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【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第三章《实数》单元测试卷（标准难度）（含答案）
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这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第三章《实数》单元测试卷（标准难度）（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湘教版初中数学八年级上册第三章《实数》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子错误的是( )
A. ±4=±2 B. 1=±1 C. −9=−3 D. 214=32
2. 下列判断：①0.25的平方根是0.5；②只有正数才有平方根；③ −7是−49的平方根；④(25)2的平方根是±25.正确的有个( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知边长为a的正方形面积为10，则下列关于a的说法中：
①a是无理数；②a是方程x2−10=0的解；③a是10的算术平方根；④a满足不等式组a−3>0a−4<0
正确的说法有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列各组数中，互为相反数的是( )
A. −2与−12 B. −22与3−8．
C. −2与2. D. 3−8与−38．
5. 下列命题：
①a(a≥0)表示a的平方根；
②立方根等于本身的数是0；
③若ab=0，则P(a,b)在坐标原点；
④在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(−1,−2)，且AB平行于x轴，AB=5，则点B的坐标为(4,−2)，
其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 有下列说法
①无理数一定是无限不循环小数 ②算术平方根最小的数是零
③−6是(−6)2的一个算术平方根 ④−3−827=23
其中正确的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
7. 下列计算正确的是( )
A. 318=±12 B. 3(−8)2=4 C. 3(−3)3=3 D. −3−23=−2
8. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC=1.连接AC，在AC上截取CD=BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是( )
A. 25 B. 5+1 C. 2 D. 5−1
9. 根据表中的信息判断，下列语句中正确的是( )
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
x2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
A. 25.281=1.59
B. 235的算术平方根比15.3小
C. 只有3个正整数n满足15.5
10. 若a2=−a，则实数a在数轴上的对应点一定在( )
A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧
11. 在实数12，−3，−3.14，0，π，2.161 161 161…，316中，无理数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q.若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是( )
A. p B. q C. m D. n
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 若|a−1|+(b+2)2=0，则(a+b)2022的平方根是 ．
14. 已知a、b、c都是实数，若a−2+|2b+12|+(c+2a)2=0，则a−c4a+8b=______．
15. 如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 ．
16. 如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简a2+b−a−3(a+b)3−b−c的结果是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知a是81的算术平方根，b=5，求(2)0+12−2−b−a的值．
18. (本小题8.0分)
如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．
19. (本小题8.0分)
如图，用两个边长为18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
20. (本小题8.0分)
(1)已知a、b满足代数式：|a−2|+b+1=0，求代数式(a−3b)(3a+2b)−2b(5a−3b)的值．
(2)已知代数式(ax−3)(2x+4)−x2−b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值．
21. (本小题8.0分)
阅读理解，观察下列式子：
①38+3−8=2+(−2)=0；
②31+3−1=1+(−1)=0；
③31000+3−1000=10+(−10)=0；
④3127+3−127=13+(−13)=0；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______．
(2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则3a+3b=0；反之也成立．
(3)根据上述的真命题，解答问题：若33−2x与3x+5的值互为相反数，求−2x的值．
