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2022-2023学年度吉林省长市南关区东北师大附中明珠学校九年级上学期期末数学试题
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2022-2023学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠校区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每道题3分，共24分）
1. －8的绝对值是【 】
A. 8 B. C. － D. －8
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，
【详解】解：在数轴上，点－8到原点的距离是8，
所以－8的绝对值是8，
故选A．
2. 化简2（a﹣2）＋4a结果为（ ）
A. 6a＋4 B. 6a﹣4 C. ﹣6a＋4 D. ﹣6a﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】原式去括号合并即可得到结果．
【详解】解：2（a﹣2）＋4a
＝2a﹣4＋4a
＝6a﹣4.
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
4. 将二次函数y＝（x﹣1）2＋2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A. y＝（x＋3）2＋5 B. y＝（x﹣5）2﹣1 C. y＝（x﹣5）2＋5 D. y＝（x＋5）2﹣5
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数平移，解题的关键是熟练掌握二次函数平移规律：左加右减，上加下减．
5. 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°
【答案】A
【解析】
【分析】由，∠COD=34°，得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而得出∠AOE的度数，由OA=OE得出∠AEO=∠EAO，即可得出∠AEO的度数．
【详解】解：如图，在⊙ O中，
∵，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧的关系，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
6. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x、y的二元一次方程组，继而求解．
【详解】解：设共有x辆车，y人，
根据题意得出：
故选A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盆中（底盆固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位，图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．则车位锁的底盒BC长约为（ ）（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
A. 34 B. 73 C. 68 D. 107
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，先由等腰三角形的性质得BH＝CH，再由锐角三角函数的定义求出BH，即可求出答案．
【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50cm，cosB＝，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34（cm），
∴BC＝2BH＝68（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
8. 三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（ ）
A. π B. π C. π D. π
【答案】A
【解析】
【分析】连接OC，先求出OC长和∠EOB的度数，再根据扇形的面积公式求出即可．
【详解】解：连接OC，
由勾股定理得：OC＝＝，
由正方形的性质得：∠EOB＝45°，
所以扇形EOF的面积为：＝π，
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理和正方形的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
二、填空题（每道题3分，共18分）
9. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可.
【详解】由题意，得x-4≠0，
解得：x≠4，
故答案为.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义是解题的关键.
10. 多项式5mx2﹣20my2分解因式的结果是_____．
【答案】5m（x＋2y）（x﹣2y）
【解析】
分析】直接提取公因式5m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：5mx2﹣20my2
＝5m（x2﹣4y2）
＝5m（x＋2y）（x﹣2y）．
故答案：5m（x＋2y）（x﹣2y）．
【点睛】本题考查提取公因式法和公式法分解因式，掌握提取公因式的技巧及平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．
11. 不等式的解集是_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：
解① 得：x≤2，
解② 得：x＞1，
则不等式组的解集是．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12. 化简|﹣3|＋的结果是_____．
【答案】3＋2
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝3﹣＋3
＝3＋2．
故答案为：3＋2．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则sinA＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sinA＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查求角的正弦值，理解概念，正确计算是解题关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，-4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】当CD⊥y轴时，线段CD最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式来求a的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标．
【详解】解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．
∵点C的坐标为（2，﹣4），
∴点D的坐标为（0，﹣4）．
将其代入，得3a=-4，
解得．
∴该抛物线解析式是：，
∵．
∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．
∴抛物线顶点纵坐标为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将，代入求值即可．
【详解】解：
当，时，原式
．
【点睛】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．
16. 到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张会徽分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为 ．
（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）先由题意先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，再由概率公式求解可得．
【详解】解：（1）由题意，共有4种等可能结果，符合题意的有1种
∴从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，
∴抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率＝．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．
【答案】A型机器人每小时搬运125kg原料，B型机器人每小时搬运150kg原料
【解析】
【分析】设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x＋50）kg原料，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，即可得出关于x分式方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x＋50）kg原料，
依题意，得：＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x＋50＝125.
