初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定优秀测试题

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定优秀测试题，文件包含同步讲义北师大版数学九年级上册第3讲正方形的性质与判定原卷版docx、同步讲义北师大版数学九年级上册第3讲正方形的性质与判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

第3讲 正方形的性质与判定
目标导航

课程标准
1.理解正方形的概念，知道它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系；
2.掌握正方形的性质和判定定理；
3.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。
知识精讲

知识点01 正方形的概念
定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
注意：
（1）判定一个四边形是正方形必须同时满足三个条件：①四边形是平行四边形；②有一组领边相等。③有一个角是直角。
（2）正方形既是矩形，又是菱形。
知识点02 正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
1．正方形的性质定理
（1）定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
（2）定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。
归纳：矩形的角、边、对角线的性质
（1）角：四个角都是直角。
（2）边：四边相等、邻边垂直、对边平行。
（3）对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角。
2．正方形的对称性
（1）正方形是轴对称图形，共有4条对称轴，其中两条是对角线所在的直线，另两条是过每一组对边中点的直线。
（2）正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
知识点03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系
1．矩形、菱形、正方形之间的关系
矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组领边相等的平行四边形；而正方形既是矩形，又是菱形。
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的区别和联系
类型
平行四边形
矩形
菱形
正方形
边
共性
对边平行且相等
特性

四条边都相等
角
共性
对角相等且邻角互补
特性

四个角都是直角

四个角都是直角
对角线
共性
对角线互相平分
特性

对角线相等
对角线互相垂直
对角线相等且互相垂直
对称性
共性
中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
特性
不一定是轴对称图形
轴对称图形
有2条对称轴，它们分别是过两组对边中点的直线
有2条对称轴，它们分别是两条对角线所在的直线
有4条对称轴，其中2条是过两组对边中点的直线，另外2条是两条对角线所在的直线


或者可表示为：

知识点04 正方形的判定
（1）定理1：有一组领边相等的矩形是正方形。
（2）定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
（3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。
（4）定理4：对角线相等的菱形是正方形。
知识点05 中点四边形
1．中点四边形的概念
顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形。
2．常见的中点四边形
（1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
（2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
（3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。
（4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形。
（5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。
注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形。
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形。
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。
能力拓展

考法01 正方形的性质
【典例1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=CE，则∠CDF的度数为(　　)

A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
∴AD= AB，∠DAF=∠B=∠ADC=90°，∠BAC=45° ，
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAE=∠BAC=22.5° ，
在△ABE和△DAF中，

∴△ABE≌△DAF(SAS) ，
∴∠ADF=∠BAE=22.5° ，
∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=90° - 22.5° =67.5° .
故答案为：C.
【即学即练】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，过点B作BE⊥CC'于点E，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠C'CD=90°，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠C'CD=∠CBE，
又∵∠BEC=∠CC'D=90°，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE=C'D，BE=C C'，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC=BC'，
又∵BE⊥CC'，
∴CE=C'E=C'D=CC'=BE，
∵BC'=，
∴，
解得：CE=2，
∴线段C'D的长度为2.
故答案为：B.
【典例2】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC和CD上的两点，若AB＝1，△AEF为等边三角形，则CE＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵四边形正方形ABCD，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，
在Rt△EFC中，FE2＝CF2＋CE2，
∴AB2＋BE2＝CF2＋CE2，
∴x2＋1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x＋1＝0，
∴x＝2±，而x＜1，
∴x＝2﹣，
即BE的长为＝2﹣，
∴CE＝BC﹣BE＝1﹣（2﹣）＝﹣1，
故答案为：D．
【即学即练】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　）

A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴B'E=2AE，
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，
∴2（3-x）=x，
解得x=2．
故答案为：D．
考法02 正方形的判定
【典例3】如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 ；
②存在无数个矩形 ；
③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，OB=OD
∴∠MAO=∠NCO，
在△MAO和△NCO中

∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON；
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形，
∴ 存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
∵四边形MENF是平行四边形，
∴当MN=EF时，四边形MENF是矩形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
∵点E，F是BD上的动点，
∴只需MN⊥EF，OM=ON，
就存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：C.
【即学即练】如图，在四边形ABCD中，，，AC，BD交于点O．关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若添加“”，则四边形ABCD是菱形；
乙：若添加“”，则四边形ABCD是矩形；
丙：若添加“”，则四边形ABCD是正方形．
则说法正确的是（　　）

A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】B
【解析】解：在和中，

，
∴，
同理可证，
∴AC垂直平分BD，
甲：∵∥CD，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴，即四边形ABCD是菱形，故甲说法正确；
乙：添加“”，不能证明四边形ABCD是矩形，故乙说法不符合题意；
丙：∵，
∴，
∴∥CD，
由甲可知四边形ABCD是菱形，
又∵，
∴四边形ABCD是正方形，故丙说法正确；
综上所述：甲和丙说法正确，
故答案为：B．
【典例4】如图，正方形 的对角线 、 相交于点O，过点B作 的平行线，过点C作 的平行线，它们相交于点E.求证：四边形 是正方形.

【答案】证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形.
【解析】根据已知条件先证明四边形OBEC是平行四边形，再证明∠BOC=90°，OC=OB即可判定四边形OBEC是正方形.
【即学即练】如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于 E，过 E 做 EF⊥AD 于 F，连接BF交AE于P，连接PD．

（1）求证：四边形ABEF 是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，
∵EF⊥AD，
∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴四边形ABEF是正方形.
（2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：
​
∵四边形ABEF是正方形，
∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，∴AB∥PH，
∵AB=6，∴AH=PH=3，
∵AD=8，∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5，
在Rt△PHD中，∠PHD=90°．
∴tan∠ADP==
【解析】（1）根据正方形的判定定理，先证明四边形ABEF是矩形，再证明邻相等可得其为正方形；
（2）求tan∠ADP需要构造直角三角形，所以过点P作PH⊥AD于H，从而可找到突破口.
考法03 正方形综合应用
【典例5】如图，在四边形 中， ， ， ， . 为 上一点，且 .若 ，则 的长为（　　）

A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】解：过点 作 ，交CB延长线于

∵ ，
∴
∵ ，
∴四边形 为矩形
∵ ，
∴
∴矩形 为正方形
∴
设 ，则 ，
∴
即
∴
∴ ，即 ，
故答案为：C.
【即学即练】如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　）

A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】D
【解析】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC-BE=8-6=2cm.
故答案为：D.
【典例6】在 ABCD中，对角线AC与 DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件，下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且 OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD.其中正确的序号是　 　.
【答案】①③④
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥AD，
∴四边形ABCD是正方形，故①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，
∴平行四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵OB⊥OC，
∴平行四边形ABCD是正方形，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴平行四边形ABCD是正方形，故④正确.
故答案为：①③④．
【即学即练】在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形;②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形;③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有　 　.(填序号)

【答案】①②③
【解析】解：∵DE//CA，DF//BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，故①符合题意；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAF，
∵DF//BA，
∴∠BAD=∠ADF，
∴∠ADF=∠DAF，
∴AF=FD，
∴四边形AEDF是菱形，故②符合题意；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴由②可得，四边形AEDF是矩形，故③符合题意，④不符合题意.
故答案为：①②③.
分层提分

题组A 基础过关练
1．下列说法正确的有几个（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④对角线相等的平行四边形是矩形⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】C
【解析】解： ①对角线互相平分的四边形是平行四边形 ，正确；
②对角线相等的平行四边形是矩形 ，故原说法错误；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ，故原说法错误；
④对角线相等的平行四边形是矩形 ，正确；
⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 ，正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
2．如图，在正方形ABCD中，点O是的内心，连接BO并延长交CD于F点，则的度数是（　　）

