2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业三十七等比数列

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业三十七等比数列，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2023·山东东营期末]已知正项等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，公比q＝eq \f(1,2)，a3a5＝16，则a6＝( )
A．1B．2
C．3D．4
2．已知在递减等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a2＋a5＝18，a2·a5＝32，若an＝1，则n＝( )
A．6B．7
C．8D．9
3．[2023·江西上饶一中模拟]在正项等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a1a2a3＝a6，且a4＝16，则a10＝( )
A．1024B．960
C．768D．512
4．设Sn是等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和，a3＝3，S3＝9，则首项a1＝( )
A．－eq \f(1,2)B．12
C．1或－eq \f(1,2)D．3或12
5．[2023·辽宁大连期末]已知等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn＝3n＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))，则实数a的值是( )
A．－3B．3
C．－1D．1
6．[2023·河北石家庄期末]等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，S3＝3，S6＝9，则公比q＝( )
A．eq \r(3)B．eq \r(2)
C．eq \r(3,3)D．eq \r(3,2)
7．[2023·黑龙江哈尔滨六中期末]设Sn为正项递增等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和，且2a3＋2＝a2＋a4，a2a4＝16，则S6＝( )
A．64B．63
C．127D．128
8．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为( )
A．13B．－7
C．－7或13D．7或－13
9．(能力题)[2023·安徽卓越联盟]设正项等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项乘积为Tn, 已知a5＝1，T3＝2T7，则Tn的( )
A．最大值为32B．最大值为1024
C．最小值为eq \f(1,32)D．最小值为eq \f(1,1024)
10．(能力题)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．如果墙足够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则n的值为( )
(结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
A．2.2B．2.4
C．2.6D．2.8
二、多项选择题
11．[2023·黑龙江大庆期末]设eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等比数列，则下列四个命题正确的是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ))是等比数列
B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an·an＋1))是等比数列
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等比数列
D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(lg\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(an))))是等比数列
12．(能力题)[2023·山东郓城一中模拟]在正项等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则( )
A．q2＝3B．a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ＝4
C．a4a6＝2eq \r(3)D．n＝12
三、填空题
13．[2023·山东青岛二中期末]设Sn为等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S8＝________．
14．(能力题)[2023·河南新乡模拟]设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，若a2a8＝9a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ，且S8－S4＝λS6，则λ＝________．
四、解答题
15．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a2＝3，an＋1＝2an＋1，设bn＝an＋1.
(1)证明：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))是等比数列；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1.
优生选做题
16．(多选)[2023·河北石家庄二中模拟]已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列，首项a1>0，公比q∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))，则下列叙述正确的是( )
A．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的最大项为a1
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的最小项为a2
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(anan＋1))为递增数列
D．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a2n－1＋a2n))为递增数列
17．[2023·江苏南通模拟]已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，2an＋2－an＝an＋1.
(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－an))是等比数列；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式．
课时作业（三十七） 等比数列
1．解析：∵正项等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a3a5＝16，
∴a3a5＝a eq \\al(2,4) ＝16，∴a4＝4，
∴a6＝a4q2＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝1.故选A.
答案：A
2．解析：由a2＋a5＝18，a2·a5＝32且a2>a5可解得a2＝16，a5＝2，因此可得等比数列的公比为q＝eq \f(1,2)，所以a6＝a5·q＝1.故选A.
答案：A
3．解析：依题意设公比为q，且a1>0、q>0，由a1a2a3＝a6，则a eq \\al(3,1) q3＝a1q5，即a eq \\al(2,1) ＝q2，所以a1＝q，
因为a4＝16，所以a1q3＝q4＝16，所以q＝2，所以an＝2n，所以a10＝210＝1024.故选A.
答案：A
4．解析：Sn是等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和，a3＝3，S3＝9，
∴当公比q＝1时，a1＝3，此时S3＝9满足题意，
当公比q≠1时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q2＝3,\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－q3)),1－q)＝9))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝12,q＝－\f(1,2)))，
∴首项a1的值为3或12.故选D.