答：A型机器人每小时搬运125kg原料，B型机器人每小时搬运150kg原料．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18. 如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．
（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线．
（2）在（1）的条件下，若⊙O的直径BC＝6，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）π
【解析】
【分析】（1）连接OA，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，再利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠D，∠D＝∠CAD，则∠OCA＝2∠D＝2∠B，接着利用三角形内角和可计算出∠B＝30°，则∠AOC＝60°，然后计算出∠OAD＝90°，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）直接利用弧长公式计算．
【详解】（1）证明：连接OA，如图，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠D，
∵AC＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∴∠OCA＝∠CAD＋∠D＝2∠D＝2∠B，
而∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠B＋2∠B＝90°，解得∠B＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∴∠AOC＝∠B＋∠OAB＝60°，
而∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）．
【点睛】本题考查切线的判定定理与性质，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径，也涉及到圆周角定理，等腰三角形的性质、三角形内角和定理、弧长公式．
19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：
（1）在图1中，画出点D，使得四边形ABDC是平行四边形．
（2）在图2中，在AB上找点E，使得△ACE的面积是△BCE面积的．
（3）在图3中，在AB边上找一点F，使得tan∠ACF＝．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形即可．
（2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE，点E即为所求作．
（3）取格点E，G，H，连接EG，AH交于点J，连接CJ交AB于点F，点F即为所求作．
【详解】解：（1）如图1中，平行四边形ABDC即为所求作．
（2）如图2中，点E即为所求作．
（3）如图3中，点F即为所求作．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计，平行四边形的判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 为了了解我校学生在家做家务劳动的情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．
（1）求本次调查学生的人数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）抽查的学生中做家务劳动时间的众数是 小时，中位数是 小时；
（4）如果全校共有学生3000人，请你估计全校大约有多少同学做家务劳动时间是2小时．
【答案】（1）100人；（2）见解析；（3）1.5；1.5；（4）540名
【解析】
【分析】（1）从两个统计图中得到家务劳动1小时的学生有30人，占调查人数的30%，可求出调查人数；
（2）求出家务劳动1.5小时的学生人数即可补全条形统计图，
（3）根据中位数、众数的意义和求法，分别找出出现次数最多的数，处在中间位置的两个数的平均数，
（4）用样本中家务劳动在2个小时的占比，估计总体的占比，根据总人数求出全校家务劳动在2小时的学生人数．
【详解】解：（1）30÷30%＝100（人），
答：本次抽样调查学的人数是100人；
（2）做家务的时间是1.5小时的学生有：100﹣12﹣30﹣18＝40（人），补全条形统计图如图所示：
（3）家务劳动时间在1.5小时的人数最多，有40人，因此众数1.5小时，
将家务劳动时间从小到大排列处在第50、51位的数都是1.5小时，因此中位数1.5小时，
故答案为：1.5，1.5；
（4）根据题意得：
（人），
答：全校大约有540名同学做家务劳动时间是2小时．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图的制作方法及其特点，平均数、中位数、众数的意义及求法，样本估计总体，解题的关键是综合运用所学知识从条形统计图、扇形统计图中获取信息．
21. 受新型冠状病毒影响，学生在进入学校大门时都要配合监测体温．某学校上学高峰期学生到达学校的人数（包括校门口等待检测的学生和已经检测体温入校的学生）y（人）随时间x（分钟）的变化情况如图所示，已知前12分钟，y可看作是x的二次函数，并在12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人，回答下列问题：
（1）当0≤x≤12时，求y与x之间的函数解析式；
（2）已知学校门口有体温检测岗位3个，每个岗位的工作人员每分钟能检测10人，求学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有多少人；
（3）在（2）的条件下，从测温开始到所有学生测温结束，当学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少时，直接写出对应的x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣5（x﹣12）2＋720；（2）405人；（3）9≤x≤24
