高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第14章 统计14.4 用样本估计总体精品当堂检测题

第23讲  用样本估计总体

知识点01  用样本估计总体的集中趋势参数

1.平均数

(1)均值：一般地，把总体中所有数据的          称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。

(2)平均数：如果给定的一组数是则这组数的平均数为          。

(3)一般地，若取值为的频率分别为则其平均数为          。

(4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为：第j层的样本量为，样本平均数为，。记，则所有数据的样本平均数为。

2.众数：一组数据中出现次数最多的数。

3.中位数：一般地，将一组数据按照          的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的          即为这组数据的中位数。

【微点拨】平均数、中位数和众数的特点

(1)平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化。容易受极端值的影响。

(2)中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中(数据个数为奇数或数据个数为偶数且中间两数相等)，也可能不在所给的数据中(数据个数为偶数且中间两数不相等)。当一组数据的个别数据变动较大时，可以用          描述其集中趋势。

(3)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有多个数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。

4.频率直方图中的数字特征

(1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。

(2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积          ”来求出。

(3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。

【即学即练1】某学校对间学生公寓的卫生情况进行综合评比,依考核分数分为,,,四个等级.其中分数在的为等级;分数在的为等级;分数在的为等级;分数在的为等级.考核评估后,得其频率折线图如图所示,估计这间学生公寓评估得分为等级,的比评估得分为等级,的多(   )

A．间 B．间

C．间 D．间

知识点02  用样本估计总体的离散程度参数

1.极差：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为          .

2.样本方差和样本标准差

设一组样本数据其平均数为，则称，

即          为这个样本的方差，其算术平方根为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差。

3.标准差

因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度          ；标准差越小，数据的离散程度          。

对标准差的理解

(1)标准差反映的是这组数据偏离平均数的大小.在实际应用中，常被理解为          。

(2)常结合平均数、方差(标准差)的大小来进行人员的筛选和选拔。

4.一般地，若取值为的频率分别为则其方差为

          。

5.分层抽样数据的方差

一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为第j层的样本量为，样本平均数为：，样本方差为 ，。记 那么，所有数据的样本方差为

          【即学即练2】已知一组数据 的平均数为 6 ， 则这组数据的方差为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

知识点03 百分位数

1. k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk。

2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤

第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列；

第2步，计算。

第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第          位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；

第4步，如果 不是整数，那么将其向上          (即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数。

3.四分位数：常用的分位数有25百分位数，50百分位数(即中位数)和75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上四分位数。

【即学即练3】从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数，第75百分位数分别为（    ）．

A．92，85 B．92，88 C．92，96 D．96，96

考法01  用样本估计总体的集中趋势参数

【典例1】2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．

(1)求出直方图中m的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；

(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．

考法02  用样本估计总体的离散程度参数

【典例2】某工厂36名工人的年龄数据如下表．

(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

(2)计算（1）中样本的平均值和方差；

(3)36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？

考法03  百分位数估计

【典例3】某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)求样本中停车时长在区间上的频率；

(2)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；

(3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议．

题组A  基础过关练

1．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（    ）

A．110分 B．115分 C．116分 D．120分

2．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如下图，数据的分组依次为，，，.若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是（    ）

A．45 B．50 C．55 D．60

3．甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表

如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

4．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位：）如下表：

则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（    ）

A．28与28.5 B．29与28.5 C．28与27.5 D．29与27.5

5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（    ）

A．这种抽样方法是一种分层随机抽样

B．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

6．为了鉴定某种节能灯泡的质量，对其中 100只节能灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：（单位：小时 ）

则这些节能灯泡的平均使用寿命是 ________ 小时．

7．甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下， 则他们中参加奥运会的最佳人选是_____.

8．已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：

甲组：、、、、、；

乙组：、、、、、.

若这两组数据的第百分位数，第百分位数分别对应相等，则___________.

9．某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来,每次数学考试成绩情况如下：

甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.

乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.

计算出学生甲、乙的25%分位数和50%分位数．

10．某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求：

(1)直方图中的a的值；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数．

题组B  能力提升练

1．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：

高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），

高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）

若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（    ）

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

2．一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是（　　）

A．6.6 B．6 C．66 D．60

3．数据的平均数是，标准差为，则数据的平均数及方差为（    ）

A． B．

C． D．

4．如图是某小区居民月均用电量的频率分布直方图，则月用电量为范围内的用户所占比例为（   ）

A． B． C． D．

5．已知数据是某市普通职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，那么关于这个数据的说法正确的是（　　）

A．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

6．一个样本，，，的平均数是，且，是方程的两根，则这个样本的方差是________.

7．2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下:83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为___________ .

8．一个高中研究性学习小组对本地区2019年至2021年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭______万盒.

9．某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．

(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；

(2)求，，，；

(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．

10．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一参赛学生的成绩的众数、中位数.

题组C  培优拔尖练

1．若某同学连续三次考试的名次（第一名为，第二名为，以此类推，且可以有名次并列的情况）均不超过，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是（　　）

A．甲同学：平均数为，中位数为

B．乙同学：平均数为，方差小于

C．丙同学：中位数为，众数为

D．丁同学：众数为，方差大于

2．已知一组数据的平均数和方差分别为91，27，若向这组数据中再添加一个数据为91，新数据组的平均数和方差分别为，，则（    ）．

A． B． C． D．

3．关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（    ）

A．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查

B．若甲､乙两组数据的标准差满足，则可以估计甲比乙更稳定

C．若数据的平均数为，则数据 的平均数为

D．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本容量为60

4．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是（    ）

A．7 B．7.5 C．8 D．9

5．（多选）某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程（单位:103km）.

A类轮胎:；

B类轮胎:.

根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是（　　）

A．A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数

B．A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差

C．A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数

D．A类轮胎的性能更加稳定

6．（多选）某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的第60%分位数为75%

B．讲座前问卷答题的正确率的平均数大于70%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

7．随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数，得到了如下的频率分布表：

(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；

(2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.（精确到0.1）附：.

8．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40）第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.

(1)求x;

(2)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）;

(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1~5组，从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为，职业组中1~5组的成绩分别为.

①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;

②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.

9．从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

10．一家水果店店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：83，91，75，94，80，80，80，75，89，74，94，84，85，87，93，85，75，86，85，85..

(1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的平均数.

(2)一次进货太多，水果会变的不新鲜；进货太少，不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，第80百分位数是比较理想的进货需求，请问，每天应该进多少千克苹果？