2022-2023学年度吉林省长市东北师大附中明珠校区九年级上学期期中数学试题

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初三年级综合测试数学学科试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】形如是常数的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，称为一次项系数，为常数项，x为自变量，y为因变量，据此解题．
【详解】A.是一次函数，故A错误；
B. 不二次函数，故B错误；
C.是二次函数，故C正确；
D.一次函数，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A. 某个数的绝对值大于0 B. 某个数的相反数等于它本身
C. 任意一个五边形的外角和等于540° D. 长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【详解】A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；
B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；
C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；
D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．
故答案选C．
【点睛】本题考查的知识点是随机事件以及确定事件，解题的关键是熟练的掌握随机事件以及确定事件.
3. 已知是经过圆心的直线，为上的任意一点，则点关于直线的对称点与的位置关系是（ ）
A. 点在⊙○内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．
【详解】解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，
∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．
4. 为了加强学生垃圾分类意识，提高学生垃圾分类能力，某校从全校2000名学生的垃圾分类知识测试卷中随机抽取了200份试卷进行成绩统计，在这个问题中以下说法正确的是（　　）
A. 200份试卷的成绩是样本
B. 每名学生是个体
C. 此调查为全面调查
D. 样本容量是2000
【答案】A
【解析】
【分析】根据总体、个体、全面调查和抽样调查以及样本容量的概念逐一判断即得答案．
【详解】解：A．被抽取的200份试卷的成绩是样本，故本选项说法正确，符合题意；
B．每名学生试卷的测试成绩是个体，故本选项说法错误，不合题意；
C．此调查为抽样调查，故本选项说法错误，不合题意；
D．样本容量200，不是2000，故本选项说法错误，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了总体、个体、全面调查和抽样调查以及样本容量的概念，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
5. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为　　

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【详解】在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，
再向下平移2个单位长度，得到，
整理得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．
7. 在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，b＝，则a等于（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数值计算即可．
【详解】
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝tan60°＝，
∵ b＝，
∴ a＝1，故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，利用已知的三角函数值确定角度是关键．
8. 如图，、分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次函数的对称性可得点A、B关于抛物线的对称轴对称，设，从而可得，再根据抛物线的对称轴可求出的值，然后根据抛物线的解析式求出的值即可得．
【详解】由题意得：点A、B关于抛物线的对称轴对称，
二次函数的对称轴为，
设点B的坐标为，则点A的坐标为，
因此有，
解得，
将点代入得：，
即点B的纵坐标为1，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是___cm2

【答案】
【解析】
【详解】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm,
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是()
故答案为：
10. 如果抛物线的顶点在轴上，那么__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用顶点坐标进行解答即可．
【详解】解：在中，a=1，b=﹣1，
∴顶点坐标为（，c﹣），
∵抛物线的顶点在轴上，
∴c﹣=0，
解得：c=,
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标公式、坐标轴上点的坐标特征、解一元一次方程，熟记公式是解答的关键．
11. 如图，是的直径，于，，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】连接OD，设的半径为r，则OE=r-8，再根据勾股定理求出r，最后根据直径和半径的关系即可解答．
【详解】解：如图：设的半径为r，则OE=r-8，
∵AB⊥CD于E，且CD=24，
∴DE=CD=12，
在Rt△ODE中，OD=r，OE=r-8，DE=12，
∴OE2+DE2=OD2，
∴（r-8）2+122=r2，解得r=13
∴AB=2r=26．
故答案为26．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键．
12. 已知二次函数y=ax2+bx﹣3自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
则在实数范围内能使得y﹣5＞0成立的x取值范围是_____．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…

【答案】x＜﹣2或x＞4．
【解析】
【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y=5的自变量x的值即可．
【详解】∵x=0，x=2的函数值都是-3，相等，
∴二次函数对称轴为直线x=1，
∵x=-2时，y=5，
∴x=4时，y=5，
根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x=1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，
∴抛物线的开口向上，
∴y-5＞0成立的x取值范围是x＜-2或x＞4，
故答案为x＜-2或x＞4．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．
13. 如图是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象,则a的值是___. 