答案：D
5．解析：等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn＝3n＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))，
当n＝1时，可得31＋a＝a1＝S1，可得a1＝3＋a，
当n≥2时，Sn－1＝3n－1＋a，则an＝Sn－Sn－1＝3n＋a－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3n－1＋a))＝2·3n－1，
所以a2＝2·32－1＝6，a3＝2·33－1＝18，
因为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列，
所以a eq \\al(2,2) ＝a1a3，即6×6＝18eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋a))，
解得a＝－1，经检验符合题意．故选C.
答案：C
6．解析：依题意，等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足，S3＝3，S6＝9，
则q≠1，
eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－q3)),1－q)＝3，eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－q6)),1－q)＝9，
两式相除得eq \f(1－q6,1－q3)＝3，eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－q3))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋q3)),1－q3)＝1＋q3＝3，
q3＝2，q＝eq \r(3,2).故选D.
答案：D
7．解析：设正项递增等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公比为q（q>1），
因为a2a4＝a eq \\al(2,3) ＝16，所以a3＝4，
又因为2a3＋2＝a2＋a4，可得eq \f(4,q)＋4q＝2×4＋2＝10，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)（舍去），
又由a3＝a1q2＝4，解得a1＝1，所以S6＝eq \f(1－26,1－2)＝63.故选B.
答案：B
8．解析：由题意，可设这三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,q)·a·aq＝27,\f(a2,q2)＋a2＋a2q2＝91))，解得a＝3，q2＝9或a＝3，q2＝eq \f(1,9)，
所以a＝3，q＝±3或a＝3，q＝±eq \f(1,3)，
所以这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1.
故这三个数的和为13或－7.故选C.
答案：C
9．解析：设等比数列的公比为q，
因为T3＝2T7，即a1a2a3＝2a1a2a3a4a5a6a7，
化简可得a4a5a6a7＝eq \f(1,2)，
且a5＝a1q4＝1，所以a1q3a1q5a1q6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1q4))3q2＝eq \f(1,2)，
所以q2＝eq \f(1,2)，且等比数列各项为正，所以q＝eq \f(\r(2),2)，
即等比数列是递减数列，且a5＝1，
所以Tn有最大值，最大值是前4项积或者前5项积，
则T4＝a1a2a3a4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1))4q6＝44×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝32，
所以Tn的最大值为32.故选A.
答案：A
10．解析：设大老鼠每天打洞的进度形成数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))，小老鼠每天打洞的进度形成数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))，
则由题可得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是首项为1，公比为2的等比数列，
所以第n天后大老鼠打洞的总进度为eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2n)),1－2)＝2n－1，
数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，
所以第n天后小老鼠打洞的总进度为eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n)))，
则由题可得2n－1＝3×2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n)))，整理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2n))2－7×2n＋6＝0，
解得2n＝1或2n＝6，即n＝0（舍去）或n＝lg26，
∴n＝lg26＝1＋lg23＝1＋eq \f(lg3,lg2)≈1＋eq \f(0.4771,0.3010)≈2.6.故选C.
答案：C
11．解析：设公比为q，则an＝a1·qn－1，a eq \\al(2,n) ＝a eq \\al(2,1) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(qn－1))2＝a eq \\al(2,1) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q2))n－1，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a eq \\al(2,n) ))是首项为a eq \\al(2,1) ，公比为q2的等比数列，A正确；an·an＋1＝an·an·q＝qa eq \\al(2,n) ＝qa eq \\al(2,1) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q2))n－1，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an·an＋1))是首项为qa eq \\al(2,1) ，公比为q2的等比数列，B正确；eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,q)))n－1，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)，公比为eq \f(1,q)的等比数列，C正确；若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的首项a1＝1，则lgeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a1))＝0，此时eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(lg\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(an))))不是等比数列，D错误．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公比为q，
由a1a2a3＝a eq \\al(3,1) q3＝4，a4a5a6＝a eq \\al(3,1) q12＝12，
可得q9＝3，
又由a1a2a3＝a eq \\al(3,2) ＝4，a4a5a6＝a eq \\al(3,5) ＝12，所以A，C错误，B正确；
因为an＋1an＋2an＋3＝a eq \\al(3,n＋2) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2qn))3＝a eq \\al(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(qn))eq \s\up12(3)＝4q3n＝324，
可得q3n＝81＝34＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q9))4＝q36，
所以3n＝36，解得n＝12，所以D正确．故选BD.
