第02讲 向量数量积-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

第02讲 向量数量积

【必备知识】

【典例剖析】

题型一:定义法求向量数量积

1．已知向量满足，且 与 的夹角为30°，那么等于（       ）

A．1 B． C．3 D．3

【答案】C

【详解】

由题意可得：

，

故选：C

2．已知，，且，的夹角为60°，如果，那么m的值为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由题意知，即

因为，，，所以，解得

.

故选：C.

3．已知是单位向量，与的夹角是，且， 则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：由题得

所以或（舍去）.

故选：D

4．已知等边的边长为3，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，，故点为线段上靠近点的三等分点

故

故选：A

类型二:坐标法求向量数量积

1．在中，若，且，点分别是的中点，则（       ）

A． B． C．10 D．20

【答案】C

【详解】

解：因为，所以，如图建立平面直角坐标系，

则、、、，所以、、，所以，所以；

故选：C

2．如图，梯形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值是（       ）

A．1 B．

C． D．

【答案】D

【详解】

以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，

设，则，，

因为，

所以，解得，即，

设，，，则，，

所以，

所以的最小值为．

故选：D.

3．已知在边长为2的正三角形中，分别为边上的动点，且，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

以中点为原点，和其对应高线作为坐标轴，建系如图所示，则，，，

则，，设()，

则()，则，，

∴，，

∴，

当时取最大值，

故选：D.

4．已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且 ，则的值为（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【详解】

把△如下图放在直角坐标系中，

由于△的边长为1，故，点分别是边的中点，，设，，，，.

故选：B.

类型三:转化法求向量数量积

1．在中，，，为的中点，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

，

因此，.

故选：A.

2．在菱形ABCD中，，，，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，

，

所以．

因为，，

所以．

故选：A

3．在中，已知，，P是边BC垂直平分线上的一点，则（       ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【详解】

在中,取BC中点M，做BC的垂直平分线MP，连接AM、AP.

则，，

故选：C

4．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知条件,图形如下图所示：

,

解得.

故选：.

类型四:坐标法求向量夹角

1．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设与的夹角为，因为，，所以．

故选：B

2．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（            ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，

由，共线得，得，

故.

故选:D.

3．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．

(1)若∥，求 的值；

(2)若⊥（＋2），求实数k的值；

(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．

【答案】(1)3；

(2)k＝；

(3)k＜且k≠－6.

【解析】

(1)解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，

所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，

所以＝＝3．

(2)解：因为＋2＝，且⊥，

所以1×＋2×＝0，解得k＝．

(3)解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．

即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．

4．已知．

(1)若θ为2与的夹角，求θ的值；

(2)若2与k垂直，求k的值．

【答案】(1)θ＝； (2)0.

【解析】

(1)解：（1）因为

所以2，．

所以cos θ＝＝＝.

因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

(2)解：，依题意,

所以3k－3＋6k＋3＝0. 所以k＝0.

类型五:数量积和模求向量夹角

1．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

∵，是单位向量，若，

∴，，,

∴.

∴，∴，∴,

由

∴与的夹角为,

故选:B.

2．已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由，可得，

所以，即，

所以，

设的夹角为，则,

故选：B.

3．已知向量，满足，，若不等式对任意实数恒成立，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：根据题意，设与的夹角为，

若不等式对任意实数恒成立，即恒成立，即恒成立，

又，, 则有恒成立，

必有，

故有，即，

又由，则；

故选：C．

4．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．

(1)求的值；

(2)用，表示；

(3)求 的值．

【答案】(1)  (2)  (3)

【解析】

(1)解：由题意，得

；

(2)解：因为平面向量加法的平行四边形法则，

且BD，AC相交于点O，M为BO中点，

所以

即；

(3)解：由（1），得，

且，

由（2），得，

则

，

所以.

类型六:坐标法求向量的模

1．已知向量，且，，则（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【详解】

向量，由得：，即，

由得：，即，于是得，，，

所以.

故选：B

2．已知向量，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可得，

所以，，

故当时，取得最小值.

故选：C.