22. (本小题8.0分)
已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a−15，b的立方根是−2，求3a+b的算术平方根．
23. (本小题8.0分)
已知3x−2+2=x，且33y−1与31−2x互为相反数，求13x−y的绝对值．
24. (本小题8.0分)
先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x−y=5，……①，2x+3y=7，……②，求x−4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：
(1)已知二元一次方程组3x−2y=−2①2x−3y=−3②，则x−y=______，x+y=______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=______．
25. (本小题8.0分)
计算或化简：
(1)(2−5)0−(−23)−2−|−6|；
(2)先化简：(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，然后从−1，0，1，3中选择合适的a值代入求值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
利用平方根及算术平方根的定义化简得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：A．±4=±2，故选项A正确；
B.1=1，故选项B错误；
C.−9=−3，故选项C正确；
D.214=32，故选项D正确．
故选B．
2.【答案】A
【解析】解：①0.25的平方根是±0.5，错误；
②只有正数才有平方根，0也有平方根，错误；
③负数没有平方根，错误；
④(25)2的平方根是±25，正确．
故正确的有1个；
故选A．
根据开方运算，可得平方根、算术平方根．
本题考查了平方根，注意负数不能开平方．
3.【答案】D
【解析】解：因为边长为a的正方形面积为10，所以可得a=10，
则①a是无理数，正确；
②a是方程x2−10=0解，正确；
③a是10的算术平方根，正确；
④解不等式组a−3>0a−4<0，得：3
首先根据正方形的面积公式求得a的值，然后根据算术平方根以及方程的解的定义即可作出判断．
此题主要考查了算术平方根的定义，方程的解的定义，以及无理数估计大小的方法．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的性质以及互为相反数的定义，正确化简各数是解题关键．
【解答】
解：A.−2与−12不是互为相反数，故此选项错误；
B.(−2)2=2，3−8=−2，互为相反数，正确；
C.−2=2，两数相等，故此选项错误；
D.3−8=−2，−38=−2，两数相等，故此选项错误；
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：①a(a≥0)表示a的算术平方根，原命题是假命题；
②立方根等于本身的数是0、1或−1，原命题是假命题；
③若ab=0，则P(a,b)在坐标原点或坐标轴上，原命题是假命题；
④在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(−1,−2)，且AB平行于x轴，AB=5，则点B的坐标为(4,−2)或(−6,−2)，原命题是假命题，
故选：A．
根据平方根、立方根、平面直角坐标系进行判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根、立方根、平面直角坐标系等知识，难度较小．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了算术平方根及立方根的知识，属于基础题，关键是正数的算术平方根为正数，0的算术平方根为0，负数没有算术平方根．根据无理数的定义，开立方的法则及算术平方根的定义，结合各选项进行判断即可．
【解答】
解：①无理数一定是无限不循环小数，正确；
②算术平方根最小的数是零，正确；
③−6是(−6)2的一个平方根，故错误；
④−3−827=23，正确；
其中正确的是：①②④．
故选C．
7.【答案】B
【解析】略
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，圆的性质，正确掌握勾股定理是解题的关键．
根据垂直的定义得到∠ABC=90°，根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得AD=AC−CD=5−1根据圆的性质得到AE=AD，即可得到结论．
【解答】
解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∵AB=2，BC=1，
∴AC=AB2+BC2=5，
∵CD=BC，
∴AD=AC−CD=5−1，
∵AE=AD，
∴AE=5−1，
∴点E表示的实数是5−1，
故选：D．
9.【答案】C
【解析】解：A.根据表格中的信息知：252.81=15.9，
∴2.5281=1.59，故选项不正确；
B.根据表格中的信息知：234.09=15.3<235，
∴235的算术平方根比15.3大，故选项不正确；
C.根据表格中的信息知：15.52=240.25
∴只有3个正整数n满足15.5
∴不能推断出16.12将比256增大3.19，故选项不正确．
故选：C．
根据表格中的信息可知x2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．
此题考查了算术平方根，实数比较大小，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式的非负性．
根据二次根式的非负性即可求出a的取值范围，即可确定答案．
【解答】
解：∵a2=−a，
∴a≤0，
故实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
故选C．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解：无理数有：−3，π，316共有3个．
