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    【同步讲义】苏科版数学九年级上册:第03讲 一元二次方程的根与系数关系 讲义
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    苏科版九年级上册1.1 一元二次方程精品当堂检测题

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    这是一份苏科版九年级上册1.1 一元二次方程精品当堂检测题,文件包含同步讲义苏科版数学九年级上册第03讲一元二次方程的根与系数关系学生版docx、同步讲义苏科版数学九年级上册第03讲一元二次方程的根与系数关系教师版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共22页, 欢迎下载使用。

    第1章 一元二次方程
    1.3 一元二次方程的根与系数的关系
    目标导航

    课程标准
    课标解读
    知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题
    1.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
    2.了解一元二次方程的根与系数的关系,在不解一元二次方程的情况下,会求直接(或变形后)含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想。
    知识精讲

    知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
    如果一元二次方程的两个实数根是,
    那么,.
    注意它的使用条件为a≠0, Δ≥0.
    也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
    【即学即练1】若 x1,x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6=0 的两个根,则 x1+x2 的值是(        )
    A.3 B.﹣3 C.﹣6 D.6
    【答案】A
    【解析】解:∵x1,x2是一元二次方程x2-3x-6=0的两个根,
    ∴x1+x2=3,
    故选:A.
    【即学即练2】关于x的一元二次方程有两根,其中一根为,则这两根之积为(       )
    A. B. C.1 D.
    【答案】D
    【解析】解:关于x的一元二次方程有两根,其中一根为,
    设另一根为,则,


    故选:D
    知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用
    1.验根.不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根;
    2.已知方程的一个根,求方程的另一根及未知系数;
    3.不解方程,可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值.此时,常常涉及代数式的一些重要变形;如:
    ①;
    ②;
    ③;
    ④;
    ⑤;
    ⑥;
    ⑦;
    ⑧;
    ⑨;
    ⑩.
    4.已知方程的两根,求作一个一元二次方程;以两个数为根的一元二次方程是
    .
    5.已知一元二次方程两根满足某种关系,确定方程中字母系数的值或取值范围;
    6.利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
    设一元二次方程的两根为、,则
    ①当△≥0且时,两根同号.
    当△≥0且,时,两根同为正数;
    当△≥0且,时,两根同为负数.
    ②当△>0且时,两根异号.
    当△>0且,时,两根异号且正根的绝对值较大;
    当△>0且,时,两根异号且负根的绝对值较大.
    【即学即练3】已知m、n是一元二次方程的两个根,则的值为(       )
    A.0 B.-10 C.3 D.10
    【答案】A
    【解析】解:∵m、n是一元二次方程的两个根,
    ∴mn=-5,m2+2m-5=0,
    ∴m2+2m=5,
    ∴=5-5=10,
    故选:A.
    【即学即练4】设方程两个根为、,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    由韦达定理可知,,,
    则,
    故选A.
    能力拓展

    考法 一元二次方程的根与系数的关系
    【典例1】关于的方程,,是方程的两个根,设,则当的值为2时,______.
    【答案】2
    【解析】解:由题意得:,;
    若的值为2时,



    将,的值分别代入并整理得:

    解得:,
    ∵该方程有两个根,∴,∴舍去,
    ∴当时,的值为2;
    故答案为:2.
    【典例2】设a、b是方程的两实数根,则______.
    【答案】2022
    【解析】解:是的两实数根,
    ,,
    ,,,







    故答案为:2022.
    分层提分

    题组A 基础过关练
    1.已知,是一元二次方程的两根,则的值为(       )
    A.0 B.2 C.1 D.-1
    【答案】B
    【解析】解:∵x1,x2是一元二次方程x2−x−1=0的两个根,
    ∴x1+x2=1,x12−x1−1=0,
    两式相加得:x12−x1−1+ x1+x2=1
    移项得:x12 +x2=2
    故选 B
    2.设a,b是方程的两个实数根,则的值为(       )
    A.2022 B.-2022 C.2020 D.-2020
    【答案】A
    【解析】解:∵a,b是方程x2﹣x﹣2021=0的两个实数根,
    ∴a+b=1,ab=﹣2021,
    ∴=1-(﹣2021)=2022.
    故选:A.
    3.方程的两根为,则等于(       )
    A.4 B.-4 C.3 D.-3
    【答案】A
    【解析】解:方程的两根为,