【解析】
【分析】（1）设y＝a（x﹣12）2＋720，将原点坐标代入求出a的值即可；
（2）设等待接受体温测量的学生人数为y1，知y1＝y﹣30x，据此得出y1＝﹣5（x﹣9）2＋405，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由（2）中顶点式可得x的取值范围，结合12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人可得答案．
【详解】解：（1）当0≤x≤12时，设y＝a（x﹣12）2＋720，
将（0，0）代入，得：144a＋720＝0，解得a＝﹣5，
∴y＝﹣5（x﹣12）2＋720；
（2）设等待接受体温测量的学生人数为y1，
则y1＝y﹣30x
＝﹣5（x﹣12）2＋720﹣30x
＝﹣5x2＋90x
＝﹣5（x﹣9）2＋405，
∴当x＝9时，y1取得最大值，最大值为405，
答：学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有405人；
（3）由（2）知，y1＝﹣5（x﹣9）2＋405，
∴x≥9时，y1随x的增大而减小，
又∵在12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人，
当x＝12时，y1=360
此时，门口等待的学生接受完体温检测还需360÷30=12分钟
12+12=24分钟
∴当9≤x≤24时，学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
22. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学数材第96页部分内容
（1）定理感知：如果教材中的已知条件不变，如图①，当PD＝2，OE＝4时，则直接写出△OPE的面积为 ．
（2）定理应用：如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：＝．
（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，再剪掉重叠部分（即四边形ABB1A1），再将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，再剪掉重叠部分，直接写出剩余的△A2B2C的面积为 ．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由“AAS”可证△OPE≌△OPD，可得PD＝PE＝2，即可求解；
（2）过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，通过证明△BDH∽△CDA，可得，可得结论；
（3）利用（2）的结论可求＝，＝，即可求解．
【详解】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵∠PEO＝∠PDO＝90°，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPD（AAS），
∴PD＝PE＝2，
∴△OPE的面积＝×OE×PE＝×4×2＝4，
故答案为4；
（2）如图②，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BH∥AC，
∴∠H＝∠DAC，
∴∠H＝∠BAD，
∴AB＝BH，
∵BH∥AC，
∴△BDH∽△CDA，
∴，
∴；
（3）∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝＝13，
∵将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴AB＝AA1＝5，∠BAB1＝∠B1AA1，∠B＝∠AA1B1＝90°，BB1＝A1B1，
∴A1C＝8，
由（2）可得＝，
∴BB1＝＝A1B1，B1C＝，
∴＝×8×＝，
同理可求：＝，
∴＝×5＝，
∴△A2B2C的面积＝﹣2×＝．
故答案为：．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，点P从点B出发沿折线B﹣A﹣C运动，速度为每秒5个单位，到点C停止．在点P的运动过程中，过点P作PQ⊥BC于Q，以PQ为边作矩形PQMN，且MN与AD始终在PQ同侧，且PN＝2PQ．设运动时间为t秒．
（1）当点N在AC上时，直接写出t值．
（2）当点N在AB上时，求PQ的长．
（3）当矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形时，求t的取值范围．
（4）当点P在线段AB上运动时，点N落在△ABC一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
【答案】（1）；（2）；（3）＜t＜或＜t＜；（4）或或．
【解析】
【分析】（1）证明△PQB≌△NMC（AAS），可得BQ＝MC，再根据BC＝BQ＋QM＋CM，构建方程求解即可．
（2）根据PN＝2PQ，构建方程求解即可．
（3）求出当点P在线段AB上时，点M与C重合时，t的值，求出当点P在AC上时，点M与B重合时，t的值，结合（1）（2）即可判断．
（4）分三种情形：如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时，如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时，如图5中，当点N落在AC的垂直平分线上时，分别求解即可．
【详解】解：（1）当N在AC上时，如图1所示，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD＝4，
∵AB＝AC＝5，
由勾股定理可得：AD＝，
由题意知，PB＝5t，PQ＝3t，BQ＝4t，PN＝6t，
∵PQ＝NM，∠PQB＝∠NMC，∠B＝∠C，
∴△PQB≌△NMC（AAS），
∴BQ＝MC，
∴BC＝BQ＋QM＋MC＝4t＋6t＋4t＝8，
解得：t＝；
（2）当N在AB上时，如图2所示，
由题意知，CP＝10﹣5t，CQ＝8﹣4t，PQ＝6﹣3t，