故选C．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．根据n+q=0可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．
【解答】
解：∵n+q=0，
∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，
∴绝对值最大的点P表示的数p，
故选A．
13.【答案】±1
【解析】解：根据题意可得，
a−1=0，b+2=0，
即a=1，b=−2；
(a+b)2022=[1+(−2)]2022=(−1)2022=1，
1的平方根是±1．
故答案为：±1．
根据非负数的性质可计算出a，b的值，代入(a+b)2022中计算即可得出答案．
本题主要考查了平方根，非负数的性质，熟练掌握平方根，非负数的性质进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵a−2+|2b+12|+(c+2a)2=0，a−2≥0，|2b+12|≥0，(c+2a)2≥0，
∴a−2=0，2b+12=0，c+2a=0，
∴a=2，b=−14，c=−4．
∴a−c4a+8b
=2−(−4)4×2+8×(−14)
=68−2
=1．
故答案为：1．
利用非负数的意义求得a，b，c值，将a，b，c值代入运算即可．
本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得a，b，c值是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一个数的立方根与算术平方根．
由立方体的体积为棱长的立方可以正方体的棱长，再用算术平方根直接计算得到答案．
【解答】
解：设正方体的棱长为x，则x3=8，
所以x=2，即正方体的棱长为2，
因为正方形ABCD的面积为0.5×2×2=2，
所以正方形的边长是2．
16.【答案】−3a+b−c
【解析】
【分析】
本题主要考查了算术平方根，立方根的概念，绝对值的概念及其应用．
根据数轴上点的位置判断出字母的符号，以及字母表示的值之间的大小关系，再根据算术平方根、立方根的概念，绝对值的概念进行解答，即可求解．
【解答】
解：根据数轴上各点的位置可得：ab，
∴b−a>0，b−c<0，
∴a2+b−a−3a+b3−b−c
=a+b−a−a+b−−b−c
=−a+b−a−a−b+b−c
=−3a+b−c
故答案为：−3a+b−c．
17.【答案】解：由已知得a=81=9，b=52=25，
所以(2)0+12−2−b−a=1+4−25−9=5−16=5−4=1．
【解析】见答案
18.【答案】解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形，
∴剪掉的正方形边长为5 cm，
设原来正方形的边长为x cm，
由题意可得：5(x−10)2=180，
∴(x−10)2=36，
x−10=±6，
解得：x=16或x=4(不合题意，舍去)，
∴原来正方形的边长为16 cm．
【解析】本题考查平方根的实际应用，理解平方根的概念并掌握求一个长方体容积的方法准确列方程求解是解题关键．
设原来正方形的边长为xcm，然后根据长方体体积公式列方程计算．
19.【答案】解：不能，
因为大正方形纸片的面积为(18)2+(18)2=36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3b cm，宽为2b cm，
则6b2=30，
所以b=5(取正值)，
所以3b=35=45>36，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
【解析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2，计算长方形的长与宽进行验证即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．
20.【答案】(1)】解：(a−3b)(3a+2b)−2b(5a−3b)
=3a2+2ab−9ab−6b2−10ab+6b2
=3a2−17ab，
∵|a−2|+b+1=0，
∴a−2=0，b+1=0，
∴a=2，b=−1，
∴原式=3×22−17×2×(−1)
=12+34
=46．
(2)解：(ax−3)(2x+4)−x2−b
=2ax2+4ax−6x−12−x2−b
=(2a−1)x2+(4a−6)x+(−12−b)，
∵不含x2项和常数项，
∴2a−1=0，−12−b=0，
∴a=12，b=−12．
【解析】(1)此题主要考查了整式的混合运算−化简求值以及非负数的性质，正确运用相关运算法则是解题关键．
直接利用多项式乘多项式运算法则以及单项式乘多项式运算法则分别计算，进而合并同类项，再利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．
(2)本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
先算乘法，合并同类项，即可得出关于a、b的方程，求出即可．
21.【答案】解：(1)观察规律可写出类似的等式，如：364+3−64=4+(−4)=0，
故答案为：364+3−64=4+(−4)=0(答案不唯一)；
(2)由规律可得：对于任意两个有理数a，b，若a+b=0，则3a+3b=0，
故答案为：a+b=0；
(3)若33−2x与3x+5的值互为相反数，
则(3−2x)+(x+5)=0，解得x=8，
∴−2x=−2×8=−4．
【解析】本题考查命题与定理，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义．
(1)观察规律，写出一个类似的等式即可；
(2)用含a、b的式子表达规律即可得答案；
(3)先列方程求出x的值，再代入所求式子即可求值．
22.【答案】解：∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a−15，且一个正数的两个平方根互为相反数，
