第13讲 立体几何初步(几何体的表面积与体积)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

第13讲 几何体的表面积与体积

【必备知识1】

1.常见几何体的面积与体积公式

【典例剖析】

1．已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（       ）

A． B． C． D．

2．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（       ）

A． B． C． D．

3．如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为，，且，若该容器模型的体积为，则该容器模型的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

4．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（       ）

A． B． C． D．

【必备知识2】

1.求体积的常见方法

体积的求解与计算是立体几何学习的重点,其方法灵活多样,而分割、补形和等积变换是常见的三种求体积 的方法.其中分割、补形也称为“割补法”.

(1)分割求和法

求一个不规则几何体的体积时,可将几何体分割成若干个规则的小几何体,求得小几何体的体积后,求和即得原几何体的体积,这就是分割法.

(2)补形法

把不规则形体补成规则形体,把不熟悉的形体补成熟悉的形体, 便于计算其体积.

常用的补形法如下:

(3)运用“等体积转换法"求三棱锥的体积和点到面的距离

当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某个量(底面积或高)不易求解时,可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算.具体作法是选择合适的底面, 使得底面面积和高易于计算.该方法适用于求三棱 雉的体积,由于三棱雉是由4个三角形面围成的四面体, 其中任何一个三角形面都可以看成其底面, 当已知三棱锥的体积和底面面积,三棱锥的高即是顶点到底面的距离可求,所以可通过此方法求点到底面的距离.

【典例剖析】

方法一:分割求和法

1．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（       ）

A． B． C． D．

2．《九章算术》中将三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示，已知五面体为羡除，其中，，，，与的距离为，点到平面的距离为，则该羡除的体积为（       ）

A． B． C． D．

方法二:补型法

1．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（       ）

A． B． C． D．

2．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，DA的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为________．

方法三:等体积转换法

1．已知正方体的棱长为1，为上一点，则三棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

2．如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，则点到平面MBD的距离是（       ）

A． B． C． D．

3．直三棱柱中，若，，，是棱上的中点，则点到平面的距离是（       ）

A．1 B． C． D．

【过关检测】

1．若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

2．正三棱柱的所有棱长均为2，则三棱锥的体积为（       ）

A．3 B． C．1 D．

3．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的体积之比为（       ）

A． B． C． D．

4．若球的表面积扩大为原来的2倍，则体积是原来的（       ）.

A．倍 B．倍 C．9倍 D．12倍

5．已知三棱锥P-BCD，，其余各棱长均为4，E为棱PB的中点，则三棱锥E-PCD的体积是（       ）

A． B． C． D．

6．三棱锥的底面是边长为3的正三角形，，则三棱锥的体积等于（       ）

A． B． C． D．

7．半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则二十四等边体的体积与其外接球体积之比为（       ）

A． B． C． D．

8．如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥E-POB的体积为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

9．如图，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，点到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

10．如图，已知正方体的棱长为2，的中点为E，则点到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．