第15讲 立体几何初步(点线面之间的位置关系)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

第15讲 点线面之间的位置关系

【必备知识】

一、平面的基本性质：(点与直线、平面: ;直线与平面:;线线、线面、面面相交时:)

1.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

直线.

2.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

三点不共线,确定平面.

推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.   与确定平面.

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.    与确定平面.

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.    与确定平面.

3.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

二、空间点、线、平面之间的位置关系:

1.1空间中直线与直线的位置关系:相交直线,平行直线,异面直线.【前两种统称为共面直线.】

1.2异面直线所成的角:通过平移转化为求相交直线所成的锐角或直角,

范围:.常用方法有:平移法和向量法.

(或其补角) 为异面

直线A B与E F所成的角 (或夹角).

1.3两条异面直线垂直的定义:如果两条异面直线a, b所成的角为直角,就称这两条直线a, b垂直.记作. 因此,两直线垂直有两种情形:异面垂直、相交垂直.

2.1空间中直线与平面的位置关系:直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.【后两种统称为直线在平面外】

2.2直线与平面所成的角:主要掌握斜线与平面所成的角

(即斜线和它在该平面上的射影所夹的锐角).范围.

【为P A与平面所成的角】

2.3 直线与平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直.记作.

(1) 定义:,则;

(2) (2)性质:若,则.

3.1空间中平面与平面的位置关系:两个平面平行,两个平面相交.

3.2二面角的平面角: 二面角的大小是用其平面角来度量的.范围.

确定平面角的方法: (1)定义法, (2)垂面法, (3)三垂线定理法.

【是二面角的平面角.】

3.3两个平面互相垂直的定义:如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,则称这两个平面互相垂直. 记作.

该定义可用于证明面面垂直, 即证明二面角的平面角为直角(平面角为直角常用勾股定理证明).

【典例剖析】

题型一:平面基本定理的性质及辨析

题型二:证明空间的点线共面问题

题型三:证明空间的点共线问题

题型四:空间中的线共点问题

题型五:作几何体截面

题型六:点线面位置关系的辨析

题型七:异面直线所成角

题型一:平面基本定理的性质及辨析

1．下列命题中是真命题的是（       ）

A．三点确定一个平面

B．一条直线和一个点确定一个平面

C．两条直线确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面

2．在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（       ）

A．P一定在直线上

B．P一定在直线上

C．P在直线或上

D．P既不在直线上，也不在直线上

3．如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（       ）

A．点       B．点        C．点，但不过点   D．点和点

4．已知，是不同的点，，，是不同的直线，，是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（          ）

A．，，，

B．，存在唯一直线，，且

C．，

D．确定一个平面且，

题型二:证明空间的点线共面问题

5．如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是

A． 四点不共面 B． 四点共面

C． 三点共线 D． 三点共线

6．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．

7．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且；

求证：（1）点E，F，G，H四点共面；

（2）直线EH，BD，FG相交于同一点．

8．如图，在三棱锥中，，分别为与的重心，，分别为，的中点.求证：，，三线共面.

题型三:证明空间的点共线问题

9．空间中五点不共面，已知在同一平面内，在同一平面内，那么三点（       ）

A．一定构成三角形 B．一定共线 C．不一定共线 D．与共面

10．在正方体中，，分别为，的中点改为“，分别为，上的点，且，求证：点，，三点共线.

11．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.

12．如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．

题型四:空间中的线共点问题

13．在空间四边形各边、、、上分别取点、、、，若直线、相交于点，则（       ）

A．点必在直线上 B．点必在直线上

C．点必在平面内 D．点必在平面内

14．如图，，直线三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过（ ）

A．点A B．点B

C．点C，但不过点D D．点C和点D

15．如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系.

16．已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点.

题型五:作几何体截面

17．正方体中，分别是的中点.那么过三点的截面图形是（       ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

18．P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．

19．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由.

题型六:点线面位置关系的辨析

20．两条异面直线指的是（　　）

A．在空间内不相交的两条直线

B．分别位于两个不同平面内的直线

C．不同在任何一个平面内的两条直线

D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

21．若直线，平面满足，则下列结论正确的是（       ）

A．直线一定与平面平行 B．直线一定与平面相交

C．直线一定与平面平行或相交 D．直线一定与平面内所有直线异面

22．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，设，，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

23．若直线是异面直线，且，则直线与平面的位置关系是（       ）

A． B． C．b与相交 D．以上都有可能

24．已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是（       ）

A．若是异面直线，，，，，则

B．若，，，，则

C．若，，，则

D．若，，则

题型七:异面直线所成角

25．如图，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（       ）

A． B． C． D．

26．，分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小为（       ）

A． B． C． D．

27．如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【过关检测】

1．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（       ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直

2．已知直线，平面，，且，，，则下列结论一定成立的是（       ）

A．，是异面直线 B．

C．内所有直线与平行 D．，没有公共点

3．设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（       ）

A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面

C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线

4．已知经过圆柱旋转轴的给定平面，A，B是圆柱侧面上且不在平面上的两点，则下列判断正确的是（       ）

A．不一定存在直线l，且l与AB异面 B．一定存在直线l，且

C．不一定存在平面，且 D．一定存在平面，且

5．在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（       ）

A．一定在直线BD上

B．一定在直线AC上

C．在直线AC或BD上

D．不在直线AC上，也不在直线BD上

6．在三棱锥的边、、、上分别取、、、四点，如果，则点（       ）

A．一定在直线上 B．一定在直线上

C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上

7．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点D是线段的中点，点E在底面圆的圆周上，且的长度是长度的两倍，则异面直线与AC所成角的余弦值是（       ）

A． B． C． D．

8．在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（       ）

A．所得截面是六边形

B．截面过棱的中点

C．截面不经过点

D．截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点

9．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证：

(1)，O，M三点共线；

(2)E，C，，F四点共面．

10．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：

（1）、、、四点共面；

（2）与的交点在直线上．

11．如图，正四棱柱．

(1)请在正四棱柱中，画出经过、、三点的截面（无需证明）；

(2)若、分别为、中点，证明：、、三线共点．

12．如图，已知正方体的棱长为1．

(1)写出所有与是异面直线的棱；

(2)若M、N分别是、的中点，求MN与BC所成角的大小．

13．如图，点A在平面外，△BCD在平面内，E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点．

(1)求证：E、F、G、H四点在同一平面上；

(2)若AC＝6，BD＝8，异面直线AC与BD所成的角为60°，求EG的长．