【答案】1
【解析】
【详解】根据题图可知，将原点O（0，0）代入函数得：0= a2-1，
解得：a=±1，
∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∴a=1.
故答案为1.
14. 某函数图象经过点，且当时，随的增大而减小，请你写出一个满足条件的函数关系式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象性质可以通过待定系数法求出常数项，即可得到答案，结果不唯一．
【详解】解：∵当x>0时，y随x的增大而减小，
∴设解析式为y=-x2+b，
∵图象经过（-1，1），
∴1=-1+b，
∴b=2，
∴解析式为：y=-x2+2（答案不唯一）
故答案为：y=-x2+2．
【点睛】本题考查函数性质，函数图象经过点，点的坐标满足函数解析式，答案不唯一，答案可以是一次函数、二次函数或者反比例函数．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案．
【详解】解：原式


【点睛】此题主要考查了实数的运算以及特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16. 某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同．
（1）小文诵读《长征》的概率是_____；
（2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解．
【详解】（1）P（小文诵读《长征》）= ；
故答案为：；
（2）依题意画出树状图如下：

故P（小文和小明诵读同一种读本）=．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图．
17. 如图，、、、是圆上四点，，弦与相交于点，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】设圆心为O，连接OB、OC分别交AC、BD于G、H，易证OB⊥AC，OC⊥BD，可求得∠O=40°，再根据圆周角定理求得∠D=20°，然后根据三角形的外角性质可求得∠ACD的度数．
【详解】解：设圆心为O，连接OB、OC分别交AC、BD于G、H，
∵，
∴OB⊥AC，OC⊥BD，
∴∠OGE=∠OHE=90°，又∠AED=140°，
∴∠O=360°﹣∠OGE﹣∠OHE﹣∠AED=360°﹣90°﹣90°﹣140°=40°，
∴∠D= ∠O=20°，
∵∠AED=∠D+∠ACD，
∴∠ACD=∠AED﹣∠D=140°﹣20°=120°．

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理及其推论、三角形的外角定性质、四边形的内角和，熟练掌握相关知识的运用，证得OB⊥AC，OC⊥BD是解答的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴直线与轴交于点，顶点为
（1）求抛物线对应的函数表达式及顶点的坐标
（2）点为抛物线对称轴上一点，连接、，当于点时，求的长

【答案】（1），(2，1)；（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标即可；
（2）设对称轴与x轴的交点为B，①求出∠OAB=∠BOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PB，然后计算AB+BP即可得解；
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，
∴，
∴a=-，
∴抛物线的表达式为：y=-x2+x，
∴顶点A的坐标为（2，1）；
（2）（2）设对称轴与x轴的交点为E．
①如图，在直角三角形AOB和直角三角形POB中，tan∠OAB=，tan∠BOP=，
∵OA⊥OP，
∴∠OAB=∠BOP，
∴=，
∵AB=1，OB=2，
∴，
解得PB=4，

【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义．
19. 某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取名学生的体育成绩进行统计分析，相关数据的统计图、表如下：
各年级学生成绩统计表

优秀
良好
合格
不合格
七年级

20
24
8
八年级
29
13
13
5
九年级
24

14
7
各年级学生人数统计图

根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中，的值为 ，的值为 ．
（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 度．
（3）若该校三个年级共名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．
【答案】（1），；（2）；（3）人．
【解析】
【分析】（1）根据表格中抽取的八年级学生人数和扇形统计图中的百分率求出样本容量为200名，再结合扇形统计图可以求得七年级抽取的学生数，从而可以求得a的值，也可以求得九年级抽取的学生数，进而得到b的值；
（2）根据扇形统计图可以求得八年级所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据表格中的数据可以估计该校学生体育成绩不合格的人数．
【详解】解：(1) 由题意和扇形统计图可得，
（29+13+13+5）（1-40-30）200，
，
．
故答案为：28，15；
(2) ∵八年级所占百分比，
∴ 其所对应的圆心角为．
故答案为：108；
(3)由题意得：
不合格人数(人)．
即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人．
【点睛】本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20. 如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．
【详解】如图1所示：tan∠AOB==1，
如图2所示：tan∠AOB==2，
如图3所示：tan∠AOB==3，
故tan∠AOB的值分别为1、2、3．
．
【点睛】考点：三角函数，勾股定理
21. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.