∴AP＝5t﹣5，PE＝4t﹣4，PN＝8t﹣8，
∵PN＝2PQ，
∴8t﹣8＝2（6﹣3t），
解得：t＝，
∴PQ＝．
（3）当点P在线段AB上时，点M与C重合时，此时CQ＝8﹣4t，PN＝6t，
可得：8﹣4t＝6t，
解得：t＝，
观察图象可知，当＜t＜时，矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形，
当点P在AC上时，点M与B重合时，BQ＝8﹣CQ＝8﹣（8﹣4t）＝4t，PQ＝6﹣3t，
∵BQ＝2PQ，
∴4t＝2（6﹣3t），
解得：t＝，
观察图象可知，当＜t＜时，矩形PQMN与△ABC重叠部分五边形．
综上所述，满足条件的t的取值范围为＜t＜或＜t＜．
（4）如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时（AB的中垂线交AB于G，交BC于K），
由题意，PB＋PG＝BG，
∴5t＋6t•＝，
解得t＝．
如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时，
由题意BQ＋QD＝4，
∴4t＋6t＝4，
∴t＝．
如图5中，当点N落在AC的垂直平分线上时（AC的垂直平分线交AC于T，交BC于H），
连接AH，设DH＝m，则AH＝CH＝4﹣m，
根据勾股定理得，，
∴m＝，
∴HM＝10t﹣4﹣，
由题意：，
∴，
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或．
【点睛】本题考查四边形的综合问题，涉及到矩形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、解题的关键是综合运用所学知识，学会分类讨论的思想，属于中考的压轴题型．
24. 已知函数y＝（m为常数），此函数图象记为G．
（1）当m＝时，
①当y＝﹣1时，求图象G上对应点的坐标；
②当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）当m＝1时，直线y＝2k＋1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝﹣1和x＝1之间（不包括边界）时，求k的取值范围．
（3）当x＞m时，图象G与坐标轴有两个交点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①（﹣1，﹣1）；②﹣1≤y≤或1≤y≤2；（2）﹣1＜k＜1；（3）m＜0或＜m＜
【解析】
【分析】（1）先得出函数关系式，
①分别求出y＝﹣1时的x值，即可得出结论；
②画出函数图象，两段函数图象分别求出x＝﹣1，x＝和x＝1，x＝2时的函数值，即可得出结论；
（2）先确定出函数关系式，进而画出图象，再求出x＝﹣1和x＝1时的函数值，借助图象，即可得出结论；
（3）分m＜0，m＝0，m＞0，三种情况，利用函数的最小值和x＝m时的函数值，再借助图象，即可得出结论．
【详解】解：（1）当m＝时，函数可化为y＝，
①针对于函数y＝x2﹣2x＋2，
当y＝﹣1时，x2﹣2x＋2＝﹣1，此方程无解；
针对于函数y＝﹣x2＋x＋，
当y＝﹣1时，﹣x2＋x＋＝﹣1，
∴x＝（舍）或x＝﹣1，
∴当y＝﹣1时，图象G上对应点的坐标为（﹣1，﹣1）；
②画出函数图象如图1所示，
针对于函数y＝﹣x2＋x＋，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣＋＝﹣1，
当x＝时，y＝，
针对于函数y＝x2﹣2x＋2，
当x＝1时，y＝1﹣2＋2＝1，
当x＝2是，y＝22﹣2×2＋2＝2，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围﹣1≤y≤或1≤y≤2；
（2）当m＝1时，y＝，
画出函数图象如图2所示，
针对于y＝﹣x2＋2x＋2，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝1时，y＝3，
∵直线y＝2k＋1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝﹣1和x＝1之间（不包括边界）时，
∴﹣1＜2k＋1＜3，
∴﹣1＜k＜1；
（3）∵x＞m，
∴只考虑函数y＝x2﹣6mx＋6m（x＞m），
此函数的图象如图3所示，
∵函数的解析式为y＝x2﹣6mx＋6m（x＞m），
∴此函数的对称轴为x＝3m，
当m＜0时，3m＜m，图象如图3粉色线条，
∵图象与坐标轴有两个交点，
∴当x＝m时，y＝﹣5m2＋6m＝﹣m（5m﹣6）＜0，
∴m＜，即m＜0，函数图象与坐标轴有两个交点，
当m＝0时，y＝x2（x＞0），图象如图3蓝色线条，此时，图象与坐标轴只有一个交点，
当m＞0时，函数y＝x2﹣6mx＋6m（x＞m）的图象如图3所示的黑色线条，
∴3m＞m，
∵图象与坐标轴有两个交点，
∴当x＝m时，y＝﹣5m2＋6m＝﹣m（5m﹣6）＞0，
∴m＜，
当x＝3m时，y＝﹣9m2＋6m＝﹣3m（3m﹣2）＜0，
∴m＞，
即＜m＜，函数图象与坐标轴有两个交点，
综上，m＜0或＜m＜，函数图象与坐标轴有两个交点．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数的性质，函数关系式的确定，利用图象分析和解答是解本题的关键．
2022-2023学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠校区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每道题3分，共24分）
1. －8的绝对值是【 】
A. 8 B. C. － D. －8
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，
【详解】解：在数轴上，点－8到原点的距离是8，
所以－8的绝对值是8，
故选A．
2. 化简2（a﹣2）＋4a结果为（ ）
A. 6a＋4 B. 6a﹣4 C. ﹣6a＋4 D. ﹣6a﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】原式去括号合并即可得到结果．
【详解】解：2（a﹣2）＋4a
＝2a﹣4＋4a
＝6a﹣4.
