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    【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第二章《三角形》单元测试卷(标准难度)(含答案)
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    【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第二章《三角形》单元测试卷(标准难度)(含答案)

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    这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第二章《三角形》单元测试卷(标准难度)(含答案),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    湘教版初中数学八年级上册第二章《三角形》单元测试卷
    考试范围:第二章;考试时间:120分钟;总分120分
    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
    第I卷(选择题)
    一、选择题(本大题共12小题,共36分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 已知三角形的三边长分别为a、b、c,化简|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|得(    )
    A. 4a−2c B. 2a−2b−c C. 4b+2c D. 2a−2b+c
    2. 如图,在△ABC中,以点B为圆心,AB为半径画弧交BC于点D,以点C为圆心,AC为半径画弧交BC于点E,连接AE,AD.设∠ACB=α,∠EAD=β,则∠B的度数为(    )

    A. 2β−α B. α−12β C. 2α−β D. α+12β
    3. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,下列命题中,属于假命题的是(    )
    A. 若∠C=∠A+∠B,则△ABC是直角三角形
    B. 若c2=b2−a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°
    C. 若(c+a)(c−a)=b2,则△ABC是直角三角形
    D. 若∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形
    4. 能说明命题“若a2=b2,则a=b”是假命题的一个反例可以是(    )
    A. a=2,b=−2 B. a=2,b=3
    C. a=−2,b=−2 D. a=−2,b=−3
    5. 下列命题:
    ①若|a|>|b|,则a>b;
    ②直角三角形的两个锐角互余;
    ③如果a=0,那么ab=0;
    ④同旁内角互补,两直线平行.
    其中,原命题和逆命题均为真命题的有(    )
    A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
    6. 如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数为(    )

    A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5°
    7. 如图,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=(    )
    A. a+b2
    B. a−b2
    C. a−b
    D. b−a
    8. 在如图所示的尺规作图中,与AD相等的线段是(    )
    A. 线段AC
    B. 线段BD
    C. 线段DC
    D. 线段DE
    9. 如图,AB/​/CD,BE垂直平分AD,DC=BC.若∠A=70°,则∠C的度数为(    )
    A. 100°
    B. 110°
    C. 115°
    D. 120°
    10. 如图,Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF,下列结论中不一定正确的(    )
    A. S四边形ADHC=S四边形BEFH
    B. AD=BD
    C. AD=BE
    D. ∠DEF=90°
    11. 如图,P是等边三角形ABC内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,将△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBQ,连接PQ,则以下结论中不正确是(    )
    A. ∠PBQ=60°
    B. ∠APB=150°
    C. S△PQC=6
    D. S△BPQ=83
    12. 下列说法:①相等的角是对顶角;②同位角相等;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离;⑤作图语句:连接AD,并且平分∠BAC.其中正确的有个.(    )
    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
    第II卷(非选择题)

    二、填空题(本大题共4小题,共12分)
    13. 已知:一等腰三角形的两边长x、y满足方程组2x−y=33x+2y=8,则此等腰三角形的周长为          .
    14. 已知等腰三角形的一个内角为40∘,则它的顶角的度数为          .
    15. 如图,在△PAB中,PA=PB,M、N、K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=40°,则∠P的度数为          .


    16. 已知线段a,b和m,求作△ABC,使BC=a,AC=b,BC边上的中线AD=m.下面作法的合理顺序为          (填序号):①延长CD到B,使BD=CD;②连接AB;③作△ADC,使DC=12a,AC=b,AD=m.

    三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题8.0分)
    在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.
    ①如果AB/​/CD,BO=DO,那么四边形ABCD是平行四边形;
    ②如果AB/​/CD,∠ABC=∠ADC,那么四边形ABCD是平行四边形;
    ③如果AB=CD,BO=DO,那么四边形ABCD是平行四边形;
    ④如果∠ABC=∠ADC,BO=DO,那么四边形ABCD是平行四边形.
    (1)判断上述四个命题的真假;
    (2)证明上述四个命题的真假.
    (提示:证明一个命题是假命题,只要举个反例.)

    18. (本小题8.0分)
    尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
    已知:如图,线段a,b.
    求作:△ABC,使BC=a,AB=AC=b.

    19. (本小题8.0分)
    已知:如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.
    (1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
    (2)若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长和面积.

    20. (本小题8.0分)
    如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=40°.
    (1)尺规作图:①作边AB的垂直平分线交BC于点D;
    ②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求:保留作图痕迹,不写作法)
    (2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.


    21. (本小题8.0分)
    如图,在△ABC中,∠C=90°,PD=PA,
    (1)尺规作图:作BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F(不写作法,保留作图痕迹);
    (2)在(1)所作的图中,连接DE,求证:DE⊥DP.


    22. (本小题8.0分)
    王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离.


    23. (本小题8.0分)
    如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发.
    (1)如图1,连接AQ、CP.求证:△ABQ≌△CAP;
    (2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数;
    (3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,∠QMC的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.


    24. (本小题8.0分)
    如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F.
    (1)求证:△AED≌△CFB;
    (2)求证:四边形DEBF是平行四边形.

    25. (本小题8.0分)
    如图,已知线段a,b,c,求作△ABC,使AB=c,BC=a,AC=b.(不写作法,保留作图痕迹.)