【答案】（1）12m或16m；（2）195m2.
【解析】
【分析】（1）根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值；
（2）根据题意列出S和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值.
【详解】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，
∴x（28﹣x）=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12m或16m
（2）∵AB=xm，
∴BC=28﹣x，
∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28-x≥15，x≥6
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．

22. 如图，直线经过，两点它与抛物线在第一象限内相交于点，且与的面积为
（1）求直线的函数关系式
（2）求的值
（3）若点在直线上，点在抛物线上，当四边形是平行四边形时，直接写出点的横坐标

【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求直线l的函数关系式即可；
（2）设P(x，y)，先求出△AOB的面积，再根据已知求出与的面积，进而求得x和y的值，可求得点P坐标，代入抛物线方程中求得a值即可；
（3）由平行四边形的性质得ON∥PM，即ON∥直线l，易求得直线ON的函数关系式为y=﹣x，代入抛物线中，解方程即可得到N的横坐标．
【详解】解：（1）设直线l的函数关系式为y=kx+b，
将，代入，得：，
解得：，
∴直线l的函数关系式为y=﹣x+6；
（2）∵，，
∴OA=6，OB=6，
∴△AOB的面积为=×6×6=18，
∵与的面积比为1:2，
∴与的面积分别为6和12，
由×6·y=6得：y=2，
由×6·x=12得：x=4,
∴点P坐标为（2，4），
将P(2，4)代入得：2=16a，
解得：a=；
（3）由a=得抛物线的解析式为，
∵四边形是平行四边形，
∴ON∥PM，即直线ON∥直线l，
∴直线ON的函数关系式为y=﹣x，代入，
得：﹣x=，
解得：x=﹣8或x=0（与原点重合，舍去），
故点N的横坐标为﹣8．
【点睛】本题考查一次函数与抛物线的交点问题、待定系数法求函数关系式、二次函数与几何图形问题、坐标与图形、三角形的面积公式、解一元二次方程，属于基础题型，难度适中，熟练掌握相关知识的运算，利用数形结合的思想方法寻找知识的关联点是解答的关键．
23. 如图，四边形是矩形， 点是对角线上一动点（不与点和点重合），过点作，与边或边交于点．已知， 设长为．
（1）的度数为 °．
（2）设的面积为S， 求关于的函数关系式．
（3）当点在一边的垂直平分线上时，直接写出的值

【答案】（1）30；（2）；（3）或或
【解析】
【分析】（1）在中根据的正切值即可求出度数；
（2）分Q点在边或边上两种情况讨论．根据30°直角三角形性质用CP的长表示出PQ，再由三角形面积求法得出函数解析式；
（3）分三种情况：①在CD的中点；②在AD的中点；③PQ是AC的垂直平分线，三种情况列方程即可求解
【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形
在中


（2）①当时，Q在CD上，

在中


在中





②当时，如图：Q在AD上；



在中



综上
（3）①在中点，如图，





②在中点，如图，






③是中垂线，在中点，如图，



综上，或或
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形性质、勾股定理、锐角三角函数以及二次函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，利用30°直角三角形性质解题是解决问题的关键．
24. 如图，抛物线过点和点，顶点为，对称轴与直线交于点，平行于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，点的横坐标为， 四边形为平行四边形，
（1）求点的坐标．
（2）求该抛物线对应的函数关系式．
（3）若点为抛物线上的动点， 且在直线上方， 当面积最大时， 求点的坐标及面积的最大值．
（4）若点是直线上一动点，其横坐标为，以为斜边作等腰直角三角形， 点与点在直线同侧．当的两条直角边与抛物线有个公共点时，直接写出点横坐标t的取值范围．