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
4. 将二次函数y＝（x﹣1）2＋2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A. y＝（x＋3）2＋5 B. y＝（x﹣5）2﹣1 C. y＝（x﹣5）2＋5 D. y＝（x＋5）2﹣5
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数平移，解题的关键是熟练掌握二次函数平移规律：左加右减，上加下减．
5. 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°
【答案】A
【解析】
【分析】由，∠COD=34°，得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而得出∠AOE的度数，由OA=OE得出∠AEO=∠EAO，即可得出∠AEO的度数．
【详解】解：如图，在⊙ O中，
∵，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧的关系，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
6. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x、y的二元一次方程组，继而求解．
【详解】解：设共有x辆车，y人，
根据题意得出：
故选A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盆中（底盆固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位，图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．则车位锁的底盒BC长约为（ ）（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
A. 34 B. 73 C. 68 D. 107
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，先由等腰三角形的性质得BH＝CH，再由锐角三角函数的定义求出BH，即可求出答案．
【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50cm，cosB＝，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34（cm），
∴BC＝2BH＝68（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
8. 三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（ ）
A. π B. π C. π D. π
【答案】A
【解析】
【分析】连接OC，先求出OC长和∠EOB的度数，再根据扇形的面积公式求出即可．
【详解】解：连接OC，
由勾股定理得：OC＝＝，
由正方形的性质得：∠EOB＝45°，
所以扇形EOF的面积为：＝π，
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理和正方形的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
二、填空题（每道题3分，共18分）
9. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可.
【详解】由题意，得x-4≠0，
解得：x≠4，
故答案为.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义是解题的关键.
10. 多项式5mx2﹣20my2分解因式的结果是_____．
【答案】5m（x＋2y）（x﹣2y）
【解析】
分析】直接提取公因式5m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：5mx2﹣20my2
＝5m（x2﹣4y2）
＝5m（x＋2y）（x﹣2y）．
故答案：5m（x＋2y）（x﹣2y）．
【点睛】本题考查提取公因式法和公式法分解因式，掌握提取公因式的技巧及平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．
11. 不等式的解集是_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：
解① 得：x≤2，
解② 得：x＞1，
则不等式组的解集是．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12. 化简|﹣3|＋的结果是_____．
【答案】3＋2
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝3﹣＋3
＝3＋2．
故答案为：3＋2．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则sinA＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sinA＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查求角的正弦值，理解概念，正确计算是解题关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，-4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】当CD⊥y轴时，线段CD最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式来求a的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标．
【详解】解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．
∵点C的坐标为（2，﹣4），
∴点D的坐标为（0，﹣4）．
将其代入，得3a=-4，
解得．
∴该抛物线解析式是：，
∵．
∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．
∴抛物线顶点纵坐标为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将，代入求值即可．
【详解】解：
当，时，原式
．
【点睛】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．
16. 到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张会徽分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为 ．
（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）先由题意先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，再由概率公式求解可得．
【详解】解：（1）由题意，共有4种等可能结果，符合题意的有1种
∴从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，
∴抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率＝．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．
【答案】A型机器人每小时搬运125kg原料，B型机器人每小时搬运150kg原料
【解析】
【分析】设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x＋50）kg原料，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，即可得出关于x分式方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x＋50）kg原料，
依题意，得：＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x＋50＝125.
