2023年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若与互为倒数，则的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月，记者从国家知识产权局获悉，年我国共授权发明专利件，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )

A. 长方体
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 三棱柱

4.  下列命题中是真命题的是(    )

A. 确定性事件发生的概率为
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 正多边形都是轴对称图形
D. 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等

5.  如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一张小凳子的结构如图所示，，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，，尺规作图的痕迹如图所示若，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，函数的图象经过对角线的中点，分别交边、于点、点，连结、、若的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式： ______ ．

10.  请填写一个常数，使得一元二次方程 ______ 没有实数根填写一个即可

11.  一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放若，则的大小为______ 度

12.  如图，在中，，中线、相交于点若，，则的长为______ ．

13.  如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，则图中阴影部分图形的周长为______ 结果保留

14.  二次函数为常数的图象经过点、、若，则的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球共只，它们除颜色外其余都相同小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，发现多次实验后摸到白球的频率会逐渐接近．
箱子中的红球有______ 个
从该箱子里随机摸出一个球，记录颜色后放回并搅匀，再摸出一个球记录颜色用画树状图或列表的方法，求摸到一个红球和一个白球的概率．

17.  本小题分
一艘轮船顺水航行千米所用的时间与逆水航行千米所用的时间相同，若轮船在静水中的速度为千米小时，求水流的速度．

18.  本小题分
如图，在四边形中，，，，是边的中点，连接．
求证：四边形是菱形．
过点作于点若，，则四边形的面积为______ ．

19.  本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上在图、图中只用无刻度的直尺，按下列要求作图，保留适当的作图痕迹．

在图中，画以点、为顶点，以点为对称中心的平行四边形．
在图中，利用图所作的平行四边形，在边上确定点，在边上确定点，连接、，使的值最小，这个最小值为______ ．

20.  本小题分
家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康某市药监部门为了了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
收集整理数据：本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如表：

设计调查方式：有下列选取样本的方法：
在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；
在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
其中最合理的一种是______ 只需填上正确答案的序号
描述数据：此次抽样的样本数为户家庭，图是根据调查结果绘制的不完整的条形统计图，请补全此条形统计图．

分析数据：根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是______ ．
分析数据：家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是正确的．

21.  本小题分
甲、乙两个机器臂在生产流水线上组装零件，两个机器臂在正常工作过程中的工作效率均始终保持不变甲、乙两个机器臂同时开始工作一段时间后，甲机器臂出现故障，只有乙机器臂在工作，当甲机器臂故障排除后，甲、乙两个机器臂共同完成剩下的组装工作如图是两个机器臂组装零件的总量个与乙机器臂在甲机器臂发生故障后工作的时间分之间的函数图象．
甲机器臂在正常工作过程中的工作效率是每分钟组装______ 个零件．
求甲机器臂排除故障后，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
本次工作中甲、乙两个机器臂组装完成全部个零件一共用了分钟．

22.  本小题分
【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，，再连接或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接．

求证：．
若，则线段、、之间的等量关系为______ ．
【应用拓展】如图，在中，，点为边的中点，点和点分别在边、上，点为线段的中点若，，则的长为______ ．

23.  本小题分
如图，在中，，，，点在边上点与点不重合，连结，过点作射线于点．
当点在内部时，求长的取值范围．
连结，则长的最小值为______ ．
当是等腰三角形时，求的面积．
当时，直接写出的长．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线、为常数顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分包括、两点记为图象．
求和的值．
当点与点重合时，求点的坐标．
当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．
矩形的顶点分别为、、，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据倒数的定义得：，
解得．
根据相反数的定义，
的相反数，
故选：．
根据倒数的定义得出的值，根据相反数的定义得出答案．
本题主要考查了倒数和相反数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆锥的展开图，熟练掌握常见几何体的展开图是解题的关键．
根据圆锥的展开图得出结论即可．
【解答】
解：由题意知，图中展开图为圆锥的展开图，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：确定性事件发生的概率为或，故A错误；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故B错误；
正多边形都是轴对称图形，故C正确；
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D错误，
故选：．
根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理进行判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设的中点为，连接，如图所示：
以量角器的直径为斜边画直角三角形，
、、、四点共圆，
量角器上点对应的读数是，
，
，
故选：．
根据以量角器的直径为斜边画直角三角形，可知、、、四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

