第06讲 恒等变换与三角函数性质-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

第06讲 恒等变换与三角函数性质

【必备知识】

1.公式总结

2.三角恒等变换与三角函数性质综合问题的解法

【典例剖析】

类型一:借助辅助角公式解决函数性质问题

1．已知，则下列结论中正确的是（       ）

A．的最大值为 B．在区间上单调递增

C．的图象关于点对称 D．的最小正周期为

2．已知函数，，则的值域为（       ）

A． B． C． D．

3．若函数的最小值为1，则实数（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知函数，则下列说法错误的是（       ）

A．是函数的一个周期

B．是函数的一个零点

C．函数在区间上的最小值为-1

D．函数的图象关于原点对称

5．已知函数，下列结论中错误的是（       ）

A．的图像关于中心对称

B．在上单调递减

C．的图像关于对称

D．的最大值为1

6．函数 的最小正周期为________.

7．函数y＝cos2x－sin x的值域是__________________

8．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)求的单调递增区间．

9．已知函数．

(1)求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

10．已知函数.

(1)若，且，求；

(2)记函数在上的最大值为b，且在上单调递增，求实数a的最小值.

类型二:实际问题中的三角函数

1．已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y.

(1)写出y与x的函数关系式，并化简；

(2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.

2．如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，.

(1)写出关于x的函数解析式；

(2)求函数的最小值及相对应的x的值.

3．如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，四边形是扇形的内接矩形，，两点在圆弧上，是的平分线，在上，连接，记，则角为何值时矩形的面积最大？并求最大面积．

4．如图，圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，且点D在半径OB上，点E，F在半径OA上．当点C在什么位置时，这个矩形的面积最大？此时等于多少度？

类型三:三角恒等变换与换元

1．已知，则的最大值为（       ）

A．3 B． C．2 D．

2．函数的最大值为（       ）

A．1 B． C． D．3

3．(多选)若函数在上有零点，则整数m的值可以是（　　）

A． B． C．0 D．

4．已知关于的方程在有解，则的取值范围是________．

【过关检测】

一、单选题

1．函数的最大值与最小值之和为（       ）

A． B．2 C．0 D．

2．已知函数，若函数为奇函数，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

3．函数的单调递增区间为（       ）

A． B．

C． D．

4．已知函数，则下列结论中错误的是（       ）

A．函数的最小正周期为

B．是函数图象的一个对称中心

C．是函数图象的一条对称轴

D．将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象

5．已知函数，的最小正周期为，将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（       ）

A． B． C． D．

6．已知函数，下面结论错误的是（       ）

A．在区间是上单调递减

B．是函数图象的一个对称中心

C．在上的值域为

D．图象上的所有点向右平移个单位后得到函数的图象

二、填空题

7．函数的值域是__________.

8．已知函数，则函数的最小值为________．

9．已知函数，．设是函数图象的一条对称轴，则的值等于______．

10．若方程在内有解，则a的取值范围是___________.

三、解答题

11．已知函数最小值为1．

(1)求常数a的值及的单调递减区间；

(2)求使成立的x的取值集合．

12．如图，已知面积为的扇形，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．

(1)求扇形圆心角的大小；

(2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．

13．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)求的单调递减区间；

(3)当时，求的最小值及取得最小值时的值．

14．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若存在，使得成立，求实数的最大值.