    故选A
    4.已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣3=0的一个根是3,则它的另一个根为(  )
    A.﹣1 B.0 C.1 D.2
    【答案】A
    【解析】解:已知方程的一个根,设方程的另一个根是,
    由根与系数的关系得,
    解得.
    即另一个根是﹣1.
    故选:A.
    5.一元二次方程的两根之和为(       )
    A.-5 B.5 C.-4 D.4
    【答案】B
    【解析】解:一元二次方程x2-5x+4=0的两根之和为5,故选:B.
    6.若,是一元二次方程的两个根,则,的值分别是(             )
    A.1和6 B.5和 C.和6 D.5和6
    【答案】D
    【解析】解:∵,是一元二次方程的两个根,
    ∴x1+x2=5,x1x2=6,
    故选:D.
    题组B 能力提升练
    1.关于x的一元二次方程的两个根分别为和,则_________.
    【答案】
    【解析】解:∵一元二次方程的两根是,,
    ∴,,
    ∴.
    故答案是: .
    2.设a,b是方程x2+3x﹣2018=0的两个实数根,则a+b﹣ab=_____.
    【答案】2015
    【解析】解:∵a,b是方程x2+3x﹣2018=0的两个实数根,
    ∴a+b=﹣3,ab=﹣2018.
    ∴a+b﹣ab=﹣3﹣(﹣2018)=2015,
    故答案为:2015.
    3.若一元二次方程的两个根是与,则m的值是______.
    【答案】
    【解析】解:将一元二次方程化为,
    一元二次方程的两个根是与,
    ,解得,
    故答案为:.
    4.若,是方程的两个根,则的值是______.
    【答案】
    【解析】解:∵,是方程的两个根,
    ∴,,,





    故答案为:.
    5.已知一元二次方程的两根分别为,则的值等于_______.
    【答案】9
    【解析】解:由题意得,


    故答案为:9.
    6.若实数a、b分别满足a2﹣4a+3=0,b2﹣4b+3=0,且a≠b,则的值为 _____.
    【答案】
    【解析】解:∵a、b分别满足a2﹣4a+3=0,b2﹣4b+3=0,
    ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根,
    ∴a+b=4,ab=3,
    ∴,
    故答案为:.
    7.对于实数,定义运算“※”:※=.例如,4※2=4×2×(4+2)=48.若是关于的一元二次方程的两个实数根,则※=_____.
    【答案】20
    【解析】解:∵是关于的一元二次方程的两个实数根,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:20.
    8.已知是方程的一个根,那么此方程的另一个根为______.
    【答案】
    【解析】解:是方程的一个根,




    ∴此方程的另外一个根为
    故答案为:
    题组C 培优拔尖练
    1.若和是关于x的方程的两根,且,则b的值是(       )
    A.-3 B.3 C.-5 D.5
    【答案】C
    【解析】解:∵和是关于x的方程的两根,
    ∴,


    故选:C
    2.下列关于x的一元二次方程的命题中,真命题有(       )
    ①若,则;
    ②若方程两根为1和-2,则;
    ③若方程有一个根是,则
    A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
    【答案】A
    【解析】解:a-b+c=0,则b=a+c,=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,所以①正确;
    ∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2,
    ∴,则,

    ∴,所以②正确;
    ∵方程有一个根是,




    所以③正确.
    故选:A.
    3.若是方程的两个实数根,则的值为(       )
    A.3或 B.或9 C.3或 D.或6
    【答案】A
    【解析】解:∵,
    ∴,
    ,则两根为:3或-1,
    当时,,
    当时,,
    故选:A.
    4.方程与的所有根的和为______.
    【答案】-1
    【解析】解:设方程的两根是x1、x2,方程的两根是x3、x4,
    在方程中,Δ=b2﹣4ac=1+24=25>0,
    ∴此方程有实数根,
    同理在方程中,Δ=b2﹣4ac=1-32=-310,
    ∴此方程没有实数根,
    又∵x1+x2=﹣=-1,
    ∴两个方程的实数根的和是-1.
    故答案为-1.
    5.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1=0的两实数根,且=x12+2x2﹣1,则k的值为 _____.
    【答案】2
    【解析】解:∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1=0的两实数根,
    ∴x1+x2=2,x1•x2=k﹣1,x12﹣2x1+k﹣1=0,
    ∴x12=2x1﹣k+1,
    ∵=x12+2x2﹣1,
    ∴=2(x1+x2)﹣k,
    ∴=4﹣k,
    解得k=2或k=5,
    当k=2时,关于x的方程为x2﹣2x+1=0,Δ≥0,符合题意;
    当k=5时,关于x的方程为x2﹣2x+4=0,Δ<0,方程无实数解,不符合题意;
    ∴k=2,
    故答案为:2.
    6.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,且满足数轴上x1,x2所表示的点到2所表示的点的距离相等,则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法,正确的有___.(填序号)
    ①方程x2﹣4x=0是关于2的等距方程;
    ②当5m=﹣n时,关于x的方程(x+1)(mx+n)=0一定是关于2的等距方程;
    ③若方程ax2+bx+c=0是关于2的等距方程,则必有b=﹣4a(a≠0);
    ④当两根满足x1=3x2,关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程.
    【答案】①④
    【解析】解:①∵x2﹣4x=0,
    ∴x(x﹣4)=0,
    ∴x1=0,x2=4,
    则|x1﹣2|=|x2﹣2|,
    故①正确;
    ②当m≠0,n≠0时,(x+1)(mx+n)=0,
    则x1=﹣1,x2 ,
    ∵5m=﹣n,
    ∴x2=5,
    ∴|x1﹣2|=|x2﹣2|,(x+1)(mx+n)=0是关于2的等距方程;
    当m=n=0时,原方程x+1=0不是一元二次方程,
    故②错误;
    ③对于方程ax2+b+c=0(a≠0),由韦达定理得:x1+x2=,
    ∵方程是2的等距方程,
    ∴|x1﹣2|=|x2﹣2|,
    则x1﹣2=x2﹣2或x1﹣2=2﹣x2,
    ∴x1=x2或x1+x2=4,
    当x1=x2时,x1=x2=,不能判断a与b之间的关系,
    当x1+x2=4时,即=4,
    ∴b=﹣4a,
    故ax2+bx+c=0(a≠0)是2的等距方程时,b不一定等于﹣4a,故③错误;
    ④对于方程px2﹣x=0有两根满足x1=3x2,
    由韦达定理得:x1x2=,x1+x2=,
    ∴x1x2=×=(x1+x2),
    ∴3x22=(3x2+x2)=3x2,
    ∴x2=1或x2=0(舍去),
    ∴x1=3x2=3,
    ∴|x1﹣2|=|x2﹣2|,
    即px2﹣x+=0是关于2的等距方程,故④正确,
    故正确的有①④,
    故答案为:①④.
    7.如果一元二次方程的两个根为,,则______.
    【答案】-4
    【解析】解:由题意得: , ,