是的一个外角，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，先利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作法得：平分，，
，即，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在中，，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即．
故选：．
由作法得：平分，，根据角平分线的性质定理可得，可证明≌，从而得到，，再由勾股定理求出的长，设，则，在中，利用勾股定理求出，即可求解．
本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，点坐标为，
四边形是矩形，
点坐标为，
，，
点坐标为，是的中点，
点坐标为，
反比例函数过点，
，即，即反比例函数的解析式为，
把代中得，，
即点坐标为，
把代入中得，，即点坐标，
，，，
，，
四边形是矩形，
，
如图，取中点，取中点，

点，分别是，的中点，
，，
，即，且是中边上的高，
点点分别是，的中点，
，，
，
，且是中边上的高，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在中，，
．
在中，
，
，
，
又，
，即，
，
故选：．
设点坐标为，点坐标为，可得点坐标为，从而得到点坐标为，进而得到反比例函数的解析式为，继而得到点坐标为，点坐标，可得，，再取中点，取中点，根据三角形中位线定理可得，，再由，即可求解．
本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，反比例函数的几何应用，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理，利用数形结合思想解答是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
提取公因式进行分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题的关键．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设所填写的常数为，根据题意得：
，
解得：，
符合条件的常数可以为．
故答案为：答案不唯一．
设所填写的常数为，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，
，
，，
；
故答案为：．
如图，根据邻补角可知，然后根据直角三角形的两个锐角互余及同角的余角相等可进行求解．
本题主要考查直角三角形的性质、正方形的性质及邻补角，熟练掌握直角三角形的性质、正方形的性质及邻补角是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：为的中点，
，
，
连接，
则是的中位线，
，
，，
∽
，
．
故答案为：．

先运用勾股定理求出，再根据三角形的中位线得到，进而得到∽解题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，
，，
是等边三角形，
，
弧的长，弧的长，
阴影部分的周长，
故答案为：．

连接，根据旋转的性质可得，求出是等边三角形，求出，即可求出，再根据阴影部分的周长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，弧长计算等知识点，如果扇形的圆心角为，扇形的半径为，那么扇形的弧长．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
，
点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
解得：．
故答案为：．
根据题意可得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，再由，可得点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可求解．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：摸到白球的频率会逐渐接近，
摸到红球的频率会逐渐接近，
箱子中的红球有个，
故答案为：；
树状图如图所示，

如图表示所有可能的情况，共有种等可能的结果，而摸到一个红球和一个白球的结果有次，可知其概率为，
故答案为：．
用红球的频率乘以所小球的数量可以得到红球的个数；
运用树状图求出概率即可．
本题考查运用频率估计概率，树状图求概率，掌握树状图求概率的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：设水流的速度为千米小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列方程的根．
答：水流的速度为千米小时． 

【解析】设水流的速度为千米小时，分别表示出顺水和逆水的速度，根据顺水航行千米所用的时间与逆水航行千米所用的时间相同，列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
 

18.【答案】 

【解析】证明：，是边的中点，
，
又，


四边形是菱形．
，
，
，
，
，
又是边的中点，
，
，
故答案为：．
先由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，即得到，再根据证明即可；
根据三角函数求出，即可求出菱形的面积，再根据中线分出的两个三角形面积相等得到解题即可．
本题考查菱形的判定，三角函数，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是掌握菱形的判定和性质．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图所示，平行四边形即为所求；

解：如图所示，点、即为所求，
点和点关于对称，
，
当、、三点共线，且时，最小，
此时，

由图可知，在中，，
，
，，
，
．
故答案为：．
连接，并延长，使，，再依次连接、、、，平行四边形即为所求；
作点关于的对称点，过点作于点，交交于点，点、即为所求，再根据轴对称的性质，根据求出，，即可得出求出，即可求解．
本题主要考查了格点作图，平行四边形的判定，轴对称最短问题，解题的关键是熟练掌握相关基础知识并灵活运用．
 

