第1讲 简单几何体的表面积与体积（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）

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类型一：棱柱的表面积与体积
类型二：棱锥的表面积与体积
类型三：棱台的表面积与体积
类型四：圆柱的表面积与体积
类型五：圆锥的表面积与体积
类型六：圆台的表面积与体积
类型七：球的表面积与体积
类型八：几何体的表面积（体积）的最值问题
类型九：内切球问题
类型十：外接球问题
类型十一：内切球与外接球的综合问题
类型十二：新定义题
类型一：棱柱的表面积与体积
典型例题
例题1．（2022秋·上海黄浦·高二校考阶段练习）若长方体的对角线的长为，其长、宽、高的和是，则长方体的全面积是______．
例题2．（2022秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为______.
例题3．（2022·高二课时练习）如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，.
(1)求该几何体的表面积；
(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值.
同类题型演练
1．（2022·高一单元测试）侧面均为面积为4的正方形的正三棱柱的表面积为______．
2．（2022·高二课时练习）如图，底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱．
(1)设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；
(2)当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．
3．（2022秋·上海崇明·高二统考期末）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_______．
类型二：棱锥的表面积与体积
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
例题2．（2022春·江西九江·高一校联考期末）《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵（qiàn ）．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biē nà）．”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥是一个“鳖臑”，其中平面，，三棱锥的外接球的半径为2， 则、的面积之和的最大值为_____________．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是______．
同类题型演练
1．（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）如图，在体积为16的斜三棱柱中，P为棱上一点，三棱锥P-ABC的体积为4，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．2C．3D．4
2．（2022秋·山西·高二校联考期末）已知在菱形中，，平面外一点P满足，，则四棱锥体积的最大值为___________.
3．（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，已知，，则当最大时，求三棱锥的表面积.
类型三：棱台的表面积与体积
典型例题
例题1．（2022春·重庆·高一校联考阶段练习）已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.
同类题型演练
1．（2022秋·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考期中）在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·高一课时练习）一个几何体共有六个侧面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，腰为9cm，上、下底面都是正六边形，求该几何体的全面积．
类型四：圆柱的表面积与体积
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·上海·高二专题练习）如图，半径为的半球内接一个圆柱，这个圆柱表面积的最大值为____________.
例题3．（2022秋·上海虹口·高二上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）如图，已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱.
(1)当时，求圆柱的体积；
(2)当为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（ ）
A．16mB．17mC．18mD．19m
2．（2022·广东·高三统考学业考试）若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，则圆柱的体积为________．
3．（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.
(1)求圆锥的底面积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高.
类型五：圆锥的表面积与体积
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为________.
例题3．（2022春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期中）如图所示，圆锥的底面半径为2，为母线的中点，侧面展开图是一个中心角为的扇形．
(1)求圆锥的表面积和体积；
(2)若圆锥的底面圆周和和顶点都在球的球面上，求球的表面积；
(3)若一只蚂蚁从点出发沿着圆锥侧面爬行，穿过母线，绕圆锥侧面爬行一周后来到母线的中点，试求蚂蚁爬行的最短路程．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是.若AB，AC的夹角是，且AC与圆锥底面所成的角是，则该圆锥的表面积为________.
3．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，在底面半径为1，高为的圆锥中，O是底面圆心，P为圆锥顶点，A，B是底面圆周上的两点，，C为母线PB的中点.
(1)求该圆锥的表面积；
(2)求在该圆锥的侧面上，从A到C的最短路径的长.
类型六：圆台的表面积与体积
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考开学考试）某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
同类题型演练
1．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）圆台上､下底面圆的圆周都在一个半径为5的球面上，其上､下底面圆的周长分别为和，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·四川·高二校考阶段练习）若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A．B．
C．D．
类型七：球的表面积与体积
典型例题
例题1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为______．
例题3．（2022秋·上海黄浦·高二校考阶段练习）已知球的两个平行截面的面积分别为、，且两个截面之间的距离是9，则球的表面积为______，体积为______．
同类题型演练
1．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知球 的表面积为 ， 则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江苏徐州·高三学业考试）已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，侧面积为，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的半径为（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知球的一个截面面积为，若球上的点到该截面的最大距离为3，则球的表面积为__________．
类型八：几何体的表面积（体积）的最值问题
典型例题
例题1．（2022秋·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考阶段练习）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱．
(1)求圆锥的表面积和体积；
(2)为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．
(1)若点，，，恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；
(2)求该八面体表面积的取值范围．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱有外接圆柱，点，分别在棱和上，.
(1)若，且三棱柱有一个内切球，求三棱柱的体积；
(2)若，连接，，将三棱柱的侧面和展开成一个平面图形，求展开图形中面积的取值范围.

同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）如图：圆锥底面半径为1，高为3．
(1)求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值；
(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
2．（2022·高二课时练习）如图，用一块钢锭浇筑一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h米，盖子的边长为a米．
(1)求a关于h的函数解析式；
(2)当h为何值时，容器的容积V最大？并求出V的最大值．
3．（2022·高一课时练习）如图所示棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高．设AB＝x．
(1)当x＝3时，求三棱锥A﹣PBC的体积；
(2)四棱锥外接球的表面积的最小值．
类型九：内切球问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知点到直三棱柱各面的距离都相等，球是直三棱柱的内切球，若球的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
同类题型演练
1．（2022秋·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为___________.
3．（2023·上海·高二专题练习）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为_________.

4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆台的内切球与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球的体积为______.
类型十：外接球问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为____．
例题2．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知平行四边形中，，，.若沿对角线将折起到的位置，使得，则此时三棱锥的外接球的体积大小是______.
例题3．（2023秋·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期末）已知四面体中，为等边三角形，，，若，则四面体外接球的表面积的最小值为______
例题4．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在菱形中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为______．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
同类题型演练
1．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，高为3，则该正四棱台的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广西柳州·二模）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥的底面为矩形，，
则其外接球的表面积为________．
类型十一：内切球与外接球的综合问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ）
A．B．5C．D．
例题2．（2023·四川乐山·统考一模）在平面四边形中，沿将折起，使得与全等.记四面体外接球球心到平面的距离为，四面体的内切球球心到点的距离为，则的值为______.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体，其外接球与内切球的表面积之和为，过点的平面与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.
(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；
(2)平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知直三棱柱的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．25：1B．2：1C．5：1D．：1
2．（2022·全国·高三专题练习）某个圆锥的母线长为，底面半径为，若，则此圆锥的内切球表面积与外接球的表面积之比为________．
类型十二：新定义题
1．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形为两个全等的等腰梯形，则该刍甍的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（ ）（其中的值取3）
A．11280cm3B．12380cm3C．12680cm3D．12280cm3
3．（2023·全国·高三专题练习）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
4．（2023·全国·高三专题练习）无穷符号在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距，则该标志的体积为___________.
附：一个半径为的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为），球缺的体积公式为.
5．（2023·全国·高三专题练习）词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．