∴a+3+2a−15=0，
解得：a=4，
又b的立方根是−2，
解得：b=−8，
∴3a+b=4，
∴3a+b的算术平方根为2．
【解析】本题考查了平方根算术平方根和立方根的概念以及一元一次方程的解法．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0.根据一个数的平方根互为相反数，有a+3+2a−15=0，可求出a值，又b的立方根是−2，可求出b值，进而代入求出答案．
23.【答案】解：∵3x−2+2=x，即3x−2=x−2，
∴x−2=0或1或−1，解得x=2或3或1．
∵33y−1与31−2x互为相反数，即33y−1+31−2x=0，
∴3y−1+1−2x=0．
∴当x=1时，3y−1+1−2=0，y=23，则|13x−y|=13;
当x=2时，3y−1+1−4=0，y=43，则|13x−y|=23;
当x=3时，3y−1+1−6=0，y=2，则|13x−y|=1．
【解析】见答案
24.【答案】−1 1 −11
【解析】解：(1)①+②得：5x−5y=−5，
∴x−y=−1，
①−②得：x+y=1，
故答案为：−1，1；
(2)设1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
由题意得：20x+3y+2z=32①39x+5y+3z=58②，
①×②−②得：x+y+z=6，
∴5(x+y+z)=30(元)，
答：5本日记本共需30元；
(3)∵3∗5=15，4∗7=28，
∴3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
①×3−②×2得：a+b+c=−11，
∴1∗1=a+b+c=−11，
故答案为：−11．
(1)根据方程组中两个方程的特点，由①+②即可求出x−y的值，①−②即可求出x+y的值；
(2)设1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，列出方程组20x+3y+2z=32①39x+5y+3z=58②，先求出x+y+z=6，再求出5(x+y+z)=30，即可得出答案；
(3)根据题意得出方程组3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，求出a+b+c=−11，即可求出1∗1的值．
本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法，把方程组中的方程灵活变形运用“整体思想”是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)原式=1−94−6
=−294；
(2)原式=(a2−1−(a+1)(a−3)a−3)÷a+1(a−3)2
=2(a+1)a−3×(a−3)2a+1
=3a−6，
当a=0时，
原式=3×0−6=−6．
【解析】(1)利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可；
(2)利用分式的混合运算的法则化简，再将a=1代入运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和绝对值的意义，分式的混合运算，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
湘教版初中数学八年级上册第三章《实数》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子错误的是( )
A. ±4=±2 B. 1=±1 C. −9=−3 D. 214=32
2. 下列判断：①0.25的平方根是0.5；②只有正数才有平方根；③ −7是−49的平方根；④(25)2的平方根是±25.正确的有个( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知边长为a的正方形面积为10，则下列关于a的说法中：
①a是无理数；②a是方程x2−10=0的解；③a是10的算术平方根；④a满足不等式组a−3>0a−4<0
正确的说法有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列各组数中，互为相反数的是( )
A. −2与−12 B. −22与3−8．
C. −2与2. D. 3−8与−38．
5. 下列命题：
①a(a≥0)表示a的平方根；
②立方根等于本身的数是0；
③若ab=0，则P(a,b)在坐标原点；
④在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(−1,−2)，且AB平行于x轴，AB=5，则点B的坐标为(4,−2)，
其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 有下列说法
①无理数一定是无限不循环小数 ②算术平方根最小的数是零
③−6是(−6)2的一个算术平方根 ④−3−827=23
其中正确的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
7. 下列计算正确的是( )
A. 318=±12 B. 3(−8)2=4 C. 3(−3)3=3 D. −3−23=−2
8. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC=1.连接AC，在AC上截取CD=BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是( )
A. 25 B. 5+1 C. 2 D. 5−1
9. 根据表中的信息判断，下列语句中正确的是( )
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
x2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
A. 25.281=1.59
B. 235的算术平方根比15.3小
C. 只有3个正整数n满足15.5
10. 若a2=−a，则实数a在数轴上的对应点一定在( )
