2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业三十平面向量的概念及线性运算

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业三十平面向量的概念及线性运算，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．“b∥a”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是( )
A．若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为平行四边形
B．若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为梯形
C．若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD为菱形
D．若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，且eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，则四边形ABCD为正方形
3．若M为△ABC的边AB上一点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．3eq \(CM,\s\up6(→))－2eq \(CA,\s\up6(→))B．3eq \(CA,\s\up6(→))－2eq \(CM,\s\up6(→))
C．3eq \(CM,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))D．3eq \(CA,\s\up6(→))＋2eq \(CM,\s\up6(→))
4．[2023·山东肥城模拟]在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量eq \(DF,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))B．eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))D．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
5．[2023·安徽定远模拟]已知向量a和b不共线，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，若A、B、D三点共线，则m＝( )
A．3B．2
C．1D．－2
6．[2023·江西宜春模拟]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))，则eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(5,8)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,8)eq \(AD,\s\up6(→))B．eq \f(3,8)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,8)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－eq \f(5,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AD,\s\up6(→))D．eq \f(5,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AD,\s\up6(→))
7．已知△ABC的边BC上有一点D，满足eq \(AD,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋2meq \(AC,\s\up6(→))，则m＝( )
A．1B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,4)
8．[2023·河南开封模拟]在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))不相等的是( )
A．2eq \(EF,\s\up6(→))B．eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
C．eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))D．eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FD,\s\up6(→))
9．(能力题)已知D，E为△ABC所在平面内的点，且eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，若eq \(CE,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(n,m)＝( )
A．－3B．3
C．eq \f(1,3)D．－eq \f(1,3)
10．(能力题)[2023·河南南阳模拟]如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足eq \(AM,\s\up6(→))＝3eq \(MB,\s\up6(→))，N是AC上的点且满足eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))，CM与BN交于点P，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AP,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)bB．eq \f(3,5)a＋eq \f(1,5)b
C．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)bD．eq \f(3,10)a＋eq \f(3,5)b
二、多项选择题
11．[2023·河北邯郸模拟]如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则( )
A．eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))
B．eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→))＝0
C．eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→))
D．eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))
12．(能力题)[2023·山东聊城二中月考]在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为△ABC的重心，则下述结论中正确的是( )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
B．eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
C．eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝0
D．eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0
三、填空题
13．在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AN,\s\up6(→))＝3eq \(NC,\s\up6(→))，M为AD的中点，则eq \(MN,\s\up6(→))＝________.(用a、b表示)
14．已知向量a与b不共线，若ma＋4b与a＋2b平行，则实数m＝________．
15．(能力题)如图，在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(DC,\s\up6(→))，E为边BC的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．
优生选做题
16．在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C．[0，1] D．[1，2]
17．[2023·山东泰安模拟]如图，在△ABC中，∠BAC＝eq \f(π,3)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，点P在线段CD上(P不与点C，D重合)，若△ABC的面积为4eq \r(3)，eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，则实数m＝______，|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为________．
课时作业（三十） 平面向量的概念及线性运算
1．解析：a＝b时一定有a∥b，必要的，但a∥b时，两个向量a，b不一定相等，如零向量与任意向量都平行，不充分．应为必要不充分条件．
故选B.
答案：B
2．解析：A选项，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，则AD∥BC，AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，A正确．
B选项，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，则AD∥BC，AD＝eq \f(1,3)BC，所以四边形ABCD为梯形，B正确．
C选项，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则AB∥DC，AB＝DC，四边形ABCD是平行四边形；由于|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD是菱形，C正确．
D选项，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则AB∥DC，AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形；由于eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为菱形，D选项错误．
故选D.
答案：D
3.
解析：根据题意做出图形，如图，
所以eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)（eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))）＝eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))，
所以eq \(CB,\s\up6(→))＝3eq \(CM,\s\up6(→))－2eq \(CA,\s\up6(→)).
故选A.
答案：A
4．解析：
如图所示，根据平面向量的运算法则，可得eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))）＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
故选B.
答案：B
5．解析：∵A、B、D三点共线，
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝λeq \(AB,\s\up6(→))＝λ（a＋mb）⇒λ＝2，λm＝6，
解得m＝3.
故选A.
答案：A
6．解析：在平行四边形ABCD中，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))），
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))）＝－eq \f(5,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AD,\s\up6(→)).
故选C.
