人教版五年级下册因数和倍数优秀课后测评

这是一份人教版五年级下册因数和倍数优秀课后测评，共17页。试卷主要包含了因数，因数与倍数的关系，找一个数的因数的方法，找一个数的倍数的方法，7的倍数，5等内容，欢迎下载使用。


第2讲 因数与倍数（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）


1、因数、倍数的含义。
如果c÷a=b（a，b，c都是不为0的整数），那么a，b就是c的因数，c就是a，b的倍数。
(1)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
(2)一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
2、因数与倍数的关系。
因数与倍数是相互依存的，二者不能单独存在。
3、找一个数的因数的方法。
列除法算式找，用此数除以大于或等于1而小于或等于它本身的整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。
4、找一个数的倍数的方法。
求一个数的倍数，就是用这个数依次与非零自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。

1、如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。
2、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
3、不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。
4、无限多的两种数量不能比较多少。

【易错一】根据35÷5＝7，我们可以说（    ）。
A．5是因数 B．35是倍数 C．35是5的倍数
【解题思路】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
【完整解答】根据35÷5＝7，我们可以说35是5、7的倍数，5、7是35的因数。
故答案为：C
【易错点】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
【易错二】一筐苹果，不到70个，如果4个4个的数正好数完，这筐苹果最多有多少个？
【解题思路】先找出27的因数，再找出其中大于2且小于8的因数，即可解题。
【完整解答】27＝1×27＝3×9
所以，27的因数有1、3、9、27，其中3大于2小于8。所以，他们可以分成3组。
【易错点】本题考查了因数，掌握因数的求法是解题的关键。
【易错三】第24届冬奥会于2月4日20：04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有文化魅力。那么24有（    ）个因数。
A．6 B．8 C．10
【解题思路】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。
【完整解答】24÷1＝24
24÷2＝12
24÷3＝8
24÷4＝6
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个因数。
故答案为：B
【易错点】掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。
【易错四】把36块月饼装在几个相同的盒子里，每个盒子的月饼同样多，刚好装完，有几种装法？（可以列表格表示）
【解题思路】求出月饼数量因数的个数就是所有不同的装法，因装在几个相同的盒子里，所以排除全部装在1个盒子里的情况。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【完整解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36
每盒数量
18
12
9
6
4
3
2
1
盒数
2
3
4
6
9
12
18
36
答：刚好装完，有8种装法。
【易错点】关键是会求一个数的因数，通过月饼数量的因数个数即可确定所有不同的装法。
【易错五】把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？
【解题思路】先把18分解质因数：18＝2×3×3，可以看出：18的因数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个因数，所以，一共有4种不同的分法。
【完整解答】18的因数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个因数，
答：一共有4种不同的分法。
【易错点】此题考查的是整除性质的应用，解答此题关键是找出18的因数。
【易错六】妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？
【解题思路】利用因数和倍数的概念，结合题意直接解题即可。
【完整解答】答：每2个装一盒，能正好装完，因为16是2的倍数；每5个装一盒，不能正好装完，因为16不是5的倍数。
【易错点】本题考查了因数和倍数的应用，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。
【易错七】体操表演队由48名同学组成，表演时要排成长方形队形，都可以怎样排？（至少写出3种排法）

【解题思路】根据题意可知，就是找48的因数，根据求一个数的因数的方法，直接列举即可。
【完整解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
因为每行或每列的人数不得少于3人，所以可以排3行，每行16人、也可以排4行，每行12人、也可以排6行，每行8人。
【易错点】解答本题的关键是将问题转化为求48的因数，根据找因数的方法将48的因数一一列举出来，再根据题目中的其他信息进一步解答即可。

一、选择题
1．第24届冬奥会于2月4日20：04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有文化魅力。那么24有（    ）个因数。
A．6 B．8 C．10
2．下面各组数中，（    ）的第一个数是第二个数的倍数。
A．18和8 B．42和0.7 C．24和8 D．9和5
3．一个数的最小因数与它的最小倍数的和是29，这个数是（    ）。
A．29 B．27 C．28
4．一个非零自然数的最大因数（    ）它的最小倍数。
A．等于 B．小于 C．大于
5．40000的因数的个数与4的倍数的个数相比，（    ）。
A．40000的因数的个数多 B．4的倍数的个数多 C．两者一样多
6．8的因数有（    ）个，倍数有（    ）个。
A．4；无数 B．4；6 C．无数；4
7．篮子里的苹果，不能一次都拿走，也不能每次都只拿一个，每次要拿得一样多，最后一次正好拿完，有（    ）种不同的拿法。