A．45° B．60° C．67.5° D．75°
【答案】C
【解析】解：在正方形中，，
∵点是的内心，
∴是的平分线
∴，
∴．
故答案为：C．
3．若一个正方形的面积是28，则它的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设正方形的边长为a，则有：，
∴；
故答案为：B．
4．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（　　）

A． B． C．3 D．6
【答案】A
【解析】解：连接 ，如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，
∴ ，
当点Q在AB边上运动时（点Q不与点B重合），MN一直是△BQD的中位线，
则线段 .
故答案为：A.
5．已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为　 　．
【答案】3
【解析】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：

，
解得．
故答案为：3．
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB=　 　度。

【答案】15
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD
∵△ABD为等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=∠DAE+∠BAD=90°+60°=150°，AB=AE，
∴△BAE为等腰三角形，
∴.
故答案为：15.
7．如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．

【答案】解：证明：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠C=90°，所以，∠DAF=90°，所以，∠DAF=∠C，在△ADF和△CDE中， ，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴DE=DF．
【解析】根据正方形的性质得出 AD=CD，∠BAD=∠C=90°， 根据邻补角的定义得出 ∠DAF=90°，所以，∠DAF=∠C ，然后利用SAS 判断出 △ADF≌△CDE ，根据全等三角形的对应边相等得出 DE=DF．
8．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【解析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
题组B 能力提升练
1．如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，

∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四边形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，
∴，
∴，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴，
∴.
故答案为：D
2．如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF=2，则四边形AECF的周长等于（　　）

A．20 B． C．30 D．
【答案】D
【解析】解：如图，连接AC，AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝10，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，AC⊥EF
∵DEBF2，
∴OE＝OF＝OD－DE＝3，
在Rt△COE中，

∴
∵AO＝CO，OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵ AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF＝
∴四边形AECF的周长＝4
故答案为：D
3．如图，将边长为9的正方形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且，则AM的长是（　　）

A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】解：连接，过M作交BC于点H，MN交于点I，

由翻折可知：，，
设，
正方形ABCD的边长为9，
，
在中，，
，即，
解得，
，
，
四边形ABHM为矩形，
，，
，
，即，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
4．如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接AC，AF，

由对称可知：AF=AB=5，
∵在正方形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=90°，
∴AC=，
∵AF+CF≥AC，
∴当点F运动到AC上时，CF=AC-AF，CF此时取最小值，最小值为：．
故答案为：B．
5．如图，正方形ABCD中，E在BC延长线上，AE，BD交于点F，连结FC，若 ，那么 的度数是　 　．

【答案】58°
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，∠DCB=90°，AD=DC，∠ADF=∠CDF=45°，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF=∠DCF，
又∵AD∥BC，∠E=32°，
∴∠DAF=32°，
∴∠DCF=32°，
∴∠BCF=∠DCB-∠DCF=90°-32°=58°.
故答案为：58°.
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，则 ＝　 　．

【答案】3
【解析】解：如图，过点A作AQ∥CD，并交BC于点Q，

∴∠AQB=∠QCD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCQ为平行四边形，
∴AD=QC，AQ=DC，∠BCD=∠AEB，
∵∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠QCD=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴AB2+AQ2=BQ2，即AB2+DC2=BQ2，
∴S1+S3=BQ2，
又∵S1＋S3＝4S2，
∴4S2=BQ2=4AD2，
∴BQ=2AD，
∴BC=BQ+QC=2AD+AD=3AD，
∴=3.
故答案为：3.
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形.

（1）求证；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为，.求的长.
【答案】（1）证明：四边形是正方形，是平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由题意可知：，
，
，
，，
由（1）得.
【解析】（1）利用正方形的性质及平行四边形的性质可证得DE=BE=BF=DF，AD=BC，∠DEB=∠BFD=90°，再利用HL证明△ADE≌△CBF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用平行四边形的面积公式求出DE的长；可得到BE的长；根据AE=CF=AB-BE，代入计算求出CF的长.
8．如图①，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接．

（1）求证：；
（2）如图②，连接交于点H，连接，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，点H恰为中点，求的面积．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
在和中

