苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.1 导数的概念精品随堂练习题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.1 导数的概念精品随堂练习题，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第21讲导数的概念原卷版docx、同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第21讲导数的概念解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共0页， 欢迎下载使用。

第5章导数及其应用
第21讲 导数的概念
目标导航

课程标准
重难点
1. 了解平均变化率的实际背景.
2.理解平均变化率的含义.（重点）
3. 会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题.（难点）
3.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.
4.会求简单函数在某点处的导数及其图象在该点处的
切线方程.
重点∶1.会求平均变化率.
2.导数的几何意义.
难点∶1.理解平均变化率的实际难点.
2.理解导数与导函数概念.


知识精讲

知识点01 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：∆y∆x=fx2−f(x1)x2−x1
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，
函数y＝f(x)的平均变化率∆y∆x=fx2−f(x1)x2−x1=fx1+∆x−f(x1)∆x为割线AB的斜率，如图所示．

【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负.
【即学即练1】设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变为x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【答案】D
【解析】函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与在x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
【即学即练2】（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知函数fx=x2+2，则该函数在区间1,3上的平均变化率为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数fx=x2+2，所以该函数在区间1,3上的平均变化率为
f(3)−f(1)3−1=32+2−(12+2)2=4，故选：A
知识点02 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0fx0+∆x−f(x0)∆x
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意】“Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
【即学即练3】（2021·广东·洛城中学高二阶段练习）曲线y=2x2在点(1,2)处的瞬时变化率为（    ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】对曲线方程求导，将x=1代入求值，即可得瞬时变化率.
【详解】由题设，有y′=4x|x=1=4.故选：B
【即学即练4】（2022·全国·高二课时练习）函数fx=x2在x=1处的瞬时变化率是______．
【答案】2
【分析】根据导数定义，求解函数fx=x2在x=1处的导数即可.
【详解】解：∵fx=x2，∴fx在x=1处的瞬时变化率是
limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f1+Δx−f1Δx=limΔx→01+Δx2−12Δx=limΔx→02+Δx=2．故答案为：2

知识点03 瞬时速度
瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝st0+∆t−s(t0)∆t.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ st0+∆t−s(t0)∆t.
【即学即练5】（2022·湖南·高二课时练习）已知某物体走过的路程sm与时间ts之间的函数关系式为s=t2−1.通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：
(1)t=0s；
(2)t=2s；
(3)t=4s.
【答案】(1)0 ms(2)4ms(3)8ms
【分析】（1）根据瞬时速度的定义求解，
（2）根据瞬时速度的定义求解，
（3）根据瞬时速度的定义求解，
(1)当t=0时，由定义得瞬时速度为v=limΔt→0s(0+Δt)−s(0)Δt=limΔt→0[(Δt)2−1−(−1)]Δt=0（ms）
(2)当t=2时，由定义得瞬时速度为v=limΔt→0s(2+Δt)−s(2)Δt=limΔt→0[(2+Δt)2−1−(22−1)]Δt=4（ms）
(3)当t=4时，由定义得瞬时速度为v=limΔt→0s(4+Δt)−s(4)Δt=limΔt→0[(4+Δt)2−1−(42−1)]Δt=8（ms）
知识点04 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ fx0+∆x−f(x0)∆x.
【注意】
“函数y＝f(x)在x＝x0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；
“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关．
【即学即练6】函数fx=12x在x=2处的导数为（    ）
A．2 B．12 C．14 D．−18
【答案】D
【分析】利用导数的定义即可求出结果.
【详解】limΔx→0ΔfxΔx=limΔx→0f2+Δx−f2Δx=limΔx→0122+Δx−12×2Δx=limΔx→0−12⋅14+2Δx=−18，所以函数fx在x=2处的导数为−18.故选：D.
【即学即练7】已知函数fx=x−1x，则该函数在x=1处的切线斜率为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】因为f1+Δx−f1=1+Δx−11+Δx−1−11，
=Δx+1−11+Δx=Δx+Δx1+Δx，
所以斜率k=limΔx→0f1+Δx−f1Δx，
=limΔx→01+11+Δx=1+1=2．
故选：C