3．若向量，，，且，则的最小值为_________．

【答案】

【详解】

由题设，，，又，

∴，则，

又，则，

∴要求的最小值，即求定点到直线的距离，

∴.

故答案为：

4．已知，

（1）求；

（2）设与的夹角为，求的值；

（3）若向量与互相垂直，求k的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】

解：；

故

；

因为向量与互相垂直，

所以，即，

因为，，

所以

类型七:转化法求向量的模

1．已知，，则(       )

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【详解】

∵，

∴，则.

∴，故.

故选：B.

2．已知则=（       ）

A．4 B． C．10 D．16

【答案】B

【详解】

由，

可得，

即，

所以，

故，

故选：B

3．已知单位向量，满足，则（       ）

A． B．5 C．2 D．

【答案】D

【详解】

由题意，，，

对两边同时平方可得，，

解得，

故，得.

故选：D.

4．已知单位向量、满足，则的最小值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

因为、是单位向量，由可得，则，

所以，，即，可得，

所以，，

当且仅当时取等号，所以的最小值为，

故选：C.

类型八:投影与投影向量

1．已知向量，满足，，在方向上的投影为，则（       ）

A．6 B．9 C． D．

【答案】A

【详解】

由，得，所以，因为在方向上的投影为，所以，，所以，，故选：A

2．已知向量，若在的投影为，则（       ）

A．169 B．13 C．196 D．14

【答案】B

【详解】

解：因为，所以，因为在的投影为，所以，所以，所以

故选：B

3．已知向量，则在方向上的投影是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题得，

在方向上的投影是.

故选：C

4．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题知点，，，，

有， ，

，.

与同向的单位向量为.

所以向量在向量方向上的投影向量为.

故选：B.

5．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，

则，

，，

则向量在向量上的投影向量为：

，

故选：D

【过关检测】

一、单选题

1．已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知知，，

则

故选：C.

2．已知向量，，，，若在上的投影向量为（是与同向的单位向量），则（       ）

A．169 B．13 C．196 D．14

【答案】B

【详解】

因为在上的投影向量为，是与同向的单位向量，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以

，

所以13，

故选：B

3．中，，，是边中垂线上任意一点，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设中点为，，

，；

又，

.

故选：A.

4．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（       ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：B.

5．已知梯形ABCD 中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】

如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

因为，，，，

所以，不妨设，，

则，

所以当时，取得最小值，

故选：D

6．在三角形ABC中，已知AB＝2，AC＝1，，，，若CD与BE交于O点，则AO的长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为AB＝2，AC＝1，，则．

设，，因为与不平行，所以，为一组基向量，

因为B，O，E共线，，所以，

因为C，O，D共线，，所以，

所以，则，解得，

所以，

所以，

所以AO的长为，

故选：B．

二、填空题

7．已知平行四边形中，，，，M、N分别为BC、CD的中点，则___________.

【答案】15

【详解】

，

故答案为：15

8．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【详解】

由题意，与的夹角为锐角，

故，即 ，即 ，

当与共线时， ，解得 或，

当与同向时，，此时， 但不符合与的夹角为锐角，

故实数的取值范围是 ，

故答案为：

9．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________．

【答案】

【详解】

如图建系，则、、，

则，，设（），

则（），则，，

∴，

∴，

当时，取最大值．

故答案为：

三、解答题

10．如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.

(1)求线段，的长；

(2)求的余弦值.

【答案】(1)， (2)

【解析】

(1)解：由题意，，，

又，

所以，

，即，                  

=

，，即；

(2)解：，

==，   

与的夹角即为，

.

11．已知单位向量的夹角为，向量，向量.

(1)若∥，求x的值；

(2)若，求.

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)因为，所以存在实数，使得，

即，

则有，，

解得；

(2)由，有，

即，

解得，

故，

所以.

12．设平面内三点，，.

(1)求；

(2)求向量在上的投影向量的坐标.

【答案】(1)； (2).

【解析】

(1)由，，，得

，

，

所以

(2)，

.

设向量与的夹角为，则

所以向量在上的投影向量为

所以向量在上的投影向量的坐标为.