A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧
11. 在实数12，−3，−3.14，0，π，2.161 161 161…，316中，无理数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q.若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是( )
A. p B. q C. m D. n
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 若|a−1|+(b+2)2=0，则(a+b)2022的平方根是 ．
14. 已知a、b、c都是实数，若a−2+|2b+12|+(c+2a)2=0，则a−c4a+8b=______．
15. 如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 ．
16. 如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简a2+b−a−3(a+b)3−b−c的结果是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知a是81的算术平方根，b=5，求(2)0+12−2−b−a的值．
18. (本小题8.0分)
如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．
19. (本小题8.0分)
如图，用两个边长为18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
20. (本小题8.0分)
(1)已知a、b满足代数式：|a−2|+b+1=0，求代数式(a−3b)(3a+2b)−2b(5a−3b)的值．
(2)已知代数式(ax−3)(2x+4)−x2−b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值．
21. (本小题8.0分)
阅读理解，观察下列式子：
①38+3−8=2+(−2)=0；
②31+3−1=1+(−1)=0；
③31000+3−1000=10+(−10)=0；
④3127+3−127=13+(−13)=0；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______．
(2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则3a+3b=0；反之也成立．
(3)根据上述的真命题，解答问题：若33−2x与3x+5的值互为相反数，求−2x的值．
22. (本小题8.0分)
已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a−15，b的立方根是−2，求3a+b的算术平方根．
23. (本小题8.0分)
已知3x−2+2=x，且33y−1与31−2x互为相反数，求13x−y的绝对值．
24. (本小题8.0分)
先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x−y=5，……①，2x+3y=7，……②，求x−4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：
(1)已知二元一次方程组3x−2y=−2①2x−3y=−3②，则x−y=______，x+y=______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=______．
25. (本小题8.0分)
计算或化简：
(1)(2−5)0−(−23)−2−|−6|；
(2)先化简：(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，然后从−1，0，1，3中选择合适的a值代入求值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
利用平方根及算术平方根的定义化简得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：A．±4=±2，故选项A正确；
B.1=1，故选项B错误；
C.−9=−3，故选项C正确；
D.214=32，故选项D正确．
故选B．
2.【答案】A
【解析】解：①0.25的平方根是±0.5，错误；
②只有正数才有平方根，0也有平方根，错误；
③负数没有平方根，错误；
④(25)2的平方根是±25，正确．
故正确的有1个；
故选A．
根据开方运算，可得平方根、算术平方根．
本题考查了平方根，注意负数不能开平方．
3.【答案】D
【解析】解：因为边长为a的正方形面积为10，所以可得a=10，
则①a是无理数，正确；
②a是方程x2−10=0解，正确；
③a是10的算术平方根，正确；
④解不等式组a−3>0a−4<0，得：3
首先根据正方形的面积公式求得a的值，然后根据算术平方根以及方程的解的定义即可作出判断．
此题主要考查了算术平方根的定义，方程的解的定义，以及无理数估计大小的方法．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的性质以及互为相反数的定义，正确化简各数是解题关键．
【解答】
解：A.−2与−12不是互为相反数，故此选项错误；
B.(−2)2=2，3−8=−2，互为相反数，正确；
C.−2=2，两数相等，故此选项错误；
D.3−8=−2，−38=−2，两数相等，故此选项错误；
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：①a(a≥0)表示a的算术平方根，原命题是假命题；
②立方根等于本身的数是0、1或−1，原命题是假命题；
③若ab=0，则P(a,b)在坐标原点或坐标轴上，原命题是假命题；
④在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(−1,−2)，且AB平行于x轴，AB=5，则点B的坐标为(4,−2)或(−6,−2)，原命题是假命题，
故选：A．