    =-4.
    故答案为:-4.
    8.已知关于x的方程有两个实数根
    (1)求k的取值范围;
    (2)若方程的两实数根分别为x1,x2,且x12+x22=6x1x2+15,求k的值.
    【答案】(1);(2)k=4
    【分析】(1)∵关于x的方程有两个实数根,
    ∴,解得;
    (2)∵方程的两实数根分别为x1,x2,
    ∴x1+x2=k+1,,
    ∵x12+x22=6x1x2-15,
    ∴(x1+x2)2-8x1x2+15=0,
    ∴k2-2k-8=0,解得:k1=4,k2=-2,
    又∵,
    ∴k=4.
    9.已知关于x的一元二次方程.
    (1)证明方程有两个不相等的实数根;
    (2)设方程的两个实数根为,,若,求m的值.
    【答案】(1)见详解;(2)
    【分析】(1)解:∵,
    ∴,

    =
    =4>0,
    ∴该方程有两个不相等的实数根;
    (2)解:由(1)及根与系数的关系可得:,
    ∵,
    ∴,
    代入得:,整理得:,
    ∴.
    10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,研究发现了此类方程的一般性结论,设其中一根为t,则另一根为2t,因此ax2+bx+c=a(x﹣t)(x﹣2t)=ax2﹣3atx+2t2a,所以有b2ac=0;我们记“K=b2ac”,即K=0时,方程ax2+bx+c=0为倍根方程:下面我们根据所获信息来解决问题:
    (1)以下为倍根方程的是   ;(写出序号) ①方程x2﹣x﹣2=0;②x2﹣6x+8=0;
    (2)若关于的x方程mx2+(n﹣2m)x﹣2n=0是倍根方程,求4m2+5mn+n2的值;
    (3)若A(m,n)在一次函数y=3x﹣8的图象上,且关于x的一元二次方程是倍根方程,求此倍根方程.
    【答案】(1)②;(2)0;(3)
    【分析】(1)①x2﹣x﹣2=0,
    (x+1)(x﹣2)=0,
    x1=﹣1,x2=2,
    ∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程;
    ②x2﹣6x+8=0,
    (x﹣2)(x﹣4)=0,
    x1=2,x2=4,
    ∴方程x2﹣6x+8=0是倍根方程;
    故答案为②;
    (2)mx2+(n﹣2m)x﹣2n=0,
    因式分解得:(x﹣2)(mx+n)=0,
    解得:x1=2,x2,
    ∵方程mx2+(n﹣2m)x﹣2n=0是倍根方程,
    ∴2或4,即m=﹣n或mn,
    ∴m+n=0或4m+n=0;
    ∴4m2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0;
    (3)设其中一根为t,则另一个根为2t,
    则ax2+bx+c=a(x﹣t)(x﹣2t)=ax2﹣3atx+2t2a,
    ∴b2ac=0,
    ∵x2n=0是倍根方程,
    ∴()2n=0,整理,得:m=3n,
    ∵A(m,n)在一次函数y=3x﹣8的图象上,
    ∴n=3m﹣8,
    ∴n=1,m=3,
    ∴此倍根方程为x2x0.
    11.x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,若满足|x1﹣x2|=1,则此类方程称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义,解决下列问题:
    (1)通过计算,判断下列两个方程是“差根方程”是: (填序号)
    ①x2﹣4x﹣5=0;
    ②2x2﹣2x+1=0;
    (2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”,求a的值;
    (3)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差根方程”,请探索a与b之间的数量关系式.
    【答案】(1)②;(2)a=±;(3)b2=a2+4a
    【分析】(1)解:①设,是一元二次方程的两个实数根,
    ,,

    方程不是差根方程;
    ②设,是一元二次方程的两个实数根,
    ,,

    方程是差根方程;
    故答案为:②;
    (2)解:,
    因式分解得:,
    解得:,,
    关于的方程是“差根方程”,
    ,即;
    (3)解:设,是一元二次方程,是常数,的两个实数根,
    ,,
    关于的方程,是常数,是“差根方程”,

    ,即,

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