A．10 B．5 C．6
8．一种长方形瓷砖的尺寸是5分米×4分米。下面的（    ）地面能用这种瓷砖刚好铺满。
A．8m×3.2m B．5m×1.7m C．6m×1.9m D．7m×2.6m
二、填空题
9．两个自然数相乘，积是48的乘法算式有( )个。（交换乘数位置后的算式看作与原来不同的算式。）
10．根据45÷15＝3，可以说( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。
11．根据算式42÷7＝6可知：( )是( )和( )的倍数。
12．有27名党员同志报名参加社区志愿者服务工作。社区负责人把他们分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于8。他们可以分成( )组。
13．因为18÷6＝3，所以18是6的( )，3是18的( )。
14．一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a，b，c，d，e，f。已知a＋f＝46，那么b＋e＝( )。
15．把36个球装在盒子里，每个盒子装得同样多，共有( )种不同的装法。（注意：一个盒子里装36个也算一种哦）
16．( )既是12的因数，又是12的倍数。
三、判断题
17．用12个小正方形只能拼成两种不同的长方形。( )
18．一个数越大，它的因数越多。( )
19．0除外，1是所有整数的因数。( )
20．一个不为0的自然数的最大因数减去它最小倍数，差是0。( )
四、解答题
21．有两个自然数，第一个数是36的最大因数，另外一个数比第一个数的6倍多5，这两个自然数的和是多少？