答：A型机器人每小时搬运125kg原料，B型机器人每小时搬运150kg原料．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18. 如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．
（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线．
（2）在（1）的条件下，若⊙O的直径BC＝6，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）π
【解析】
【分析】（1）连接OA，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，再利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠D，∠D＝∠CAD，则∠OCA＝2∠D＝2∠B，接着利用三角形内角和可计算出∠B＝30°，则∠AOC＝60°，然后计算出∠OAD＝90°，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）直接利用弧长公式计算．
【详解】（1）证明：连接OA，如图，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠D，
∵AC＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∴∠OCA＝∠CAD＋∠D＝2∠D＝2∠B，
而∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠B＋2∠B＝90°，解得∠B＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∴∠AOC＝∠B＋∠OAB＝60°，
而∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）．
【点睛】本题考查切线的判定定理与性质，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径，也涉及到圆周角定理，等腰三角形的性质、三角形内角和定理、弧长公式．
19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：
（1）在图1中，画出点D，使得四边形ABDC是平行四边形．
（2）在图2中，在AB上找点E，使得△ACE的面积是△BCE面积的．
（3）在图3中，在AB边上找一点F，使得tan∠ACF＝．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形即可．
（2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE，点E即为所求作．
（3）取格点E，G，H，连接EG，AH交于点J，连接CJ交AB于点F，点F即为所求作．
【详解】解：（1）如图1中，平行四边形ABDC即为所求作．
（2）如图2中，点E即为所求作．
（3）如图3中，点F即为所求作．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计，平行四边形的判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 为了了解我校学生在家做家务劳动的情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．
（1）求本次调查学生的人数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）抽查的学生中做家务劳动时间的众数是 小时，中位数是 小时；
（4）如果全校共有学生3000人，请你估计全校大约有多少同学做家务劳动时间是2小时．
【答案】（1）100人；（2）见解析；（3）1.5；1.5；（4）540名
【解析】
【分析】（1）从两个统计图中得到家务劳动1小时的学生有30人，占调查人数的30%，可求出调查人数；
（2）求出家务劳动1.5小时的学生人数即可补全条形统计图，
（3）根据中位数、众数的意义和求法，分别找出出现次数最多的数，处在中间位置的两个数的平均数，
（4）用样本中家务劳动在2个小时的占比，估计总体的占比，根据总人数求出全校家务劳动在2小时的学生人数．
【详解】解：（1）30÷30%＝100（人），
答：本次抽样调查学的人数是100人；
（2）做家务的时间是1.5小时的学生有：100﹣12﹣30﹣18＝40（人），补全条形统计图如图所示：
（3）家务劳动时间在1.5小时的人数最多，有40人，因此众数1.5小时，
将家务劳动时间从小到大排列处在第50、51位的数都是1.5小时，因此中位数1.5小时，
故答案为：1.5，1.5；
（4）根据题意得：
（人），
答：全校大约有540名同学做家务劳动时间是2小时．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图的制作方法及其特点，平均数、中位数、众数的意义及求法，样本估计总体，解题的关键是综合运用所学知识从条形统计图、扇形统计图中获取信息．
21. 受新型冠状病毒影响，学生在进入学校大门时都要配合监测体温．某学校上学高峰期学生到达学校的人数（包括校门口等待检测的学生和已经检测体温入校的学生）y（人）随时间x（分钟）的变化情况如图所示，已知前12分钟，y可看作是x的二次函数，并在12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人，回答下列问题：
（1）当0≤x≤12时，求y与x之间的函数解析式；
（2）已知学校门口有体温检测岗位3个，每个岗位的工作人员每分钟能检测10人，求学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有多少人；