∴
∴．
（2）解：由（1）知
∴
∵
∴
∴H，D，G三点共线
∵四边形是正方形
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
（3）解：∵四边形是正方形，
∴
∵H恰中点
∴
∵
∴
设，则
由（2）知
在中，由勾股定理知
∴
解得，
∴
∴．
【解析】（1）利用“SAS”证明可得；
（2）利用“SAS”证明可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明可得，设，则，列出方程，求出x的值，即可得到，最后利用三角形的面积公式可得。
题组C 培优拔尖练
1．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G.若 ， ，则 （　　）

A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】解：如图，过点 作 于 ，交 于点 ，

则 ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形CDHF为矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得 ，
∴ ，
，
∵ ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴.
故答案为：D.
2．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连接AC，EC，EC与BD交于点P，连接AP，此时PA+PE的值最小.

∵ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP=PC，∴PA+PE=PC+PE=EC.
正方形ABCD中，∵AB=BC=1，E为AB中点，∴BE= ，∴EC= = .
故答案为：A.
3．如图，是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“勾股定理”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图示的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是(　　)

A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【解析】解：A.当三张纸片的面积分别为1，4，5时，直角三角形的面积==1；
B.当三张纸片的面积分别为2，3，5时，直角三角形的面积==；
C.当三张纸片的面积分别为3，4，5时，∵3+4≠5，∴围成的不是直角三角形，排除；
D.当三张纸片的面积分别为2，2，4时，直角三角形的面积==1.
∴面积最大为，当三张纸片的面积分别为2，3，5时。
4．如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（　　）

A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】解：取BC、CD的中点G、H，连接GH，连接BD

∴GH为△BCD的中位线，∴
∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，
∴EF⊥AE，
当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C点处时，M点在CD中点处，
∴点M经过的路径长为GH的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴
∴ ，
故答案为：B.
5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，延长BC至E点，使CE=BC，连结AE交CD于点F，连结BF并延长与线段DE交于点G，则FG的长是　 　.

【答案】
【解析】解：如图，过点C作CP∥BG，交DE于点P.

∵BC=CE=2，
∴CP是△BEG的中位线，
∴P为EG的中点.
又∵AD=CE=2，AD∥CE，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴CF=DF，
又CP∥FG，
∴FG是△DCP的中位线，
∴G为DP的中点.
∵CD=CE=2，
∴DE=2，
因此DG=GP=PE=DE=.
连接BD，
易知∠BDC=∠EDC=45°，
所以∠BDE=90°，
又∵BD=2，
∴BG=，
∴FG=，
故答案为：.
6．如图，在四边形中，，，，连接，，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有　 　.（填序号）

【答案】①②④
【解析】解：

由四边形的内角和为360°，
，故①正确
过点A作交BC于点E，交CD的延长线于点F，

又，
∴四边形AECF为矩形，
∴，
又∴，
∴，
又∵，
∴≌（AAS），
∴，AE=AF，
∴矩形AECF为正方形，AC为对角线
∴，故②正确
且AC=，BD=，
而，
故，故③不正确
，，而，
∴，故④正确，
故答案为：①②④.
7．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．

（1）求证：；
（2）过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵AC是正方形的对角线，
∴∠
在△和△中，

∴△
∴
（2）解：①补全图形如下：

②连接GE，如图，

∵
∴∠
∴∠
∴，，
又
∴△
∴
∴，
由（1）知：△，
∴∠
∴∠即∠，
∴∠
由勾股定理得，，
∴，
∴
【解析】（1）正方形的对角线平分一组对角，可证三角形ABE与三角形ADE全等；
（2）由于CG＝FB，可连接EG，构造全等三角形，从而把DE、GE转化到同一三角形内。
8．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）
【答案】（1）AB＝AH
（2）解：AB＝AH成立，理由如下：
延长CB至E，使BE＝DN，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
∵BE＝DN，
∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
又AM＝AM，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH．
（3）解：分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：

∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．
由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，
∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，
解得x＝3，
∴NH＝3．