知识点05 割线的定义
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
【即学即练8】已知点Ax1,y1,B(x2,y2)在函数y=f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的
平均变化率为3，则下面叙述正确的是（    ）
A．曲线 y=f(x)的割线AB的倾斜角为π6
B．曲线 y=f(x)的割线AB的倾斜角为π3
C．曲线 y=f(x)的割线AB的斜率为－3
D．曲线 y=f(x)的割线AB的斜率为－33
【答案】B
【分析】根据平均变化率的意义，结合斜率与倾斜角的关系，即可判断和选择.
【详解】函数f(x)从x1到x2的平均变化率为3，则割线AB的斜率即为3，倾斜角为60°；
故选：B.
【即学即练9】如图，直线l为经过曲线上点P和Q的割线．

(1)若P(1,2)，Q(5,7)，求l的斜率；
(2)当点Q沿曲线向点P靠近时，l的斜率变大还是变小？
【答案】(1)54
(2)斜率变大

【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；
（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可；
（1）
解：因为P(1,2)，Q(5,7)，所以kl=7−25−1=54；
（2）
解：当Q沿曲线向点P靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又k=tanα，所以直线l的斜率变大了；


知识点06 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→mfx0+∆x−f(x0)∆x=f'(x0)相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
【即学即练10】已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．
【解析】因为＝3(1+△x)2−(1+△x)−3×12+1△x＝5＋3Δx，当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
【即学即练11】求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线方程．
【解析】在曲线f(x)＝x2＋1上的点A(1,2)的附近取一点B，设B点的横坐标为1＋Δx，
则点B的纵坐标为(1＋Δx)2＋1，所以函数的增量Δy＝(1＋Δx)2＋1－2＝(Δx)2＋2Δx，
所以切线AB的斜率kAB＝＝Δx＋2，∴ ＝ (Δx＋2)＝2，
这表明曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线斜率k＝2．∴所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
能力拓展

◆考点01 导数概念中极限的计算
【典例1】（2022·全国·高二课时练习）已知limΔx→0f(1)−f(1+Δx)Δx=3，则f(x)在x=1处的导数f′(1)=（    ）
A．−1 B．1 C．−3 D．3
【答案】C
【分析】根据条件可得出limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=−3，即可得出f′(1)的值.
【详解】limΔx→0f(1)−f(1+Δx)Δx=−limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=3，f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=−3．
故选：C
【典例2】（2021·全国·高二单元测试）设函数y=f(x)在x=2处可导，且limΔx→0f(2+Δx)−f(2)2Δx=1，则f′2等于（    ）
A．2 B．12 C．−2 D．−12
【答案】A
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】由导数的定义可得limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx=f′2，因为limΔx→0f(2+Δx)−f(2)2Δx=12limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx=12f′2=1，所以f′2=2，故选：A.
◆考点02 导数的几何意义-切线问题
【典例3】已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．
【解析】因为＝3(1+△x)2−(1+△x)−3×12+1△x＝5＋3Δx，当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
【典例4】求抛物线f(x)＝x2过点的切线方程．
【解析】由于点不在抛物线上，所以可设切点为(x0，x)，因为f′(x0)＝(x0+△x)2−x02△x＝(2x0＋Δx)＝2x0，所以该切线的斜率为2x0，又因为此切线过点和点(x0，x)，所以＝2x0，即x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)，即y＝4x－4，y＝6x－9.

