备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(三十)　平面向量的概念及线性运算

课时验收评价(三十)　平面向量的概念及线性运算

一、点全面广强基训练

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　 )

A．a与λa的方向相反  B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|  D．|－λa|≥|λ|a

解析：选B　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，A错误；对于B，由λ2＞0可知B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，C错误；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，D错误．

2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　 )

A．  B．  C.  D．

解析：选A　由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.

3．设平面向量a，b不共线，若＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　 )

A．A，B，D三点共线  B．A，B，C三点共线

C．B，C，D三点共线  D．A，C，D三点共线

解析：选A　∵＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＋＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2，∴与共线，即A，B，D三点共线．

4．设向量a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　 )

A．－2  B．－1  C．1  D．2

解析：选B　因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线．设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.

5.(2023·成都一模)如图，在△ABC中，D为线段BC上异于B，C的任意一点，E为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选B　在△ABC中，，不共线，点D在BC上，则∥，所以存在唯一实数t使＝t⇒－＝t(－)⇒＝t＋(1－t)，因为E为AD的中点，所以＝＝＋，而＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.

6．若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝8，则|a＋b|的最小值为________．

解析：当a与b共线且反向时|a＋b|的最小值为5.

答案：5

7．设M是△ABC所在平面上的一点，＋＋＝0，D是AC的中点，t＝，则实数t的值为________．

解析：因为D是AC的中点，所以＋＝2，又因为＋＋＝0，所以＋(＋)＝＋＝0，即＝，又因为t＝，所以t＝.

答案：

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________.

解析：因为＝－＝＋－＝，＝－＝＋－＝，所以＝3.

答案：3

9．已知两个非零向量a和b不共线，＝2a－3b，＝a＋2b，＝ka＋12b.

(1)若2－3＋＝0，求k的值；

(2)若A，B，C三点共线，求k的值．

解：(1)∵2－3＋＝0，

∴2(2a－3b)－3(a＋2b)＋ka＋12b＝(1＋k)a＝0，

又a≠0，∴k＋1＝0，∴k＝－1.

(2)∵A，B，C三点共线，∴设＝λ，

即－＝λ(－)，

∴(k－1)a＋10b＝－λa＋5λb，

又a，b不共线，∴消去λ，得k＝－1.

10．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．

(1)求＋＋；

(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.

解：(1)连接GM(图略)，因为＋＝2，2＝－，

所以＋＋＝－＋＝0.

(2)证明：易知＝(a＋b)，

因为G是△ABO的重心，

所以＝＝(a＋b)．

由P，G，Q三点共线，设＝t，

所以－＝t(－)，

即＝t＋(1－t)，

即a＋b＝mta＋(1－t)nb.

由a，b不共线，得

所以＋＝3.

二、重点难点培优训练

1.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，＝，AC，MN交于点P.若＝λ，则λ的值为(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选D　∵＝，＝，

∴＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋λ.

∵点M，P，N三点共线，

∴λ＋λ＝1，则λ＝.故选D.

2．点P是△ABC所在平面内一点，且满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC是________三角形．

解析：因为点P是△ABC所在平面内一点，

且|－|－|＋－2|＝0，

所以||－|(－)＋(－)|＝0，

即||＝|＋|，

所以|－|＝|＋|，

等式两边平方并化简得·＝0，

所以⊥，∠BAC＝90°，则△ABC为直角三角形．

答案：直角

3．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则λ＝________，AD＝________.

解析：∵B，D，C三点共线，∴＋λ＝1，解得λ＝.

如图，过D分别作AC，AB的平行线分别交AB，AC于点M，N，

则＝，＝，

∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，∴四边形AMDN是菱形，

∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，∴AD＝3.

答案：　3

4．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

解析：由题意，得AD＝1，CD＝，∴＝2.

∵点E在线段CD上，∴＝λ(0≤λ≤1)．

∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.

∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.

答案：