答案：C
7．解析：因为D是BC上任一点，
所以存在唯一实数λ（0≤λ≤1），使eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＋（1－λ）eq \(AB,\s\up6(→))，
因为eq \(AD,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋2meq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝2m,1－λ＝m))，解得m＝eq \f(1,3).
故选C.
答案：C
8．解析：
因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))，
所以2eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，
所以A正确，
因为eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))，
所以eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))，所以B正确，
因为eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))，
所以eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))，所以C正确，
因为eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FD,\s\up6(→))＝eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝－（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))），
所以D错误．
故选D.
答案：D
9．解析：因为eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))，
则eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))＝2（eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))），
所以2eq \(CE,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,2)（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以m＝eq \f(1,4)，n＝－eq \f(3,4)，
故eq \f(n,m)＝－3.
故选A.
答案：A
10．解析：eq \(AM,\s\up6(→))＝3eq \(MB,\s\up6(→))⇒eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))⇒eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
由C，P，M共线，存在λ∈R，使eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＋（1－λ）eq \(AM,\s\up6(→))⇒eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3（1－λ）,4)eq \(AB,\s\up6(→))，①
由N，P，B共线，存在μ∈R，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝μeq \(AN,\s\up6(→))＋（1－μ）eq \(AB,\s\up6(→))⇒eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(μ,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋（1－μ）eq \(AB,\s\up6(→))，②
由①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(μ,2),\f(3（1－λ）,4)＝1－μ))，解得
λ＝eq \f(1,5)，μ＝eq \f(2,5)，故eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)a＋eq \f(1,5)b.
故选B.
答案：B
11．解析：由题意得：
结合正六边形的性质可知，对于选项A，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))，故A错误；
对于选项B，eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→))＝0，故B正确；
对于选项C，eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，故C错误；
对于选项D，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))，故D正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为△ABC的重心，
因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))≠eq \(CA,\s\up6(→))，故A错误；
由eq \f(1,2)（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))）＝eq \(AD,\s\up6(→))≠eq \(AG,\s\up6(→))，故B错误；
因为eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))）＝0，故C正确；
因为eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)[eq \f(1,2)（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))）＋eq \f(1,2)（eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))）＋eq \f(1,2)（eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))）]
＝－eq \f(1,3)（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))）＝0，故D正确．
故选CD.
答案：CD
13．解析：
如图：eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)b＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)b＋eq \f(3,4)（a＋b）＝eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b.
答案：eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b
14．解析：因为向量a与b不共线，
又因为ma＋4b与a＋2b平行，
所以ma＋4b＝λ（a＋2b），λ∈R，即ma＋4b＝λa＋2λb.
因为a与b不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝λ,2λ＝4))，解得m＝2，λ＝2，
所以实数m的值为2.
答案：2
15．解析：
连接AC，如图所示：
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)（eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))）＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)（eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))），
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,6).
答案：eq \f(7,6)
16．解析：
由题意，设eq \(AN,\s\up6(→))＝teq \(AM,\s\up6(→))，（0≤t≤1），
当t＝0时，eq \(AN,\s\up6(→))＝0，所以λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0.
当0所以teq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，即eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(λ,t)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(μ,t)eq \(AC,\s\up6(→))，
因为M、B、C三点共线，所以eq \f(λ,t)＋eq \f(μ,t)＝1，即λ＋μ＝t∈（0，1].
综上，λ＋μ的取值范围是[0，1].
故选C.
答案：C
17．解析：因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
而eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－meq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))－meq \(AC,\s\up6(→)).
因为eq \(CD,\s\up6(→))与eq \(PD,\s\up6(→))为非零共线向量，故存在实数λ使得eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝λ（eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))－meq \(AC,\s\up6(→))），
故λ＝4，m＝eq \f(1,4)，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
|eq \(AP,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,16)eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))2＋2×eq \f(1,8)×|eq \(AC,\s\up6(→))|×|eq \(AB,\s\up6(→))|×eq \f(1,2)，
△ABC的面积为4eq \r(3)，eq \f(1,2)×|eq \(AC,\s\up6(→))|×|eq \(AB,\s\up6(→))|×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)，|eq \(AC,\s\up6(→))|×|eq \(AB,\s\up6(→))|＝16，
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,16)eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))2＋2≥2×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×16＋2＝6，
当且仅当|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)时等号成立，故|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为eq \r(6).
答案：eq \f(1,4) eq \r(6)