【典例5】若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－3) C．(1,0) D．(1,5)
【答案】C
【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1.
把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x，得y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)．
◆考点03 利用图像理解导数的几何意义
【典例6】已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA) C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
【答案】B
【解析】由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA) 【典例7】已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．0 B．0 C．0 D．0 【答案】　C
【解析】　kAB＝f(3)−f(2)3−2＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0 分层提分

题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知函数fx=x2+2，则该函数在区间1,3上的平均变化率为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数fx=x2+2，
所以该函数在区间1,3上的平均变化率为
f(3)−f(1)3−1=32+2−(12+2)2=4，
故选：A
2．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（       ）
A．v≈0.185m/s，a≈10.288m/s2
B．v≈−0.185m/s，a≈10.288m/s2
C．v≈0.185m/s，a≈−10.288m/s2
D．v≈−0.185m/s，a≈−10.288m/s2
【答案】D
【详解】巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以v=0−1009×60≈−0.185m/s.
巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以a=0−20000×100060×609×60≈−10.288m/s2.
故选：D.
3．已知函数fx=x−1x，则该函数在x=1处的切线斜率为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】因为f1+Δx−f1=1+Δx−11+Δx−1−11，
=Δx+1−11+Δx=Δx+Δx1+Δx，
所以斜率k=limΔx→0f1+Δx−f1Δx，
=limΔx→01+11+Δx=1+1=2．
故选：C
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段t0,t1，t1,t2，t2,t3上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为（    ）

A．v1 C．v3 【答案】A
【分析】结合图象，利用平均变化率的定义求解.
【详解】因为v1=kOA，v2=kAB，v3=kBC，
由图象知kOA 所以v1 故选：A

二、多选题
5．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数st=t2+t+1表示，则（    ）
A．物体在t=1s时的瞬时速度为0m/s B．物体在t=0s时的瞬时速度为1m/s
C．瞬时速度为9m/s的时刻是在t=4s时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s
【答案】BCD
【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可
【详解】对于A：limΔt→0s1+Δt−s1Δt=limΔt→01+Δt2+1+Δt+1−12+1+1Δt=limΔt→03+Δt=3，
即物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s，A错误．
对于B：limΔt→0s0+Δt−s0Δt=limΔt→00+Δt2+0+Δt+1−1Δt=limΔt→01+Δt=1，
即物体在t=0s时的瞬时速度为1m/s，B正确．
对于C：设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s，
又limΔt→0st0+Δt−st0Δt=limΔt→02t0+1+Δt=2t0+1=9，
所以t0=4，物体在t=4s时的瞬时速度为9m/s，C正确．
对于D：v=s1−s01−0=2ms，D正确．
故选：BCD
三、填空题
6．物体做匀速运动，其运动方程是s=vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是______．
【答案】相等
【分析】由匀速运动易知平均速度和瞬时速度的定义求解即可.
【详解】因为平均速度为ΔsΔt=st0+Δt−st0Δt=vt0+Δt−vt0Δt=v，
瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0st0+Δt−st0Δt=limΔt→0vt0+Δt−vt0Δt=limΔt→0vΔtΔt=v
所以平均速度与任何时刻的瞬时速度任何时刻的瞬时速度相等．
故答案为：相等
7．函数y=fx=x2在x0,x0+Δx上的平均变化率为k1，在x0−Δx,x0上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是______．
【答案】k1>k2##k2 【分析】根据导数的定义分别求出从x0到x0+Δx和从x0−Δx到x0的平均变化率k1、k2，利用作差法比较k1、k2的大小即可.
【详解】∵函数y=fx=x2
从x0到x0+Δx的改变量为Δy=fx0+Δx−fx0=x0+Δx2−x02=Δx2x0+Δx，
∴k1=ΔyΔx=2x0+Δx．
∵函数y=fx=x2
从x0−Δx到x0的改变量为Δy=fx0−fx0−Δx=x02−x0−Δx2=Δx2x0−Δx，
∴k2=ΔyΔx=2x0−Δx．∵k1−k2=2Δx，而Δx>0，∴k1>k2．
8．气球的半径从2增加到3时，气球的体积平均膨胀率为______．
【答案】76π3
【分析】根据平均变化率的概念直接计算即可.
【详解】∵Δy=43π×33−43π×23=76π3，
Δx=3−2=1，
∴气球的体积平均膨胀率为ΔyΔx=76π3．
故答案为：76π3
9．若fx为可导函数，且limx→0f1−2x−f14x=−1，则过曲线y=fx上点1,f1处的切线斜率为______．
【答案】2
【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.
【详解】limx→0f1−2x−f14x=−1，故k=f′1=limx→0f1−2x−f1−2x=2.
故答案为：2