22．把36块月饼装在几个相同的盒子里，每个盒子的月饼同样多，刚好装完，有几种装法？（可以列表格表示）



23．三村小学五2班有32名学生排队，要求每行的人数相同，可以排成几行？有几种排法？



24．把64个球平均装在一些盒子里，刚好装完。盒子的个数可能是多少？如果有67个球呢？



25．选择包装盒并说明理由。

设计与上面不同的其它包装方式，并给予说明。



26．致远书店要把80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案刚好合适，没有剩余？




27．猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？



28．把48块月饼分装在盒子里，每个盒子装同样多，既不能一盒装一个，也不能一盒装完，有几种不同的装法？



29．5（1）班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？














参考答案
1．B
【解题思路】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。
【完整解答】24÷1＝24
24÷2＝12
24÷3＝8
24÷4＝6
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个因数。
故答案为：B
【易错点】掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。
2．C
【解题思路】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，据此解答。
【完整解答】A．18÷8＝2.25，2.25不是整数，不合题意；
B．42÷0.7＝60，0.7不是整数，不合题意；
C．24÷8＝3，所以24是8的倍数，符合题意；
D．9÷5＝1.8，1.8不是整数，不合题意。
故答案为：C
【易错点】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
3．C
【解题思路】根据一个数的因数和倍数的特征可知，一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。据此解答。
【完整解答】根据分析得，一个数的最小因数是1，一个数的最小倍数是它本身；
已知一个数的最小因数与它的最小倍数的和是29，
可得29－1＝28
即这个数是28。
故答案为：C
【易错点】此题的解题关键是理解掌握一个数的因数和倍数的特征。
4．A
【解题思路】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
【完整解答】一个非零自然数的最大因数和最小倍数都是它本身，一个非零自然数的最大因数等于它的最小倍数。
故答案为：A
【易错点】关键是理解因数和倍数的含义，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
5．B
【解题思路】根据一个数的因数是有限的，一个数的倍数是无限的来解题。
【完整解答】因为一个数的因数是有限的，一个数的倍数是无限的，所以40000的因数的个数与4的倍数的个数相比，4的倍数的个数多。
故答案为：B
【易错点】此题需要学生掌握一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
6．A
【解题思路】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；
求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，一个数倍数的个数是无限的，据此解答。
【完整解答】8÷1＝8
8÷2＝4
8的因数有：1，2，4，8，一共4个因数，
8×1＝8
8×2＝16
8×3＝24
8×4＝32
……
8的倍数有：8，16，24，32，…
所以，8的因数有4个，倍数有无数个。
故答案为：A
【易错点】掌握求一个数因数和倍数的方法，一个数因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。
7．A
【解题思路】利用乘法求出60的所有因数，排除掉1和它本身两个因数，即可解答。
【完整解答】60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10
60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，所以共有12种拿法，如果去掉每次只拿一个和全部一次拿走，有10种拿法。
故答案为：A
【易错点】本题的关键是用乘法算式找到一个数的因数，本题注意排除特殊的因数。
8．A
【解题思路】根据题意可知，地面的长、宽必须是长方形瓷砖的长和宽的倍数。根据长度单位相邻单位之间的进率，1米＝10分米，把用米作单位的数化成用分米作单位的数，再根据求一个数的倍数的方法进行解答即可。
【完整解答】A．8米＝80分米，3.2米＝32分米，80是5的倍数，32是4的倍数，所以能用这种瓷砖刚好铺满；
B．5米＝50分米，1.7米＝17分米，50是5的倍数，但是17不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
C．6米＝60分米，1.9米＝19分米，60是5的倍数，但是19不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
D．7米＝70分米，2.6米＝26分米，70是5的倍数，但是26不是4的倍数，所以不能用这种瓷砖刚好铺满；
故答案为：A
【易错点】此题考查的目的是理解掌握长方形的特征及应用，倍数的意义及应用，长度单位相邻单位之间的进率及换算的方法的应用。
9．10
【解题思路】可根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。即可写出所有的乘法算式。
【完整解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
1×48＝48，48×1＝48
2×24＝48，24×2＝48
3×16＝48，16×3＝48
4×12＝48，12×4＝48
6×8＝48，8×6＝48
一共有10个；
所以，两个自然数相乘，乘积是48的乘法算式有10个。
【易错点】此题的解题关键是根据找一个数的因数的方法，找出积是48的所有乘法算式。
10．     45     15     3     15     3     45
【解题思路】在整除除数中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数；除数和商是被除数的因数。据此填空即可。
【完整解答】由分析可知：
根据45÷15＝3，可以说45是15和3的倍数，15和3是45的因数。
【易错点】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。
11．     42     7     6
【解题思路】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数；因数与倍数是相互依存的；必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
【完整解答】根据算式42÷7＝6可知：42是7和6的倍数。
【易错点】掌握因数和倍数的意义是解题的关键。
12．3
【解题思路】先找出27的因数，再找出其中大于2且小于8的因数，即可解题。
【完整解答】27＝1×27＝3×9
所以，27的因数有1、3、9、27，其中3大于2小于8。所以，他们可以分成3组。
【易错点】本题考查了因数，掌握因数的求法是解题的关键。
13．     倍数     因数
【解题思路】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。
【完整解答】由分析可得，因为18÷6＝3，所以18是6的倍数，3是18的因数。
【易错点】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
14．18
【解题思路】一个数的最小因数是1，最大因数是这个数本身，根据a＋f＝46求出这个数，最后求出这个数的所有因数，即可求得。
【完整解答】分析可知，a＝1，a＋f＝46，则f＝46－1＝45。
45÷1＝45
45÷3＝15
45÷5＝9
45的因数有：1，3，5，9，15，45。
由上可知，b＝3，e＝15，b＋e＝3＋15＝18。
【易错点】根据一个数的最小因数和最大因数求出这个自然数是解答题目的关键。
15．9
【解题思路】分析题意，求一共有几种不同的装法就是在求36有几个不同的因数。所以，先找出36的因数，从而利用加法求出因数的个数，即装法的种数。
【完整解答】36＝1×36，每个盒子里装一个，或者将36个球装在一个盒子里，
36＝2×18，每个盒子里装2个或每个盒子里装18个，
36＝3×12，每个盒子里装3个或每个盒子里装12个，
36＝4×9，每个盒子里装4个或每个盒子里装9个，
36＝6×6，每个盒子里装6个，
装法有：2＋2＋2＋2＋1＝9（种）
所以，共有9种不同的装法。
【易错点】本题考查了因数的个数，掌握因数的求法是解题的关键。
16．12
【解题思路】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此答题即可。
【完整解答】一个数既是它本身的因数，又是它本身的倍数，所以12既是12的因数，又是12的倍数。
【易错点】本题主要考查了因数和倍数的意义：注意一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身。
17．×
【解题思路】根据求一个数的因数的方法，列乘法算式：12＝1×12＝2×6＝3×4，所以用12个小正方形拼成长方形，第一种12＝1×12，排成一排就是宽为一个正方形边长，长为12个正方形边长的长方形。第二种12＝2×6，平均排成2排就是宽为2个正方形边长，长为6个正方形边长的长方形。第三种12＝3×4，平均排成3排就是宽为3个正方形边长，长为4个正方形边长的长方形。据此解答。
【完整解答】根据分析得，用12个小正方形拼成不同的长方形，共有3种不同的拼法。所以原题的说法是错误的。
故答案为：×
【易错点】此题的解题关键是利用求一个数的因数的方法求解，同时熟悉平面图形的拼接。
18．×
【解题思路】质数只有两个因数；合数至少有三个因数；所以不是数字越大，它的因数就越多。
【完整解答】由分析可知：
4＜13
4的因数有1、2、4
13的因数有1、13
所以原题干说法错误。
故答案为：×
【易错点】本题考查求一个数的因数，明确求因数的方法是解题的关键。
19．√
【解题思路】根据因数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；据此判断。
【完整解答】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
由此可知，0除外，1能整除任何整数，所以1是所有整数的因数，原题说法正确。
故答案为：√
【易错点】此题考查的目的是理解掌握因数的意义及应用。
20．√
【解题思路】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
【完整解答】一个不为0的自然数的最大因数和它最小倍数都是它本身，所以它的最大因数减去它最小倍数，差是0，说法正确。
故答案为：√
【易错点】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
21．257
【解题思路】根据一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，可得36的最大因数是36，根据数量关系：36×6＋5＝另一个数，求出另一个数，两个数相加即可得解。
【完整解答】