答案：BD
13．解析：∵Sn为等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和，∴S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，
又S2＝4，S4－S2＝2，∴S6－S4＝2×eq \f(2,4)＝1，则S6＝7，
∴S8－S6＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,4)))2＝eq \f(1,2)，则S8＝7＋eq \f(1,2)＝eq \f(15,2).
答案：eq \f(15,2)
14．解析：因为a2a8＝9a eq \\al(2,3) ，所以a eq \\al(2,5) ＝9a eq \\al(2,3) ，所以q2＝3.
因为S8－S4＝λS6，所以eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－q8)),1－q)－eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－q4)),1－q)＝eq \f(λa1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－q6)),1－q).
所以q4－q8＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－q6))，所以9－81＝λ（1－27），故λ＝eq \f(36,13).
答案：eq \f(36,13)
15．解析：（1）证明：当n＝1时，a2＝2a1＋1，则a1＝1
从而由an＋1＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋1))，得eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2，又b1＝2，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）得an＝2n－1，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝（2＋23＋…＋22n＋1）－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－4n＋1)),1－4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))＝eq \f(22n＋3－3n－5,3).
16．解析：对于A，由题意知：当n为偶数时，an<0当n为奇数时，an>0，an＋2－an＝aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q2－1))<0，∴a1最大；
综上所述：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的最大项为a1，A正确；
对于B，当n为偶数时，an<0，an＋2－an＝aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q2－1))>0，∴a2最小；
当n为奇数时，an>0>a2；
综上所述：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的最小项为a2，B正确；
对于C，∵anan＋1＝a eq \\al(2,n) q，an＋1an＋2＝a eq \\al(2,n＋1) q，
∴an＋1an＋2－anan＋1＝qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a eq \\al(2,n＋1) －a eq \\al(2,n) ))＝qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q2－1))a eq \\al(2,n) ，
∵－10，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(anan＋1))为递增数列，C正确；
对于D，∵a2n－1＋a2n＝a2n－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋q))，a2n＋1＋a2n＋2＝a2n＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋q))，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n＋1＋a2n＋2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n－1＋a2n))＝（1＋q）（a2n＋1－a2n－1）＝（1＋q）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q2－1))a2n－1；
∵－10，q2－1<0，又a2n－1>0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n＋1＋a2n＋2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n－1＋a2n))<0，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a2n－1＋a2n))为递减数列，D错误．故选ABC.
答案：ABC
17．解析：（1）证明：因为2an＋2－an＝an＋1，所以an＋2＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋an＋1))，
从而eq \f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝eq \f(\f(1,2)（an＋an＋1）－an＋1,an＋1－an)＝－eq \f(1,2)，
因为a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，所以a2－a1＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－an))是首项为eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列．
（2）由（1）可知，an＋1－an＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝eq \f(（－1）n－1,2n)，
故当n≥2时，a2－a1＝eq \f(1,2)，a3－a2＝－eq \f(1,22)，a4－a3＝eq \f(1,23)，…，an－an－1＝eq \f(（－1）n－2,2n－1)，
由各式相加可知，an－a1＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,22)))＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(（－1）n－2,2n－1)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(（－1）n－1,2n－1)))，
故an＝a1＋eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(（－1）n－1,2n－1)))＝eq \f(5,6)－eq \f(（－1）n－1,3×2n－1)，
当n＝1时，an＝eq \f(5,6)－eq \f(（－1）n－1,3×2n－1)也满足，
故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式为：an＝eq \f(5,6)－eq \f(（－1）n－1,3×2n－1).