四、 解答题
10．分别根据下列条件，确定cosπ4+Δx−cosπ4Δx的符号：
(1)0<Δx<π4；
(2)−π4<Δx<0．
【答案】(1)负；
(2)正.

【分析】(1)由已知可求范围π4<Δx+π4<π2，根据cosx在(π4，π2)上单调递减，可得cos(Δx+π4) (2)由已知可求范围0<Δx+π4<π4，根据cosx在0,π4上单调递减，可得cos(Δx+π4)>cosπ4，即可判断已知等式的符号．
(1)
∵0<Δx<π4，则π4<Δx+π4<π2，
∵cosx在(π4，π2)上单调递减，则cos(Δx+π4) ∴ cos(π4+Δx)−cosπ4Δx的符号为负；
(2)
∵−π4<Δx<0，则0<Δx+π4<π4，
∵cosx在0,π4上单调递减，则cos(Δx+π4)>cosπ4，
∴ cos(π4+Δx)−cosπ4Δx的符号为正．
11．环境保护部门在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续检测结果如图所示（其中W1(t)，W2(t)分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较这两家企业的治污效果.

【答案】甲企业的治污效果好
【分析】由图象的变化率进行比较即可
【详解】当t0−Δt到t0时，
W甲=W1(t0)−W1(t0−Δt)−Δt，
W乙=W2(t0)−W2(t0−Δt)−Δt，
由图可知W1(t0)=W2(t0)，W1(t0−Δt)>W2(t0−Δt)，
可得W甲>W乙，
所以甲企业的治污效果好
12．如图，路灯距地面8m，一身高1.6m的人站在路灯的正下方，他沿路灯下方的直路以1.4m/s的速度从点A走向点B，求人影长度的变化速率.

【答案】720
【分析】设人的影长为y，行走的时间为x，由相似三角形求得y关于x的函数，然后由变化速率的定义求解．
【详解】设人的影长为y，行走的时间为x，
根据相似三角形的性质，有1.68＝yy+1.4x，得y＝720x,
人影长度的变化速率v＝ΔyΔx＝720(x+Δx)−720xΔx＝720.
13．求函数fx=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
【答案】3x02+3x0⋅Δx+(Δx)2
【分析】根据函数的平均变换率的计算公式，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，函数fx=x3，当自变量从x0到x0+Δx，
函数的平均变化率为f(x0+Δx)−f(x0)Δx=(x0+Δx)3−x03Δx
=x03+3x02⋅Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3−x03Δx=3x02⋅Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3Δx
=3x02+3x0⋅Δx+(Δx)2.
14．若一质点的运动方程为S=t2+3（位移单位：m，时间单位：s），则在时间段3,3+Δt上的平均速度是多少？
【答案】Δt+6
【分析】由平均速度的计算公式可得答案.
【详解】S3+Δt=3+Δt2+3，S3=32+3=12，
所以S3+Δt−S3=3+Δt2+3−12=Δt2+6Δt，
所以平均速度是S3+Δt−S3Δt=Δt2+6ΔtΔt=Δt+6.
15．已知函数f(x)＝2x2＋1，分别计算函数f(x)在区间[1, 4], [1, 2], [1, 1.5]上的平均变化率.
【答案】10，6，5
【分析】利用平均变化率的定义求解即可
【详解】函数f(x)在[1, 4]上的平均变化率为f(4)−f(1)4−1=2×42+1−(2×12+1)4−1=10，
在[1, 2]上的平均变化率为f(2)−f(1)2−1=6，
在[1, 1.5]上的平均变化率为f(1.5)−f(1)1.5−1=5.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等．在各时段内平均增长速度分别为v1、v2、v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（    ）
A．v1+v2+v33 B．1v1+1v2+1v33 C．3v1v2v3 D．31v1+1v2+1v3
【答案】D
【分析】本题可从变化率与导数的关系进行分析，结合题意，设出未知量，根据各时段平均增长速度计算即可．
【详解】解：设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段的增长量相等，
设为M，则M=v1t1=v2t2=v3t3，
整个时段内的平均增长速度为3Mt1+t2+t3=3MMv1+Mv2+Mv3=31v1+1v2+1v3.
故选：D．
2．下列四个命题中，不正确的是（    ）
A．若函数f(x)在x=x0处连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)
B．函数f(x)=x+2x2−4的不连续点是x=2和x=−2
C．若函数f(x)，g(x)满足limx→∞[f(x)−g(x)]=0，则limx→∞f(x)=limx→∞g(x)
D．limx→1x−1x−1=12
【答案】C
【分析】根据连续函数的定义判断A，连续点的定义判断B，由极限的计算公式计算极限判断D，根据极限定义举反例判断C．
【详解】由连续函数的定义知A正确；
函数f(x)=x+2x2−4的定义域是x≠±2，因此其不连续点是x=−2和x=2，B正确；
limx→1x−1x−1=limx→11x+1=12，D正确；
例如f(x)=x2=g(x)，f(x)−g(x)=0，limx→∞[f(x)−g(x)]=0，但limx→∞f(x)与limx→∞g(x)不存在，C错．
故选：C．