根据平方根、立方根、平面直角坐标系进行判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根、立方根、平面直角坐标系等知识，难度较小．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了算术平方根及立方根的知识，属于基础题，关键是正数的算术平方根为正数，0的算术平方根为0，负数没有算术平方根．根据无理数的定义，开立方的法则及算术平方根的定义，结合各选项进行判断即可．
【解答】
解：①无理数一定是无限不循环小数，正确；
②算术平方根最小的数是零，正确；
③−6是(−6)2的一个平方根，故错误；
④−3−827=23，正确；
其中正确的是：①②④．
故选C．
7.【答案】B
【解析】略
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，圆的性质，正确掌握勾股定理是解题的关键．
根据垂直的定义得到∠ABC=90°，根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得AD=AC−CD=5−1根据圆的性质得到AE=AD，即可得到结论．
【解答】
解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∵AB=2，BC=1，
∴AC=AB2+BC2=5，
∵CD=BC，
∴AD=AC−CD=5−1，
∵AE=AD，
∴AE=5−1，
∴点E表示的实数是5−1，
故选：D．
9.【答案】C
【解析】解：A.根据表格中的信息知：252.81=15.9，
∴2.5281=1.59，故选项不正确；
B.根据表格中的信息知：234.09=15.3<235，
∴235的算术平方根比15.3大，故选项不正确；
C.根据表格中的信息知：15.52=240.25
∴只有3个正整数n满足15.5
∴不能推断出16.12将比256增大3.19，故选项不正确．
故选：C．
根据表格中的信息可知x2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．
此题考查了算术平方根，实数比较大小，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式的非负性．
根据二次根式的非负性即可求出a的取值范围，即可确定答案．
【解答】
解：∵a2=−a，
∴a≤0，
故实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
故选C．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解：无理数有：−3，π，316共有3个．
故选C．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．根据n+q=0可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．
【解答】
解：∵n+q=0，
∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，
∴绝对值最大的点P表示的数p，
故选A．
13.【答案】±1
【解析】解：根据题意可得，
a−1=0，b+2=0，
即a=1，b=−2；
(a+b)2022=[1+(−2)]2022=(−1)2022=1，
1的平方根是±1．
故答案为：±1．
根据非负数的性质可计算出a，b的值，代入(a+b)2022中计算即可得出答案．
本题主要考查了平方根，非负数的性质，熟练掌握平方根，非负数的性质进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵a−2+|2b+12|+(c+2a)2=0，a−2≥0，|2b+12|≥0，(c+2a)2≥0，
∴a−2=0，2b+12=0，c+2a=0，
∴a=2，b=−14，c=−4．
∴a−c4a+8b
=2−(−4)4×2+8×(−14)
=68−2
=1．
故答案为：1．
利用非负数的意义求得a，b，c值，将a，b，c值代入运算即可．
本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得a，b，c值是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一个数的立方根与算术平方根．
由立方体的体积为棱长的立方可以正方体的棱长，再用算术平方根直接计算得到答案．
【解答】
解：设正方体的棱长为x，则x3=8，
所以x=2，即正方体的棱长为2，
因为正方形ABCD的面积为0.5×2×2=2，
所以正方形的边长是2．
16.【答案】−3a+b−c
【解析】
【分析】
本题主要考查了算术平方根，立方根的概念，绝对值的概念及其应用．
根据数轴上点的位置判断出字母的符号，以及字母表示的值之间的大小关系，再根据算术平方根、立方根的概念，绝对值的概念进行解答，即可求解．
【解答】
解：根据数轴上各点的位置可得：a
∴b−a>0，b−c<0，
∴a2+b−a−3a+b3−b−c
=a+b−a−a+b−−b−c
=−a+b−a−a−b+b−c
=−3a+b−c
故答案为：−3a+b−c．
17.【答案】解：由已知得a=81=9，b=52=25，
所以(2)0+12−2−b−a=1+4−25−9=5−16=5−4=1．
【解析】见答案
18.【答案】解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形，
∴剪掉的正方形边长为5 cm，
设原来正方形的边长为x cm，
由题意可得：5(x−10)2=180，
∴(x−10)2=36，
x−10=±6，
解得：x=16或x=4(不合题意，舍去)，
∴原来正方形的边长为16 cm．
【解析】本题考查平方根的实际应用，理解平方根的概念并掌握求一个长方体容积的方法准确列方程求解是解题关键．
设原来正方形的边长为xcm，然后根据长方体体积公式列方程计算．
19.【答案】解：不能，
因为大正方形纸片的面积为(18)2+(18)2=36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3b cm，宽为2b cm，
