【同步讲义】北师大版数学九年级上册：第06讲 一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）

第6讲 一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）

知识点01  一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念
通过化简后，只含有    未知数(一元)，并且未知数的最高次数是   (二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件

（1）整式方程；

（2）含有一个未知数；

（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如              ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是    二次项，    是二次项系数；    是一次项，    是一次项系数；    是常数项．
注意：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3．一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边    的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4．一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

知识点02  一元二次方程的解法

（一）直接开方法解一元二次方程
1．直接开方法解一元二次方程：
利用         直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
2．直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
注意：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
（二）配方法解一元二次方程：
1．配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成             的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：                .
3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
注意：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
4．配方法的应用

（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

（4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

注意：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
（三）公式法解一元二次方程

1．一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当            时，           

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：            ．
①当时，原方程有两个不等的实数根            ；
②当时，原方程有两个相等的实数根            ；
③当时，原方程    实数根.
3．用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
注意：

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.

（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.

①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.

② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.

③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

（四）因式分解法解一元二次方程

1．用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为    ；
（2）将方程左边分解为两个一次式的    ；
（3）令这两个一次式分别为    ，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2．常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

注意：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次           

因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

考法01   关于一元二次方程的判定

【典例1】下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【即学即练】若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（     ）

A． B． C．1 D．

考法02   一元二次方程的一般形式、各项系数的确定

【典例2】将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（       ）

A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1

【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3的方程是（       ）

A． B． C． D．

考法03   一元二次方程的解（根）

【典例3】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（       ）

A．0 B．2 C．4 D．6

【即学即练】若一元二次方程有一个解为，则k为（   ）

A． B．1 C． D．0

考法04   用直接开平方法解一元二次方程

【典例4】方程的解为（       ）

A．， B． C． D．

【即学即练】一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（       ）

A． B． C． D．

考法05   用配方法解一元二次方程

【典例5】用配方法解一元二次方程 x210x＋11＝0，此方程可化为（       ）

A．（x－5）2＝14 B．（x＋5）2＝14 C．（x－5）2 ＝36 D．（x＋5）2 ＝36

【即学即练】慧慧将方程2x2+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）2＝p的形式，则p的值为（　　）

A．7 B．8 C．3.5 D．4.5

考法06   配方法在代数中的应用

【典例6】已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（       ）

A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13

【即学即练】已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（   ）

A．6 B．9 C．2 D．

考法07   公式法解一元二次方程

【典例7】已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（       ）

①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；

②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；

④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

【即学即练】是下列哪个一元二次方程的根（   ）

A． B．

C． D．

考法08   因式分解法解一元二次方程

【典例8】一元二次方程的根是（       ）

A．， B．， C．， D．，

【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（       ）

A．11 B．27 C．5或11 D．21或27

题组A  基础过关练

1．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（       ）

A． B． C． D．

2．若方程是关于x的一元二次方程，则（          ）

A． B．m＝2 C． D．

3．用配方法解方程时，结果正确的是（       ）

A． B．

C． D．

4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（       ）

A．k≥－1 B．k＞－1 C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠0

5．方程的根是（     ）

A．， B．，

C．， D．，

6．已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________．

7．若一元二次方程无实数根，则的取值范围是_______．

8．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x1＝x2＝__________________．

题组B  能力提升练

1．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（       ）

A．3 B． C． D．0或

2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ）

A． B． C． D．

3．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（       ）

A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数

C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数

4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点N．若，，则的长为（       ）

A．2 B． C． D．3

5．已知实数a、b满足，则________．

6．如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是__________．

7．已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a．

(1)求2a+b的值；

(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．

8．先阅读，后解题．

已知，求m和n的值．

解：将左边分组配方：．即．

∵，，且和为0，

∴且，∴，．

利用以上解法，解下列问题：

(1)已知：，求x和y的值．

(2)已知a，b，c是的三边长，满足且为直角三角形，求c．

题组C  培优拔尖练

1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2．若对于任意实数a，b，c，d，定义     ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（       ）

A． B． C．3 D．

3．对于一元二次方程，下列说法：

①若，则；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若c是方程的一个根，则一定有成立；

②若是一元二次方程的根，则其中正确的（   ）

A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②

4．如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5．已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．

6．若时，代数式的为0，则代数式________．

7．已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0

(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；

(2)若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；

(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．

8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．

(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；

①x2﹣5x﹣6＝0；

②x2﹣x＋1＝0；

(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；

(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．