【答案】（1）；（2）y=x2+2x+2；（3），；（4）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的函数关系式，再将F的横坐标代入即可求解；
（2）根据平行四边形的性质得到BD=EF，BD∥EF，进而表示出点D、F的坐标，根据对称轴方程和BD=EF列出关于a、b的方程，然后解方程即可求得抛物线的函数关系式；
（3）过点P作直线l平行直线AB，当直线l与抛物线相切时，切点为P，此时点P到直线AB的距离最大，则△ABP的面积最大，设直线l的解析式为y=﹣x+k，与抛物线方程联立方程化为一元二次方程，令△=0，进而可求得点P坐标，再由点P求出P到直线AB的距离，即可求得最大面积；
（4）由于直线AB与x轴的夹角为45°，所以的两条直角边AH∥x轴，GH∥y轴，结合图象经过观察，要使的两条直角边与抛物线有个公共点时，只需求出点A关于抛物线对称轴对称的点和点C的横坐标，当点H的横坐标即点 G的横坐标在这两点之间即可．
【详解】解：（1）设直线AB的函数关系式为y=mx+n，
将点A(0，2)、点B（2，0）代入，得：，
解得：，
∴直线AB的函数关系式为y=﹣x+2，
将x=4代入y=﹣x+2中，得：y=﹣2，
∴点F的坐标为（4，﹣2）；
（2）∵抛物线过点A(0，2)，
∴可设抛物线对应的函数关系式为y=ax2+bx+2，
由题意，对称轴为直线x=2，则，即b=﹣4a，
∵四边形为平行四边形，EF∥y轴，
∴BD=EF，BD∥EF，又B（2，0）
∴D（2，），E(4，16a+4b+2),
∴BD===2﹣4a，EF=16a+4b+2﹣（﹣2）=4，
由BD=EF得：2﹣4a=4，解得：a=，b=﹣4a=2，
∴抛物线对应的函数关系式为y=x2+2x+2；
（3）过点P作直线l平行直线AB，当直线l与抛物线相切时，切点为P，此时点P到直线AB的距离最大，则△ABP的面积最大，
设直线l的解析式为y=﹣x+k，代入到y=x2+2x+2中，
得：﹣x+k=x2+2x+2，整理得：x2﹣6x﹣4+2k=0，
由△=62﹣4×（﹣4+2k）=0得：k= ，
则x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，
将x=3代入y=x2+2x+2中，得：y= ，
∴点P坐标为（3，），
过点P作PM∥y轴交直线AB与M，则M的坐标为（3，﹣1），
∴PM=﹣（﹣1）=，
∵OB=OA=2，PM∥y轴
∴∠BAO=∠AMP=45°，AB=，
∴点P到直线AB距离为PM·sin45°=，
∴最大面积S△==；
（4）∵△AGH是以为斜边作等腰直角三角形，且直线AB与x轴的夹角为45°，
∴的两条直角边AH∥x轴，GH∥y轴，
设点G（t，﹣t+2），则H的横坐标为t，
由解得：或，
∴点C坐标为（6，﹣4），
∵EF∥y轴，F(4，﹣2)，点E在抛物线上，
∴点E坐标为（4，2），
∵抛物线的对称轴为直线x= =2，
∴点A关于对称轴对称的点为点E（4，2），
又∵点与点在直线同侧，
∴结合图象观察，当H的横坐标t在4﹤t≤6范围内时，的两条直角边与抛物线有个公共点，
故点G的横坐标的取值范围为4﹤t≤6．

【点睛】
本题是二次函数与一次函数、几何图形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、方程与不等式、面积的最值、特殊角的三角函数等知识，涉及知识面广，难度较难，解答的关键是认真审题，寻找知识的关联点，通过添加辅助线，利用数形结合与转化思想方法进行推理、探究和计算．