初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定精品综合训练题

第1讲  菱形的性质与判定

知识点01  菱形的定义

定义：有一组邻边    的平行四边形叫做菱形。

注意：菱形的定义的两个要素

①是平行四边形。

②有一组邻边相等。二者缺一不可。

即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.。

知识点02  菱形的性质

1．菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质；

（2）菱形的四条边都    ；

（3）菱形的两条对角线互相    ，并且每一条对角线    一组对角。

（4）菱形是      图形，有两条      （对角线所在的直线），对称轴的    就是对称中心。

注意：

①菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分。

②菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题。

2．菱形的面积计算

（1）平行四边形的面积公式：     

（2）两条对角线乘积的      （即四个小直角三角形面积之和）。

注意：

任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半。

知识点03  菱形的判定

菱形的判定方法：

1.菱形定义：有一组邻边      的平行四边形是菱形。

2.对角线互相      的平行四边形是菱形（或“对角线互相        的四边形是菱形”）。

3.四条边都      的四边形是菱形。

注意：

前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等。

考法01  菱形的性质

【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（　　） 

A．35° B．45° C．50° D．55°

【即学即练】如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点O，E为 中点，则 的度数为（　　） 

A．70° B．65° C．55° D．35°

【典例2】如图，四边形 A．BCD是菱形，顶点 A．，C的坐标分别是 ， ，点D在x轴上，则顶点B的坐标是（）

A． B．

C． D．

【即学即练】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是(3,4)，则点B的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【典例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2，OB=，则菱形ABCD的面积是（　　）

A． B． C．4 D．9

【即学即练】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＋BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．12 B．20 C．24 D．48

考法02  菱形的判定

【典例4】已知四边形ABCD对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形（　　） 

A．一组对边相等 B．对角线相等

C．对角线垂直 D．一个内角为

【即学即练】如图，四边形 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是(　　) 

A． B． C． D．

【典例5】如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（　　）

A．ACBD B．AB=BC C．AC=BD D．

【即学即练】四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是（　　）

A． B． C． D．

【典例6】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是　                    　（只填写一个条件）. 

【即学即练】如图，请你添加一个适当的条件　     　，使平行四边形ABCD成为菱形．

考法03  菱形的应用

【典例7】如图3，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，若PC=4，则PD等于（　　） 

A．1 B．3 C．4 D．2

【即学即练】如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(　　) 

A．6 mm B．12mm C．6 mm D．4 mm

【典例8】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ，若测得 之间的距离为 ，点 之间的距离为 ，则线段 的长为（　　）

A． B． C． D．

【即学即练】两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC.若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）.

A．2 B． C． D．

【典例9】如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC.当伞收紧时，点D与点M重合，且点A，E（F），D在同一条直线上.已知伞骨的部分长度如下（单位：cm）：DE=DF=AE=AF=40.

（1）求AM的长.

（2）当伞撑开时，量得∠BAC=110°，求AD的长.（结果精确到1cm）

参考数据：.

【即学即练】如图所示，是一种长0.3，宽0.2的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 ，宽2.8的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：

(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?

(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?

题组A  基础过关练

1．关于菱形的性质，以下说法错误的是（　　）

A．四条边相等 B．对角线相等

C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形

2．绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形

3．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） 

A． B． C． D．

4．若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为　     　.

5．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是　                    　（只填写一个条件）. 

6．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，3），则点C的坐标为　           　.

7．如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．

求证：EC＝FC．

8．如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，分别以点E，F为圆心，以AF，AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.

（1）请你判断所画四边形的形状，并说明理由；  

（2）若AE＝AF，请判断此四边形的形状，并说明理由.  

题组B  能力提升练

1．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（﹣1，﹣1）

C．（-1，1） D．（1，﹣1）

2．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（　　）

A．22 B．24 C．48 D．44

3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（　　）

A． B．8 C． D．

4．已知菱形的两条对角线的长分别是10㎝和24㎝，那么菱形的每条边长是　     　.

5．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　     　．

6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若，则菱形的周长为　     　．

7．如图，在中，，是的中线，点E是的中点，过点C作CF∥AB交的延长线于点F，连接．请判断四边形的形状，并加以证明．

8．如图，四边形 是平行四边形， ，且分别交对角线 于点 ， ，连接 .若 ，求证：四边形 是菱形. 

题组C  培优拔尖练

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连结菱形各边中点，得到矩形，再顺次连结矩形各边中点，得到菱形，…，这样继续下去.则四边形的面积为（　　）

A． B． C． D．

2．如图，在平行四边形 中， ，以点A为圆心， 为半径画弧与 交于点F，然后以大于 为半径，分别以B，F为圆心画弧交于点G，连接 交 于点E，若 ， ，则 的长为（　　） 

A． B． C．5 D．10

3．如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF＝5S△ABF，其中正确正确的结论有（　　） 

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4．如图，已知点A的坐标是，，点B的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是　     　．

5．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，F是AC上一个动点，则EF+BF的最小值是　     　 .

6．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点.若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则 PQE的周长的最小值是　     　.

7．如图， 是等腰三角形，其中 ，将 绕顶点B逆时针旋转 到 的位置， 与 相交于点D， 与 ， 分别相交于点E，F. 

（1）求证： ； 

（2）当 时，判断四边形 的形状并说明理由. 

8．如图，四边形 和四边形 均为菱形，且 ．点 在线段 上，已知 ， ，且 ，连接 ， ，求 的长．