则6b2=30，
所以b=5(取正值)，
所以3b=35=45>36，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
【解析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2，计算长方形的长与宽进行验证即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．
20.【答案】(1)】解：(a−3b)(3a+2b)−2b(5a−3b)
=3a2+2ab−9ab−6b2−10ab+6b2
=3a2−17ab，
∵|a−2|+b+1=0，
∴a−2=0，b+1=0，
∴a=2，b=−1，
∴原式=3×22−17×2×(−1)
=12+34
=46．
(2)解：(ax−3)(2x+4)−x2−b
=2ax2+4ax−6x−12−x2−b
=(2a−1)x2+(4a−6)x+(−12−b)，
∵不含x2项和常数项，
∴2a−1=0，−12−b=0，
∴a=12，b=−12．
【解析】(1)此题主要考查了整式的混合运算−化简求值以及非负数的性质，正确运用相关运算法则是解题关键．
直接利用多项式乘多项式运算法则以及单项式乘多项式运算法则分别计算，进而合并同类项，再利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．
(2)本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
先算乘法，合并同类项，即可得出关于a、b的方程，求出即可．
21.【答案】解：(1)观察规律可写出类似的等式，如：364+3−64=4+(−4)=0，
故答案为：364+3−64=4+(−4)=0(答案不唯一)；
(2)由规律可得：对于任意两个有理数a，b，若a+b=0，则3a+3b=0，
故答案为：a+b=0；
(3)若33−2x与3x+5的值互为相反数，
则(3−2x)+(x+5)=0，解得x=8，
∴−2x=−2×8=−4．
【解析】本题考查命题与定理，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义．
(1)观察规律，写出一个类似的等式即可；
(2)用含a、b的式子表达规律即可得答案；
(3)先列方程求出x的值，再代入所求式子即可求值．
22.【答案】解：∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a−15，且一个正数的两个平方根互为相反数，
∴a+3+2a−15=0，
解得：a=4，
又b的立方根是−2，
解得：b=−8，
∴3a+b=4，
∴3a+b的算术平方根为2．
【解析】本题考查了平方根算术平方根和立方根的概念以及一元一次方程的解法．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0.根据一个数的平方根互为相反数，有a+3+2a−15=0，可求出a值，又b的立方根是−2，可求出b值，进而代入求出答案．
23.【答案】解：∵3x−2+2=x，即3x−2=x−2，
∴x−2=0或1或−1，解得x=2或3或1．
∵33y−1与31−2x互为相反数，即33y−1+31−2x=0，
∴3y−1+1−2x=0．
∴当x=1时，3y−1+1−2=0，y=23，则|13x−y|=13;
当x=2时，3y−1+1−4=0，y=43，则|13x−y|=23;
当x=3时，3y−1+1−6=0，y=2，则|13x−y|=1．
【解析】见答案
24.【答案】−1 1 −11
【解析】解：(1)①+②得：5x−5y=−5，
∴x−y=−1，
①−②得：x+y=1，
故答案为：−1，1；
(2)设1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，
由题意得：20x+3y+2z=32①39x+5y+3z=58②，
①×②−②得：x+y+z=6，
∴5(x+y+z)=30(元)，
答：5本日记本共需30元；
(3)∵3∗5=15，4∗7=28，
∴3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
①×3−②×2得：a+b+c=−11，
∴1∗1=a+b+c=−11，
故答案为：−11．
(1)根据方程组中两个方程的特点，由①+②即可求出x−y的值，①−②即可求出x+y的值；
(2)设1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，列出方程组20x+3y+2z=32①39x+5y+3z=58②，先求出x+y+z=6，再求出5(x+y+z)=30，即可得出答案；
(3)根据题意得出方程组3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，求出a+b+c=−11，即可求出1∗1的值．
本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法，把方程组中的方程灵活变形运用“整体思想”是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)原式=1−94−6
=−294；
(2)原式=(a2−1−(a+1)(a−3)a−3)÷a+1(a−3)2
=2(a+1)a−3×(a−3)2a+1
=3a−6，
当a=0时，
原式=3×0−6=−6．
【解析】(1)利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可；
(2)利用分式的混合运算的法则化简，再将a=1代入运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和绝对值的意义，分式的混合运算，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
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