（3）在（2）的条件下，从测温开始到所有学生测温结束，当学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少时，直接写出对应的x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣5（x﹣12）2＋720；（2）405人；（3）9≤x≤24
【解析】
【分析】（1）设y＝a（x﹣12）2＋720，将原点坐标代入求出a的值即可；
（2）设等待接受体温测量的学生人数为y1，知y1＝y﹣30x，据此得出y1＝﹣5（x﹣9）2＋405，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由（2）中顶点式可得x的取值范围，结合12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人可得答案．
【详解】解：（1）当0≤x≤12时，设y＝a（x﹣12）2＋720，
将（0，0）代入，得：144a＋720＝0，解得a＝﹣5，
∴y＝﹣5（x﹣12）2＋720；
（2）设等待接受体温测量的学生人数为y1，
则y1＝y﹣30x
＝﹣5（x﹣12）2＋720﹣30x
＝﹣5x2＋90x
＝﹣5（x﹣9）2＋405，
∴当x＝9时，y1取得最大值，最大值为405，
答：学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有405人；
（3）由（2）知，y1＝﹣5（x﹣9）2＋405，
∴x≥9时，y1随x的增大而减小，
又∵在12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人，
当x＝12时，y1=360
此时，门口等待的学生接受完体温检测还需360÷30=12分钟
12+12=24分钟
∴当9≤x≤24时，学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
22. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学数材第96页部分内容
（1）定理感知：如果教材中的已知条件不变，如图①，当PD＝2，OE＝4时，则直接写出△OPE的面积为 ．
（2）定理应用：如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：＝．
（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，再剪掉重叠部分（即四边形ABB1A1），再将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，再剪掉重叠部分，直接写出剩余的△A2B2C的面积为 ．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由“AAS”可证△OPE≌△OPD，可得PD＝PE＝2，即可求解；
（2）过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，通过证明△BDH∽△CDA，可得，可得结论；
（3）利用（2）的结论可求＝，＝，即可求解．
【详解】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵∠PEO＝∠PDO＝90°，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPD（AAS），
∴PD＝PE＝2，
∴△OPE的面积＝×OE×PE＝×4×2＝4，
故答案为4；
（2）如图②，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BH∥AC，
∴∠H＝∠DAC，
∴∠H＝∠BAD，
∴AB＝BH，
∵BH∥AC，
∴△BDH∽△CDA，
∴，
∴；
（3）∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝＝13，
∵将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴AB＝AA1＝5，∠BAB1＝∠B1AA1，∠B＝∠AA1B1＝90°，BB1＝A1B1，
∴A1C＝8，
由（2）可得＝，
∴BB1＝＝A1B1，B1C＝，
∴＝×8×＝，
同理可求：＝，
∴＝×5＝，
∴△A2B2C的面积＝﹣2×＝．
故答案为：．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，点P从点B出发沿折线B﹣A﹣C运动，速度为每秒5个单位，到点C停止．在点P的运动过程中，过点P作PQ⊥BC于Q，以PQ为边作矩形PQMN，且MN与AD始终在PQ同侧，且PN＝2PQ．设运动时间为t秒．
（1）当点N在AC上时，直接写出t值．
（2）当点N在AB上时，求PQ的长．
（3）当矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形时，求t的取值范围．
（4）当点P在线段AB上运动时，点N落在△ABC一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
【答案】（1）；（2）；（3）＜t＜或＜t＜；（4）或或．
【解析】
【分析】（1）证明△PQB≌△NMC（AAS），可得BQ＝MC，再根据BC＝BQ＋QM＋CM，构建方程求解即可．
（2）根据PN＝2PQ，构建方程求解即可．
（3）求出当点P在线段AB上时，点M与C重合时，t的值，求出当点P在AC上时，点M与B重合时，t的值，结合（1）（2）即可判断．
（4）分三种情形：如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时，如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时，如图5中，当点N落在AC的垂直平分线上时，分别求解即可．
