高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性第2课时学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性第2课时学案设计，共14页。学案主要包含了利用图象求函数的最大值，利用函数的单调性求函数的最值，二次函数的最值问题等内容，欢迎下载使用。

导语
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．
你能从图中得出该天的最高气温和最低气温吗？
一、利用图象求函数的最大(小)值
问题1 如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象．观察并描述这三个图象的共同特征．
提示 函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．
问题2 你是怎样理解函数图象最高点的？
提示 图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
知识梳理
1．函数的最大值与最小值
注意点：
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标．
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值．
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性．
2．求函数最值的常用方法
(1)图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
(2)运用函数的单调性：若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)；若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
(3)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
例1 已知函数f(x)＝|x|(x＋1)．
(1)试画出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上的最大值．
解 (1)f(x)＝|x|(x＋1)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－x，x≤0，,x2＋x，x>0))的图象如图所示．
(2)由图象可知，
f(x)的增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))，(0，＋∞)；
减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).
(3)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4)，
所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上的最大值为eq \f(3,4).
反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解 y＝－|x－1|＋2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x，x≥1，,x＋1，x<1，))
图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．
二、利用函数的单调性求函数的最值
例2 已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1－1,x1＋2)－eq \f(x2－1,x2＋2)＝eq \f(3x1－x2,x1＋2x2＋2)，
因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝eq \f(4,7)，
f(x)min＝f(3)＝eq \f(2,5).
反思感悟 利用函数的单调性求最值的关注点
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x).
(1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
(1)证明 设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))
＝eq \f(x1－x2x1x2－1,x1x2).
∵1≤x11，
∴x1x2－1>0，
∴eq \f(x1－x2x1x2－1,x1x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)解 由(1)可知f(x)在[1,4]上是增函数，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，
最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，
最大值为f(4)＝eq \f(17,4).
综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是eq \f(17,4)，最小值是2.
三、二次函数的最值问题
例3 已知函数f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值m(t)；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值g(t)．
解 (1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝eq \f(a,2)，
所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当eq \f(a,2)≤eq \f(1,2)，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当eq \f(a,2)>eq \f(1,2)，即a>1时，
f(x)的最大值为f(0)＝1.
综上，m(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a，a≤1，,1，a>1.))
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝eq \f(1,2).
①当t≥eq \f(1,2)时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤eq \f(1,2)，即t≤－eq \f(1,2)时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t所以f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4).
综上，g(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2－t＋1，t≥\f(1,2)，,\f(3,4)，－\f(1,2)反思感悟 (1)含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．
(2)对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
①区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
②对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
③区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
跟踪训练3 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
解 函数f(x)＝x2－2x＋3的图象开口向上，其对称轴为x＝1，
(1)当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
(2)当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t,1]上是减函数，在[1，t＋1]上是增函数，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(1)＝2.
(3)当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得，g(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2－2t＋3，t>1，,2，0≤t≤1，,t2＋2，t<0.))
1.知识清单：
(1)函数的最大值、最小值定义．
(2)求解函数最值的方法．
2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．
1. 函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))
B．f(0)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))，f(0)
D．f(0)，f(3)
答案 B
解析 观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))).
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
答案 D
解析 ∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋7，－1≤x<1，,2x＋6，1≤x≤2，))则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案 A
解析 当－1≤x<1时，6≤f(x)<8；
当1≤x≤2时，8≤f(x)≤10，
所以f(x)的最大值、最小值分别为10,6.
4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________．
答案 ±2
解析 由题意知a≠0，
当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；
当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，
解得a＝－2.综上知a＝±2.
1．(多选)下列函数在[0，＋∞)上最小值为－2的是( )
A．y＝x2－2 B．y＝3x－2
C．y＝x2－2x－1 D．y＝1－x
答案 ABC
2．函数f(x)＝x＋eq \r(x)，x∈[0,4]的值域为( )
A．[0,3] B．[1,4]
C．[0,6] D．[0,4]
答案 C
解析 ∵函数y＝x＋eq \r(x)在区间[0,4]上是增函数，
∴f(x)∈[f(0)，f(4)]＝[0,6]．
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 当x≥1时，函数f(x)＝eq \f(1,x)是减函数，
此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；
当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2.