3．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于
A．4 B．4x C．4+2△x D．4+2△x2
【答案】C
【详解】试题分析：明确△y的意义，根据函数的解析式求出△y的表达式，即可得到答案．
解：∵△y=[2（1+△x）2﹣1]﹣1=2△x2+4△x，
∴=4+2△x，
故选C．
点评：本题考查△y的意义，即函数在点（1，1）的变化量，先求△y，即可得到 ，属于基础题．


二、多选题
4．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离ℎ（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为ℎt=2t2+2t，则下列说法正确的是（    ）.
A．前3s内球滚下的垂直距离的增量Δℎ=20m
B．在时间2,3内球滚下的垂直距离的增量Δℎ=12m
C．前3s内球在垂直方向上的平均速度为8m/s
D．在时间2,3内球在垂直方向上的平均速度为12m/s
【答案】BCD
【分析】结合函数关系式，根据前3s内和时间2,3内的Δt,Δℎ可求得平均速度，由此判断各个选项即可.
【详解】前3s内，Δt=3s，Δℎ=ℎ3−ℎ0=24m，
此时球在垂直方向上的平均速度为ΔℎΔt=243=8m/s，A错误；C正确；
在时间2,3内，Δt=1s，Δℎ=ℎ3−ℎ2=12m，
此时球在垂直方向上的平均速度为ΔℎΔt=121=12m/s，B正确；D正确.
故选：BCD.
5．已知Px0+Δx,fx0+Δx，Qx0−Δx,fx0−Δx，Mx0,fx0在抛物线fx=x2上，割线PM的斜率为k1，割线QM的斜率为k2，抛物线在M处的切线斜率为k，则（    ）
A．k1=2x0+Δx B．k2=2x0−Δx
C．k>k2 D．k>k1
【答案】AB
【分析】利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解.
【详解】因为k1=fx0+Δx−fx0x0+Δx−x0=2x0+Δx，
k2=fx0−fx0−Δxx0−x0−Δx=2x0−Δx，
所以k=2x0，
又Δx可正可负且不为零，
所以k，k1，k2的大小关系不确定．
故选：AB

三、解答题
6．已知函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，求：
(1)自变量的增量Δx；
(2)函数的增量Δy；
(3)函数的平均变化率.
【答案】(1)0.1
(2)0.21
(3)2.1