【详解】解：（1）当N在AC上时，如图1所示，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD＝4，
∵AB＝AC＝5，
由勾股定理可得：AD＝，
由题意知，PB＝5t，PQ＝3t，BQ＝4t，PN＝6t，
∵PQ＝NM，∠PQB＝∠NMC，∠B＝∠C，
∴△PQB≌△NMC（AAS），
∴BQ＝MC，
∴BC＝BQ＋QM＋MC＝4t＋6t＋4t＝8，
解得：t＝；
（2）当N在AB上时，如图2所示，
由题意知，CP＝10﹣5t，CQ＝8﹣4t，PQ＝6﹣3t，
∴AP＝5t﹣5，PE＝4t﹣4，PN＝8t﹣8，
∵PN＝2PQ，
∴8t﹣8＝2（6﹣3t），
解得：t＝，
∴PQ＝．
（3）当点P在线段AB上时，点M与C重合时，此时CQ＝8﹣4t，PN＝6t，
可得：8﹣4t＝6t，
解得：t＝，
观察图象可知，当＜t＜时，矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形，
当点P在AC上时，点M与B重合时，BQ＝8﹣CQ＝8﹣（8﹣4t）＝4t，PQ＝6﹣3t，
∵BQ＝2PQ，
∴4t＝2（6﹣3t），
解得：t＝，
观察图象可知，当＜t＜时，矩形PQMN与△ABC重叠部分五边形．
综上所述，满足条件的t的取值范围为＜t＜或＜t＜．
（4）如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时（AB的中垂线交AB于G，交BC于K），
由题意，PB＋PG＝BG，
∴5t＋6t•＝，
解得t＝．
如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时，
由题意BQ＋QD＝4，
∴4t＋6t＝4，
∴t＝．
如图5中，当点N落在AC的垂直平分线上时（AC的垂直平分线交AC于T，交BC于H），
连接AH，设DH＝m，则AH＝CH＝4﹣m，
根据勾股定理得，，
∴m＝，
∴HM＝10t﹣4﹣，
由题意：，
∴，
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或．
【点睛】本题考查四边形的综合问题，涉及到矩形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、解题的关键是综合运用所学知识，学会分类讨论的思想，属于中考的压轴题型．
24. 已知函数y＝（m为常数），此函数图象记为G．
（1）当m＝时，
①当y＝﹣1时，求图象G上对应点的坐标；
②当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）当m＝1时，直线y＝2k＋1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝﹣1和x＝1之间（不包括边界）时，求k的取值范围．
（3）当x＞m时，图象G与坐标轴有两个交点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①（﹣1，﹣1）；②﹣1≤y≤或1≤y≤2；（2）﹣1＜k＜1；（3）m＜0或＜m＜
【解析】
【分析】（1）先得出函数关系式，
①分别求出y＝﹣1时的x值，即可得出结论；
②画出函数图象，两段函数图象分别求出x＝﹣1，x＝和x＝1，x＝2时的函数值，即可得出结论；
（2）先确定出函数关系式，进而画出图象，再求出x＝﹣1和x＝1时的函数值，借助图象，即可得出结论；
（3）分m＜0，m＝0，m＞0，三种情况，利用函数的最小值和x＝m时的函数值，再借助图象，即可得出结论．
【详解】解：（1）当m＝时，函数可化为y＝，
①针对于函数y＝x2﹣2x＋2，
当y＝﹣1时，x2﹣2x＋2＝﹣1，此方程无解；
针对于函数y＝﹣x2＋x＋，
当y＝﹣1时，﹣x2＋x＋＝﹣1，
∴x＝（舍）或x＝﹣1，
∴当y＝﹣1时，图象G上对应点的坐标为（﹣1，﹣1）；
②画出函数图象如图1所示，
针对于函数y＝﹣x2＋x＋，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣＋＝﹣1，
当x＝时，y＝，
针对于函数y＝x2﹣2x＋2，
当x＝1时，y＝1﹣2＋2＝1，
当x＝2是，y＝22﹣2×2＋2＝2，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围﹣1≤y≤或1≤y≤2；
（2）当m＝1时，y＝，
画出函数图象如图2所示，
针对于y＝﹣x2＋2x＋2，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝1时，y＝3，
∵直线y＝2k＋1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝﹣1和x＝1之间（不包括边界）时，
∴﹣1＜2k＋1＜3，
∴﹣1＜k＜1；
（3）∵x＞m，
∴只考虑函数y＝x2﹣6mx＋6m（x＞m），
此函数的图象如图3所示，
∵函数的解析式为y＝x2﹣6mx＋6m（x＞m），
∴此函数的对称轴为x＝3m，
当m＜0时，3m＜m，图象如图3粉色线条，
∵图象与坐标轴有两个交点，
∴当x＝m时，y＝﹣5m2＋6m＝﹣m（5m﹣6）＜0，
∴m＜，即m＜0，函数图象与坐标轴有两个交点，
当m＝0时，y＝x2（x＞0），图象如图3蓝色线条，此时，图象与坐标轴只有一个交点，
当m＞0时，函数y＝x2﹣6mx＋6m（x＞m）的图象如图3所示的黑色线条，
∴3m＞m，
∵图象与坐标轴有两个交点，
∴当x＝m时，y＝﹣5m2＋6m＝﹣m（5m﹣6）＞0，
∴m＜，
当x＝3m时，y＝﹣9m2＋6m＝﹣3m（3m﹣2）＜0，
∴m＞，
即＜m＜，函数图象与坐标轴有两个交点，
综上，m＜0或＜m＜，函数图象与坐标轴有两个交点．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数的性质，函数关系式的确定，利用图象分析和解答是解本题的关键．
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