苏科版九年级上册1.1 一元二次方程精品当堂检测题

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第1章 一元二次方程
1.3 一元二次方程的根与系数的关系
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课程标准
课标解读
知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
2.了解一元二次方程的根与系数的关系，在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想。
知识精讲

知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【即学即练1】若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x1+x2 的值是（        ）
A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-3x-6=0的两个根，
∴x1+x2=3，
故选：A．
【即学即练2】关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
，
故选：D
知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用
1.验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
2.已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
3.不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
4.已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是
.
5.已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
6.利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
【即学即练3】已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（       ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【解析】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=10，
故选：A．
【即学即练4】设方程两个根为、，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由韦达定理可知，，，
则，
故选A．
能力拓展

考法 一元二次方程的根与系数的关系
【典例1】关于的方程，，是方程的两个根，设，则当的值为2时，______．
【答案】2
【解析】解：由题意得：，；
若的值为2时，
则


将，的值分别代入并整理得：

解得：，
∵该方程有两个根，∴，∴舍去，
∴当时，的值为2；
故答案为：2．
【典例2】设a、b是方程的两实数根，则______．
【答案】2022
【解析】解：是的两实数根，
，，
，，，
则





，
故答案为：2022．
分层提分

题组A 基础过关练
1．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（       ）
A．0 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两个根，
∴x1+x2=1，x12−x1−1=0，
两式相加得：x12−x1−1+ x1+x2=1
移项得：x12 +x2=2
故选 B
2．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（       ）
A．2022 B．-2022 C．2020 D．-2020
【答案】A
【解析】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴＝1－（﹣2021）＝2022．
故选：A．
3．方程的两根为，则等于（       ）
A．4 B．－4 C．3 D．－3
【答案】A
【解析】解：方程的两根为，

故选A
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一个根是3，则它的另一个根为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】解：已知方程的一个根，设方程的另一个根是，
由根与系数的关系得，
解得．
即另一个根是﹣1．
故选：A．
5．一元二次方程的两根之和为（       ）
A．－5 B．5 C．－4 D．4
【答案】B
【解析】解：一元二次方程x2-5x+4=0的两根之和为5，故选：B．
6．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（             ）
A．1和6 B．5和 C．和6 D．5和6
【答案】D
【解析】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故选：D．
题组B 能力提升练
1．关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则_________．
【答案】
【解析】解：∵一元二次方程的两根是，，
∴，，
∴．
故答案是： ．
2．设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，则a+b﹣ab＝_____．
【答案】2015
【解析】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣2018．
∴a+b﹣ab＝﹣3﹣（﹣2018）＝2015，
故答案为：2015．
3．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是______．
【答案】
【解析】解：将一元二次方程化为，
一元二次方程的两个根是与，
，解得，
故答案为：．
4．若，是方程的两个根，则的值是______．
【答案】
【解析】解：∵，是方程的两个根，
∴，，，
∴



．
故答案为：．
5．已知一元二次方程的两根分别为，则的值等于_______．
【答案】9
【解析】解：由题意得，


故答案为：9．
6．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【答案】
【解析】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴，
故答案为：．
7．对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____．
【答案】20
【解析】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：20．
8．已知是方程的一个根，那么此方程的另一个根为______．
【答案】
【解析】解：是方程的一个根，




∴此方程的另外一个根为
故答案为：
题组C 培优拔尖练
1．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（       ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
【答案】C
【解析】解：∵和是关于x的方程的两根，
∴，
∴
∴
故选：C
2．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（       ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】解：a-b+c=0，则b=a+c，=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2，
∴，则，

∴，所以②正确；
∵方程有一个根是，
∴

∴
∴
所以③正确．
故选：A．
3．若是方程的两个实数根，则的值为（       ）
A．3或 B．或9 C．3或 D．或6
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
4．方程与的所有根的和为______．
【答案】-1
【解析】解：设方程的两根是x1、x2，方程的两根是x3、x4，
在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1+24＝25＞0，
∴此方程有实数根，
同理在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1-32＝-310，
∴此方程没有实数根，
又∵x1+x2＝﹣＝-1，
∴两个方程的实数根的和是-1．
故答案为-1．
5．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【解析】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
6．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
【答案】①④
【解析】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
故①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，
则x1＝﹣1，x2 ，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，
故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即＝4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x＝0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，
∴x1x2＝×＝（x1+x2），
∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为：①④．
7．如果一元二次方程的两个根为，，则______．
【答案】-4
【解析】解：由题意得： ， ，
∴


=-4．
故答案为：-4．
8．已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2＋15，求k的值．
【答案】(1)；(2)k＝4
【分析】(1)∵关于x的方程有两个实数根，
∴，解得；
(2)∵方程的两实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝k＋1，，
∵x12＋x22＝6x1x2-15，
∴（x1＋x2）2-8x1x2+15＝0，
∴k2-2k-8＝0，解得：k1＝4，k2＝-2，
又∵，
∴k＝4．
9．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
【答案】(1)见详解；(2)
【分析】(1)解：∵，
∴，
∴
=
=4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
(2)解：由（1）及根与系数的关系可得：，
∵，
∴，
代入得：，整理得：，
∴．
10．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：
(1)以下为倍根方程的是　 　；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；
(2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；
(3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程是倍根方程，求此倍根方程．
【答案】(1)②；(2)0；(3)
【分析】(1)①x2﹣x﹣2＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
②x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2)(x﹣4)＝0,
x1＝2，x2＝4，
∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
故答案为②；
(2)mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，
解得：x1＝2，x2，
∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，
∴2或4，即m＝﹣n或mn，
∴m+n＝0或4m+n＝0；
∴4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；
(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，
则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，
∴b2ac＝0，
∵x2n＝0是倍根方程，
∴（）2n＝0，整理，得：m＝3n，
∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，
∴n＝3m﹣8，
∴n＝1，m＝3，
∴此倍根方程为x2x0．
11．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列两个方程是“差根方程”是： （填序号）
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【答案】(1)②；(2)a＝±；(3)b2＝a2+4a
【分析】(1)解：①设，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
方程不是差根方程；
②设，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
方程是差根方程；
故答案为：②；
(2)解：，
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即；
(3)解：设，是一元二次方程，是常数，的两个实数根，
，，
关于的方程，是常数，是“差根方程”，
，
，即，
．