4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
答案 C
解析 设公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(19,2)))2＋30＋eq \f(192,4)，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4
＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
所以f(x)在[0,1]上是增函数．
又因为f(x)在[0,1]上的最小值为－2，
所以f(0)＝－2，即a＝－2.
所以f(x)的最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1.
6．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x∈M，,x2，x∈N，))其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中不正确的是( )
A．函数f(x)一定存在最大值
B．函数f(x)一定存在最小值
C．函数f(x)一定不存在最大值
D．函数f(x)一定不存在最小值
答案 ABD
解析 ∵函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x∈M，,x2，x∈N，))
其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，
∴若M＝(0，＋∞)，N＝(－∞，0]，
则f(x)的最小值为0，故D错误；
若M＝(－∞，0)，N＝[0，＋∞)，则f(x)无最小值，故B错误；
由M∪N＝R，可得图象无限上升，则f(x)无最大值，故A错误，C正确．
7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a答案 －2 0
解析 y＝－(x－3)2＋18，
∵a即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，－1≤x≤0，,x2，0答案 2
解析 f(x)的图象如图，
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
9．已知函数f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)(a>0，x>0)．
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))上取得的最大值为5，求实数a的值．
(1)证明 设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1－x2,x1·x2)，∵0∴x1－x2<0，x1·x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)(2)解 由题意知，f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))上是增函数，∴f(x)max＝f(4)＝5，
∴f(4)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,4)＝5，解得a＝eq \f(4,21).
10．已知函数f(x)＝eq \f(x,x2＋1)(x>0)．
(1)求证：f(x)在(0,1]上是增函数；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
(1)证明 设x1，x2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x\\al(2,1)＋1)－eq \f(x2,x\\al(2,2)＋1)
＝eq \f(x1x\\al(2,2)＋1－x2x\\al(2,1)＋1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1)
＝eq \f(x2－x1x2x1－1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1).
当00，x1x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上是增函数．
(2)解 当1≤x1x2－x1>0，x1x2－1>0，
f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上是减函数．
∴结合(1)(2)可知，f(x)的最大值为f(1)＝eq \f(1,2)，无最小值．
11．设函数f(x)＝eq \f(2x,x－2)在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则eq \f(m2,M)等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,8) C.eq \f(3,2) D.eq \f(8,3)
答案 D
解析 易知f(x)＝eq \f(2x,x－2)＝2＋eq \f(4,x－2)，
所以f(x)在区间[3,4]上为减函数，
所以M＝f(3)＝2＋eq \f(4,3－2)＝6，
m＝f(4)＝2＋eq \f(4,4－2)＝4，
所以eq \f(m2,M)＝eq \f(16,6)＝eq \f(8,3).
12．(多选)当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的值可以为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案 AB
解析 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，
∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.∴－2，－1可以．
13．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，－2] D．[1,2]
答案 D
解析 f(x)＝(x－1)2＋2，
∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，
且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
∴1≤m≤2，故选D.
14．函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在[1,4]上的最大值为________；最小值为________．
答案 5 4
解析 设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(4,x1)－x2－eq \f(4,x2)
＝x1－x2＋eq \f(4x2－x1,x1x2)
＝(x1－x2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,x1x2)))
＝(x1－x2)·eq \f(x1x2－4,x1x2)
＝eq \f(x1－x2x1x2－4,x1x2).
∵1≤x1∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理，f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；
当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
15．(多选)已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(gx，fx≥gx，,fx，fxA．最大值为3 B．最小值为－1
C．无最小值 D．无最大值
答案 CD
解析 由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，0≤x≤3，,x，x<0或x>3.))
作出函数F(x)的图象(图略)，
可得F(x)无最大值，无最小值．
16．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq \f(2,3).
(1)求证：f(x)是R上的减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
(1)证明 设x1，x2是任意的两个实数，且x1则x2－x1>0，
因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)所以f(x)是R上的减函数．
(2)解 由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有
f(x)≤f(x0)
f(x)≥f(x0)
结论
那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)
那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标