答：这两个自然数的和的257。
【易错点】此题的解题关键是掌握找一个数因数的方法，再根据数量关系求出另一个数，列出综合算式求解。
22．8种
【解题思路】求出月饼数量因数的个数就是所有不同的装法，因装在几个相同的盒子里，所以排除全部装在1个盒子里的情况。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【完整解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36
每盒数量
18
12
9
6
4
3
2
1
盒数
2
3
4
6
9
12
18
36

答：刚好装完，有8种装法。
【易错点】关键是会求一个数的因数，通过月饼数量的因数个数即可确定所有不同的装法。
23．可以排成1行、2行、4行、8行、16行、32行，一共6种排法。
【解题思路】根据找因数的方法，找出32所有的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。每一组的两个因数都可以做行数和每行人数，据此分析。
【完整解答】，可以排成32行，每行1人，或者排成1行，每行32人；
，排成16行，每行2人，或者排成2行，每行16人；
，排成8行每行4人，或者排成4行，每行8人；
所以32人可以排成1行、2行、4行、8行、16行、32行，一共6种排法。
答：可以排成1行、2行、4行、8行、16行、32行，一共6种排法。
【易错点】关键是理解题意，掌握求一个数的因数的方法。
24．把64个球平均装在一些盒子里，刚好装完。盒子的个数可能是：1、2、4、8、16、32、64；把67个球平均装在一些盒子里，刚好装完。盒子的个数可能是1和67。
【解题思路】首先根据题意，要求盒子的个数可能是多少，也就是求64、67的因数各有多少个；然后根据找一个数的因数，可以一对一对的找，把64、67写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是64、67的因数，然后从小到大依次写出，判断出盒子的个数可能是多少即可。
【完整解答】因为，
所以把64个球平均装在一些盒子里，刚好装完。盒子的个数可能是：1、2、4、8、16、32、64。
因为67是一个质数，因数只有1和67，
所以把67个球平均装在一些盒子里，刚好装完。盒子的个数可能是1和67。
答：把64个球平均装在一些盒子里，刚好装完。盒子的个数可能是：1、2、4、8、16、32、64；把67个球平均装在一些盒子里，刚好装完。盒子的个数可能是1和67。
【易错点】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握。
25．见详解
【解题思路】由题意可知，若包装盒内能装的瓶数能够整除90即正好能够装完。据此解答即可。
【完整解答】可以选择四种包装盒中的3瓶装、5瓶装或6瓶装。
理由：90＝3×30＝6×15＝18×5
创新包装：
还可以设计成1瓶装、2瓶装、9瓶装、10瓶装、15瓶装、18瓶装、30瓶装、45瓶装、90瓶装。
理由：90＝2×45＝3×30＝18×5＝6×15＝9×10＝1×90，只要包装盒所包装饮料的瓶数是90的因数就可。
【易错点】本题考查因数，明确包装盒内所包装饮料的瓶数必须是90的因数是解题的关键。
26．选4本/包刚好合适，没有剩余。
【解题思路】根据题意，打包方案要刚好合适，没有剩余，那么每一包的本数应该是80本的因数。
【完整解答】80的因数有：1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，所以三种方案里，4本/包打包方案刚好合适，没有剩余。
答：选4本/包刚好合适，没有剩余。
【易错点】本题考查因数的应用，要理解因数的概念，并掌握找一个数的因数的办法。
27．0592－5056831
【解题思路】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。
【完整解答】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。
所以这个电话号码是0592－5056831。
【易错点】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
28．8种
【解题思路】利用找配对的方法求出48所有的因数，，根据题目要求，既不能一盒装一个，也不能一盒装完，因此1和48这两个数不符合题意；据此解答。
【完整解答】48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，其中1和48不符合题意，因此每盒可以装2个，3个，4个，6个，8个，12个，16个，24个，共8种装法。
答：共8种装法。
【易错点】本题考查了求一个数的因数的方法。
29．1个；7组
【解题思路】只要人数是5的倍数即可，5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数，据此分析。
【完整解答】35－34＝1（人）
35÷5＝7（组）
答：至少还要再来1个人，可以分成7组。
【易错点】关键是掌握5的倍数的特征。