第14讲 立体几何初步(九种求外接球与内切球模型)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

第14讲 九种求外接球与内切球模型

【必备知识】

模型一:墙角模型

【典例剖析】

1．四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

2．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为（       ）

A．3 B． C．6 D．24

3．已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若平面，，，，则球O的表面积为（        ）

A． B． C． D．

4．如图，在矩形中，，E为中点，把和分别沿折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（       ）

A． B． C． D．

5．将一个边长为的正三角形沿其中线折成一个直二面角，则所得三棱锥的外接球的体积为_________.

模型二:对棱相等模型

【典例剖析】

1．如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（       ）

A． B． C． D．

2．在△ABC中，，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为_____________．

3．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的外接球的表面积为______．

4．已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．

5．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是______．

模型三:汉堡模型

【典例剖析】

1．已知某圆柱的高为，体积为，则该圆柱外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

2．已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

3．已知三棱柱的6个顶点都在球的表面上，，，则球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

4．直三棱柱所有顶点都在球的表面上，且，，，则球的表面积为________．

5．在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为______.

模型四:垂面模型

【典例剖析】

1．已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

2．已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，是正三角形，是等腰三角形，则球的体积为（       ）

A． B．

C． D．

3．已知四棱锥的五个顶点在球O的球面上，底面，，，，，且四边形的面积为，则球O的表面积为___________.

模型五:斗笠模型

【典例剖析】

1.已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

2.在三棱锥中，侧棱，，，则此三棱锥外接球的表面积为_______．

3.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是为________

类型六:切瓜模型

【典例剖析】

1.已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

2.已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥的外接球的体积为________.

3.已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角.若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 __________________.

4.已知在三棱锥中，平面平面和均是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为___________.

模型七:折叠模型

【典例剖析】

1.已知菱形中,,对角线与的交点为,把菱形沿对角线折起, 使得,则折得的几何体的外接球的表面积为(    )

A.          B.          C.            D.

2.在三棱雉中,,则三棱雉的外接球的表面积为(    )

A.             B.               C.              D.

3.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角 为的四面体,则此四面体的外接球表面积为________.

模型八:最值模型

最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过䅣中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.

【典例剖析】

1．在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

2．在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（       ）

A． B． C． D．

3．已知，，，，都在同一个球面上，平面平面，是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为______．

4．，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．

模型九:内切球模型

【典例剖析】

1．已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

2．在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

4．《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥和三棱锥的内切球半径比为___________.

【过关检测】

一、单选题

1．如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

2．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，则该阳马的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

4．如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（       ）

A． B． C． D．

5．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（       ）

A． B．1 C． D．

6．已知三棱锥的棱底面，若，则其外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

7．在三棱锥P—ABC中， PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P—ABC体积为6，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（       ）

A．18π B．24π C．36π D．40π

8．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

9．在三棱锥中，平面ABC，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

10．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为（       ）．

A．1 B．2 C．3 D．

二、填空题

11．四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于______．

12．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.

13．在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的，则过A，B，C，D四点的球的表面积为_____________.

14．空间四面体中，，，，直线和所成的角为，则该四面体的外接球的表面积为 __.

15．已知，，，四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________.

16．已知正三棱柱的底面积为，点为的中心，直线和底面所成角为60°，则正三棱柱的外接球的表面积为______．

17．已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.

18.在正四面体中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接球被平面所截的圆周长为______．

19.如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，则四棱锥外接球的表面积是____________.

20．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，则球的表面积的最小值为________.