【分析】（1）利用增量的定义求解；
（2）利用增量的定义求解；
（3）利用平均变化率的定义求解；
(1)
解： Δx＝1.1－1＝0.1.
(2)
Δy＝f(1.1)－f(1) ＝1.12－1－(12－1)＝0.21.
(3)
ΔyΔx=0.210.1＝2.1.
7．求经过函数y=x2图象上两点A，B的斜率：
(1)xA=1，xB=1.001；
(2)xA=1，xB=0.9；
(3)xA=1，xB=0.99；
(4)xA=1，xB=0.999.
【答案】(1)2.001
(2)1.9
(3)1.99
(4)1.999

【分析】结合已知条件和直线的斜率公式，即可求解.
(1)
解：由函数y=x2，当xA=1时，可得yA=1，即A(1,1)，
当xB=1.001，可得yB=1.0012，即B(1.001,1.0012)，
所以直线AB的斜率为k=1.0012−11.001−1=2.001.
(2)
解：由函数y=x2，当xA=1时，可得yA=1，即A(1,1)
当xB=0.9，可得yB=0.92，即B(0.9,0.92)，
所以直线AB的斜率为k=0.92−10.9−1=1.9.
(3)
解：由函数y=x2，当xA=1时，可得yA=1，即A(1,1)
当xB=0.99，可得yB=0.992，即B(0.99,0.992)，
所以直线AB的斜率为k=0.992−10.99−1=1.99.
(4)
解：由函数y=x2，当xA=1时，可得yA=1，即A(1,1)
当xB=0.999，可得yB=0.9992，即B(0.999,0.9992)，
所以直线AB的斜率为k=0.9992−10.999−1=1.999.
8．已知f(x)=3x+1，求f(x)在区间a,b上的平均变化率：
(1)a=−1，b=2；
(2)a=−1，b=1；
(3)a=−1，b=−0.9.
【答案】(1)3
(2)3
(3)3

【分析】（1）根据平均变化率的含义，求出函数值的变化量，除以自变量的变化量，可得答案.
（2）根据平均变化率的含义，求出函数值的变化量，除以自变量的变化量，可得答案.
（3）根据平均变化率的含义，求出函数值的变化量，除以自变量的变化量，可得答案.
(1)
f(x)在区间−1,2上的平均变化率为ΔyΔx=f(2)−f(−1)2−(−1)=7−(−2)3=3 ；
(2)
f(x)在区间−1,1上的平均变化率为ΔyΔx=f(1)−f(−1)1−(−1)=4−(−2)2=3 ；
(3)
f(x)在区间−1,−0.9上的平均变化率为
ΔyΔx=f(−0.9)−f(−1)−0.9−(−1)=−1.7−(−2)0.1=3 .
9．甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间获利10万元，乙用5个月时间获利2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
【答案】乙的经营成果好
【分析】根据题意分别求得甲乙平均每月的获利，比较即可得到结论.
【详解】由题意，甲的平均每月的获利为105×12=16万元，乙的平均每月的获利为25万元，
因为25>16，乙的平均收益高于甲的平均获利，
所以乙的经营成果较好.

题组C 培优拔尖练
已知某气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是Vr=43πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数rV.
(2)分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率（精确到0.01），并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么意义？
（注：334π≈0.62，332π≈0.78）
【答案】(1)33V4π；
(2)0.62；  0.16; 可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快，说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢.

【分析】（1）由V=43πr3，可得r3=3V4π,从而得出答案.
（2）由题意分别由r1−r01−0，r2−r12−1可得答案.
(1)
体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是Vr=43πr3
即V=43πr3，则r3=3V4π,所以r=33V4π
所以rV=33V4π
(2)
气球的体积V从0 L增加到1 L过程中半径r的平均变化率r1−r01−0=33×14π−33×04π=33×14π≈0.62
气球的体积V从0 L增加到1 L过程中半径r的平均变化率r2−r12−1=33×24π−33×14π≈0.78−0.62=0.16
可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快，说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢.