个函数.( )4.分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.( )一、分段函数求值例1 已知函数f(x)=(1)求f(﹣5),f(1),f (f(﹣));(2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围. 延伸探究1.本例条件不变,若f(a)=3,求实数a的值. 2.本例条件不变,若f(x)>2x,求x的取值范围. 反思感悟 (1)分段函数求值的方法①先确定要求值的自变量属于哪一段区间.②然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.跟踪训练1 (1)已知函数f(x)=则f(f(1))等于( )A.﹣ B.2 C.4 D.11(2)函数f(x)=若f(x0)=8,则x0=________.二、分段函数的图象及应用例2 已知函数f(x)=﹣x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).(1)分别用图象法和解析式表示φ(x);(2)求函数φ(x)的定义域,值域. 反思感悟 分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.(2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.跟踪训练2 设x∈R,则函数y=2|x﹣1|﹣3|x|的值域为________. 三、分段函数的实际应用例3 如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象. 反思感悟 分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画.(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式. 跟踪训练3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象. 1.函数f(x)=|x﹣1|的图象是( )2.著名的Dirichlet函数D(x)= 则D等于( )A.0 B.1C. D.3.已知函数f(x)=则f(2)=________.4.函数y=的定义域为________,值域为________.5.函数f(x)=若f(x)=3,则x的值是________.1.知识清单:(1)分段函数的概念及求值.(2)分段函数的图象及应用.2.方法归纳:分类讨论、数形结合法.3.常见误区:(1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.1.设函数f(x)=则f(f(3))等于( )A. B.3 C. D.2.设x∈R,定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是( )3.一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到达下一站停车,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶,下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )4.设函数f(x)=若f(f())=4,则b等于( )A.1 B. C. D. 5.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为( )A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 6.已知f(x)=则f (-)+f ()=________. 7.函数f(x)=的定义域为________,值域为________. 8.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是__________________. 9.已知函数f(x)=1+(﹣2<x≤2).(1)用分段函数的形式表示函数f(x);(2)画出函数f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的值域. 10.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%某职工每月收入为x元,应交纳的税额为y元.(1)请写出y关于x的函数关系式;(2)有一职工八月份交纳了54元的税款,请问该职工八月份的工资是多少? 11.设f(x)=则f(5)的值是( )A.24 B.21 C.18 D.1612.已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1﹣a)=f(1+a),则a的值为________.13.已知函数f(x)=则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为______________.14.若定义运算a⊙b=则函数f(x)=x⊙(2﹣x)的值域为________.15.已知函数f(x)=若f(1﹣x)=2,则x的取值范围是( )A.∅ B.[0,2] C.[﹣2,0] D.{﹣1}∪[0,2]