20.【答案】  直接丢弃 

【解析】解：抽取的样本具有代表性，
在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取更具有代表性；
故答案为：；
的数量为：；的数量为：，补图为：

根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是直接丢弃；
万户；
答：估计大约有万户家庭处理过期药品的方式是正确的．
根据抽取的样本具有代表性解题即可；
用总量乘以各处理方式所占的百分比求出数量，补图即可；
由表格可以得到丢弃所占的百分比最大，即可得到结果；
用样本所占百分比乘以总户数解题即可．
本题考查条形统计图，样本的选取，用样本估计总体，众数，解题的关键是利用统计图获取有关信息，在解题时腰认真观察、分析、研究统计图．
 

21.【答案】 

【解析】解：乙的工作效率是每分钟组装个数为：个，
甲的工作效率是每分钟组装个数为：个，
甲每分钟组装个；
，
自变量的取值范围为：；
甲、乙两个机器臂组装完成全部个零件一共用时为：分，
先计算乙的工作效率，然后计算甲乙两人工作效率之和解题即可；
根据图象列出函数关系式解题即可；
计算出甲故障前的工作时间于故障后的时间和解题．
本题考查函数图象和一次函数的图象，能正确识图，找到想关信息是解题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】证明：如图，延长到点，使得，连接、，

，
，
是的中点，

又，
≌，
，
在中
，
；

解：如图，延长到点，使得，连接、，

，
，
由可知≌，，
，，

在中，
，
，
故答案为：；

如图，如图，延长到点，使得，连接、，

，
，
由可知≌，
，，
，
在中，
，
，是、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
延长到点，使得，连接、，根据证得≌，可得结论；
延长到点，使得，连接、，由得≌，，则，，即，利用勾股定理解题即可；
如图，延长到点，使得，连接、，由得≌，则，，即，可求出，利用中位线解得．
本题主要考查了倍长中线全等、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、勾股定理以及三角形的中位线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，并用类比的方法解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
当点在内部时，，
，，，
，
当，即时，有，
，
解得：，
，
当点在内部时，长的取值范围为；
射线，
，
点在以为直径的圆上运动，
如图，取的中点，连接，，则当点，，三点共线时，最短，

，，
，
即长的最小值为．
故答案为：；
当时，此时点为的中点，
，
如图，过点作于点，

由得：，
，
；
当时，设交圆于点，连接，

为圆的直径，
，
，，
≌，
，
，
由得：，，
，
；
；
综上所述，当是等腰三角形时，的面积为或；
如图，当点在内部时，设交圆于点，连接，

为圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
由得：，，
，
；
如图，当点在外部时，设交圆于点，连接，

为圆的直径，
，
，
，
，
，
由得：，，
，
；
综上所述，的长为或．
根据题意得：当点在内部时，，求出时，的长，即可；
根据射线，可得点在以为直径的圆上运动，如图，取的中点，连接，，则当点，，三点共线时，最短，即可；
分两种情况讨论：当时；当时，即可求解；
分两种情况讨论：当点在内部时；当点在外部时，即可求解．
本题属于三角形综合题，主要考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线顶点的坐标为，
抛物线的解析式为，
，；
点与点重合，
，
解得：，
当时，，
点的坐标为；
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
顶点在图象上，
图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
综上所述，与之间的函数关系式为；
，
点位于点的右侧，
图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，
矩形位于直线的左侧，
若点在点的左侧，
当点在点的左侧时，

根据题意得：，
解得：；
当点在点的右侧时，如图，

根据题意得：，无解；
若点在点的右侧，

根据题意得：，
解得：；
综上所述，的取值范围为或． 

【解析】根据题意可得抛物线的解析式为，即可求解；
根据点与点重合，可求出，即可求解；
根据二次函数图象的性质可得图象的最低点的纵坐标为，然后分两种情况：当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时；当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，即可求解；
分三种情况讨论，结合题意，画出图形，即可求解．
本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．