期末模拟测试卷二-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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期末模拟测试卷（二）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数（i为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

解：.

故选：B.

2．已知向量，若，则（       ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【解析】

因为，，

所以，

故选:A

3．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（       ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【解析】

设底面半径为，高为，母线为，如图所示：

则圆锥的体积，所以，即，

，则，

又，所以，故．

故选：C．

4．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，故，

所以，故x为第二或第四象限角，则，

故，即，

所以，

故选：D

5．生男孩和生女孩的概率相等时，一个家庭有三个孩子，至少两个是女孩的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

一个家庭有三个孩子的所有情况是（男男男）、（男男女）、（男女男）、（男女女）、

（女男男）、（女男女）、（女女男）、（女女女）共种，

至少个是女孩的情况有（男女女）、（女男女）、（女女男）、（女女女）共种，

∴所求概率为，

故选：C.

6．在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

对于A选项，，，

，又，

由正弦定理得：，，

三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；

对于B选项，，，，

由余弦定理得：，

三角形三边唯一确定，此时三角形有一解，不合题意；

对于C选项，，三边均为定值，三角形唯一确定，

故选项C不合题意；

对于D选项，，，，

由正弦定理得：，

，，，

有两解，符合题意，

故选：D.

7．如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（       ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

【答案】B

【解析】

连接，如下图所示.

因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以

，解得.又因为，

所以.则向量与的夹角大小为120°，

故选：B.

8．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得

在正中，可得.从而直角在中解得.

进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，

正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.

记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，

所以过的平面截球所得截面的面积最大为；

又为中点，由正方体结构特征可得

由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，

截面圆半径最小为所以.

因此，过的平面截球所得截面的面积范围为.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．已知A（k∈Z），则A的值可以是（       ）

A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

【答案】AD

【解析】

∵当k为偶数时，A3，

∵k为奇数时，A1，

∴或.

故选：AD．

10．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（       ）

A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D．

【答案】BCD

【解析】

解：由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响，

故事件与事件为相互独立事件，故A错误，C正确；

，故B正确；

，故D正确.

故选：BCD.

11．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（       ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为

C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为

【答案】BC

【解析】

因为，，

所以，即，

又因为，

所以圆柱的侧面积是，

圆柱的表面积是，

故选：BC

12．如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（       ）

A． B．BD=2

C． D．△CBD的面积为

【答案】AC

【解析】

解：由，得：，

又角为钝角，

解得：，

由余弦定理，得：，

解得，可知为等腰三角形，即，

所以，

解得，故正确，

可得，

在中，，得，可得，故错误，

，可得，可得，故正确，

所以的面积为，故错误．

故选：AC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．设复数，其中是虚数单位，则的虚部是______.

【答案】0

【解析】

，

所以，

则的虚部为0

故答案为：0

14．在正方体中，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为___________.

【答案】

【解析】

如图所示，连接、，分别为，的中点，所以，

所以和夹角就是与所成的角，

而是正三角形，所以，所以，

直线和夹角的余弦值为.

故答案为：.

15．如图，在四面体中，，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为______．

【答案】或

【解析】

取的中点，连接、，

、分别为、的中点，且，

同理可得且，

为异面直线与所成的角或其补角，则或.

在中，.

若，则为等边三角形，此时，；

若，由余弦定理可得.

综上所述，或.

故答案为：或.

16．已知向量、满足，在上的投影（正射影的数量）为，则的最小值为_________.

【答案】

【解析】

设向量、的夹角为，在上的投影为，可得出，

即，而，所以，

因为

所以，即，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知平面向量.

(1)若，求；

(2)若，求与夹角的余弦值.

【答案】(1)5；  (2)

【解析】

(1)向量，由得：，解得，即，

则，所以.

(2)当时，，，则，

所以与夹角的余弦值是.

18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值；

（3）若，，求边a的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由正弦定理有：，而为的内角，

∴，即，由，可得，

（2），

∵，，可得，而，

∴，

（3）由余弦定理知：，又，，，

∴，可得.

19．2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办.某学校根据该校男女生人数比例，使用分层抽样的方法随机调查了200名学生，统计他们观看开幕式的时长（单位：）情况，样本数据按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值并估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）和中位数；

(2)已知样本中有的男生观看开幕式时长小于80，观看开幕式时长不小于80的男女生人数相等，估计该校男生与女生的人数之比.

【答案】(1)，平均数和中位数分别为78.4，77.5；  (2)．

【解析】

(1)由，所以.

平均数为.

设这200名学生观看开幕式时长的中位数为m，由频率分布直方图可知，

且，解得.

估计该校学生观看开幕式时长的平均数和中位数分别为78.4，77.5.

(2)由频率分布直方图可知样本中观看开幕式时长不小于80的人数为

.

由题意知这80人中有一半，即40人是男生，

又因为观看开幕式时长小于80的男生占男生人数的，

故这40名男生占样本中所有男生人数的，因此样本中男生人数为120，女生人数为80，因为样本是用分层抽样的方法得到的，故估计该校男生与女生的人数之比为.

20．如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC.

（1）证明：CD⊥平面PAC；

（2）若E为PA的中点，求证：BE平面PCD；

（3）若直线PC与平面ABCD成角为45°，求三棱锥A﹣PCD的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，

又由CD⊥PC，而PA∩PC=A，

则CD⊥平面PAC；

（2）取PD的中点F，连接EF，

E是PA的中点，F是PD的中点，则EFAD且EFAD，

又由AB⊥BC，AB=BC，则∠BAC=45°，则有∠CAD=45°，

又由CD⊥平面PAC，则CD⊥AC，则△ACD为等腰直角三角形，

又由AB=BC=1，则AC，ADAC=2，

必有EFAD=1，而ADBC且BC=1，

则EFBC且EF=BC，

故四边形EFCB是平行四边形，必有BECF，

又由BE不在平面PCD上，但CF在平面PCD内，

则有BE平面PCD；

（3）根据题意，若直线PC与平面ABCD成角为45°，即∠PCA=45°，则有PA=AC，

VA﹣PCD=VD﹣PACDC×S△PAC().

21．在中，、、分别是角、、所对的边，已知，，且.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求的值.

（3）求周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由已知条件可得，则，

，故；

（2）由三角形的面积公式可得，，

由余弦定理可得，

因此，；

（3）由正弦定理可得，故，，

所以，

，

，所以，，则，所以，，

所以，.

因此，的周长的取值范围是.

22．已知函数，其中．

(1)求使得的取值范围；

(2)为锐角三角形，O为其外心，，令，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】

(1)由题意得：

.

令，得

即，

故x的取值范围为．

(2)，则，又，则，

由正弦定理，可知，则

∴

又为锐角三角形，则.

则，

∴