初中数学北师大版八年级上册第二章 实数2 平方根精品当堂检测题

专题2-1 认识无理数与平方根

1.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解。

2.理解数的算术平方根和平方根的概念，以及开平方的概念，会用根号表示一个数的平方根。

3.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题。

知识点01 认识无理数

无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数.

无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

【知识拓展1】无理数的识别

例1．（2022·全国·八年级课时练习）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）．

【即学即练】

1．（2022·江苏·徐州市七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：2，0，，，，，25%，，

（1）分数集合：{                                           …}；

（2）非负整数集合：{                                     …}；

（3）有理数集合：{                                        …}；

（4）无理数集合：{                                        …}．

【知识拓展2】无理数的证明

例2．（2022·山东·八年级课时练习）500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：（1）x是整数吗？为什么不是？（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？

【即学即练】

1．（2022·全国·八年级单元测试）设a是有理数，x是无理数，证明：是无理数，且当时，是无理数．

知识点02 算术平方根的概念及性质

1.算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

【微点拨】

1.当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

【知识拓展1】算术平方根

例1．（2021·湖南邵阳市·中考真题）16的算术平方根是___________．

【即学即练1】

1．（2021·西宁市海湖中学七年级期中）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③(π－4)2的算术平方根是π－4；④算术平方根不可能是负数，其中不正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2022·齐齐哈尔市初二期中）的算术平方根是_________；(－)2 的算术平方根是_________．

【知识拓展2】算术平方根的性质

例2．（2022·全国八年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．

【即学即练2】

1．（2021·黑龙江八年级期末）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长是_____．

【能力拓展3】算术平方根的应用

例3．（2021·平泉市教育局教研室七年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ）

A．2 B．1.5 C． D．

【即学即练2】

1．（2021·西宁市海湖中学七年级期中）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是 _____________．

知识点03 平方根的概念与性质

1.平方根的定义：如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

2.平方根和算术平方根的区别与联系

区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．

3.平方根的性质       

【微点拨】

1.正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

2.正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

【知识拓展1】平方根

例1．（2021·福建七年级期中）下列说法正确的是（   ）

A．4的平方根是2 B．的平方根是±4 C．25的平方根是±5 D．﹣36的算术平方根是6

【即学即练1】

1．（2022·广东白云初二期末）下列说法正确的是（ ）

A．的平方根是 B．的平方根 C．的平方根 D．的平方根

2．（2021·黑龙江甘南初二期末）的平方根是____．

【知识拓展2】利用平方根的定义解方程

例2．（2022·绵阳市初二期中）求下列各式中的.

（1） （2）；   （3）

【即学即练2】

1．（2021·浙江七年级期中）若，则x的值是_________．

【知识拓展3】利用平方根的定义求参数

例3．（2021·湖南七年级期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数．

小达的解法如下：依题意可知：解得：则：，所以这个正数为．

王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．

【即学即练3】

1．（2021·广东）若一个正数m的两个平方根分别是a-1和4-2a，则m的值为________．

考法01   无理数的证明

【典例1】（2022·全国·八年级专题练习）为什么是无理数?请说明理由．

变式1．（2022·全国·八年级专题练习）证明：不是有理数．

考法02  平方根小数点的移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

例如：，，，.

【典例2】（2022·江苏·八年级）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：

(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；

(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：

①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．

变式1．（2022·江苏·八年级）已知，，则（     ）

A．0.15129 B．0.015129 C．0.0015129 D．1.5129

变式2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如果＝3.873，＝1.225，那么＝___________．

题组A  基础过关练

1．（2021·河南濮阳市·七年级期中）的算术平方根为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·河南七年级期中）“49的平方根是”的表达式正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·成都市初二课时练习）下列说法正确的是(    )

A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数

C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根

4．（2021·辽宁八年级期末）（﹣）2的平方根是（　　）

A．﹣ B． C．± D．±

5．（2021·湖北七年级期末）下列各式中，正确的是（   ）

A． B． C． D．

6．（2022·河南南阳·八年级期末）已知实数的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（       ）

A．2 B．－2 C． D．

7．（2021·山东七年级期中）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个正数是___．

8．（2022·江苏·八年级）求出下列x的值．

(1)4x2＝9；   (2)（x+1）2﹣25＝0．

题组B  能力提升练

1．（2022·江苏·八年级）面积为9的正方形的边长是（　　）

A．9的算术平方根   B．9的平方根    C．9的立方根   D．9开平方的结果

2．（2021·广西八年级期中）若的两边长，满足，则第三边的长是（    ）

A．5 B． C．5或7 D．5或

3．（2022·河北省初二期中）一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（    ）

A．        B．          C．        D．

4．（2021·北京海淀·七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（　　）

A． B． C． D．

5．（2022·贵州铜仁·八年级期末）今年6．26期间，某校八（1）班小张同学用一张面积为0．36的正方形纸片画了一幅禁毒漫画，并在学校评比中获得一等奖，则正方形纸片的边长是________．

6．（2022·新疆师范大学附属中学七年级期中）已知，，则________（结果保留3位小数）．

7．（2021秋•临漳县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．

（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．

8．（2022·河南开封·七年级期末）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．

问题发现：若大正方形的面积为，则小正方形的面积是__________，边长为___________；

知识迁移：某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．

拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．

题组C  培优拔尖练

1．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期中）如果，那么的结果为(     )

A．38.73 B．387.3 C．12.25 D．122.5

2．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校七年级期中）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（          ）．

A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍

3．（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是(     ).

A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小

B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小

C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小

D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小

4．（2022·北京·101中学八年级期中）已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（       ）

A．总是偶数 B．总是奇数

C．总是无理数 D．有时是有理数，有时是无理数

5．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（       ）

A．4－5 B．3 C．4－ D．4＋

6．（2022·全国·八年级专题练习）小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．

(1)如图1，，拼成的大正方形边长为___________；

如图2，，拼成的大正方形边长为___________；

如图3，，拼成的大正方形边长为___________．

(2)若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；