    答案和解析

    1.【答案】A 
    【解析】解:∵△ABC的三边长分别是a、b、c,
    ∴必须满足两边之和大于第三边,两边的差小于第三边,则a+b−c>0,a−b−c<0,a+b+c>0,
    ∴|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|=a+b−c+2a−2b−2c+a+b+c=4a−2c.
    故选:A.
    三角形三边满足的条件是,两边和大于第三边,两边的差小于第三边,根据此来确定绝对值内的式子的正负,从而化简计算即可.
    此题考查了三角形三边关系,此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负

    2.【答案】A 
    【解析】解:∵以点B为圆心,AB为半径画弧交BC于点D,以点C为圆心,AC为半径画弧交BC于点E,
    ∴AB=BD,AC=CE,
    ∴∠BAD=∠BDA,∠CAE=∠CEA,
    ∵∠ACB=α,
    ∴∠CAE=∠CEA=12(180°−∠ACB)=90°−12α,
    ∵∠DAE=β,
    ∴∠CAD=∠CAE−∠DAE=(90°−12α)−β=90°−12α−β,
    ∴∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD=α+(90°−12α−β)=90°+12α−β,
    ∴∠B=180°−∠BAD−∠BDA
    =180°−(90°+12α−β)−(90°+12α−β)
    =180°−90°−12α+β−90°−12α+β
    =2β−α,
    故选:A.
    根据等腰三角形的性质得出∠BAD=∠BDA,∠CAE=∠CEA,根据三角形内角和定理求出∠CAE=∠CEA=12(180°−∠ACB)=90°−12α,求出∠CAD=∠CAE−∠DAE=90°−12α−β,根据三角形外角性质得出∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD=90°+12α−β,再根据三角形内角和定理求出∠B即可.
    本题考查了三角形内角和定理,等腰三角形的性质和三角形外角性质,能根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BDA的度数是解此题的关键.

    3.【答案】B 
    【解析】解:A、若∠C=∠A+∠B,则△ABC是直角三角形,是真命题,本选项不符合题意.
    B、若c2=b2−a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°,是假命题,应该是∠B=90°,本选项符合题意.
    C、若(c+a)(c−a)=b2,则△ABC是直角三角形,是真命题,本选项不符合题意.
    D、若∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形,是真命题,本选项不符合题意.
    故选:B.
    根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理判断即可.
    本题考查命题与定理,直角三角形的定义,勾股定理的逆定理等知识,解题的关键是掌握勾股定理的逆定理,属于中考常考题型.

    4.【答案】A 
    【解析】解:能说明命题“若a2=b2,则a=b”是假命题的一个反例是a=2,b=−2,a2=b2,但a=−b,
    故选:A.
    反例就是符合已知条件但不满足结论的例子,可据此判断出正确的选项.
    此题主要考查了反证法的意义,在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.

    5.【答案】C 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够写出一个命题的逆命题,难度不大.
    写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项.
    【解答】
    解:①错误,为假命题;其逆命题为若a>b,则|a|>|b|,错误,为假命题;
    ②直角三角形的两个锐角互余,正确,为真命题;逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形,正确,为真命题;
    ③如果a=0,那么ab=0,正确,为真命题;其逆命题为若ab=0,那么a=0,错误,为假命题;
    ④同旁内角互补,两直线平行,正确,是真命题,其逆命题为两直线平行,同旁内角互补,为真命题.
    原命题和逆命题均是真命题的有2个,
    故选C.
      
    6.【答案】C 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质,解题的关键是利用外角性质得出∠1=2∠2,∠2=2∠E,由于△ABC是等边三角形,那么∠B=∠1=60°,而CD=CG,那么∠CGD=∠2,而∠1是△CDG的外角,可得∠1=2∠2,同理有∠2=2∠E,等量代换有4∠E=60°,即可求∠E.
    【解答】
    解:如图所示,

    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠B=∠1=60°,
    ∵CD=CG,
    ∴∠CGD=∠2,
    ∴∠1=2∠2,
    同理有∠2=2∠E,
    ∴4∠E=60°,
    ∴∠E=15°.
    故选C.  
    7.【答案】C 
    【解析】解:∵在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,
    ∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°,
    ∴∠ABD=36°=∠A,
    ∴BD=AD,
    ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,
    ∴BD=BC,
    ∵AB=AC=a,BC=b,
    ∴CD=AC−AD=a−b,
    故选:C.
    根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD,进而解答即可.
    此题考查等腰三角形的判定与性质,关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答.

    8.【答案】B 
    【解析】解:由作图可知,DE垂直平分线段AB,
    ∴DA=DB,
    故选:B.
    利用线段的垂直平分线的性质判断即可.
    本题考查作图−基本作图,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质,属于中考常考题型.

    9.【答案】A 
    【解析】
    【分析】
    本题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质,解题时注意:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,由BE垂直平分AD,可得AB=DB,进而得出∠ABE=∠DBE,由∠A=70°,即可得到∠ABD=40°,依据平行线的性质以及三角形内角和定理,即可得到∠C的度数.
    【解答】
    解:∵BE垂直平分AD,
    ∴AB=DB,
    ∴∠ABE=∠DBE,
    又∵∠A=70°,
    ∴∠ABE=20°,
    ∴∠ABD=40°,
    又∵AB/​/CD,
    ∴∠CDB=∠ABD=40°,
    又∵DC=BC,
    ∴∠CBD=40°,
    ∴∠C=180°−2×40°=100°,
    故选:A.  
    10.【答案】B 
    【解析】【解答】
    本题考查了全等三角形的性质及平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.各组对应点的线段所在的直线平行(或共线)且相等.先利用平移的性质得到AD=BE,△ABC≌△DEF,再利用全等三角形的性质得到∠DEF=∠ABC=90°,S△ABC=S△DEF,利用面积的和差得到S四边形ADHC=S四边形BEFH.
    【解答】
    解:∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF,
    ∴AD=BE,△ABC≌△DEF,
    ∴∠DEF=∠ABC=90°,S△ABC=S△DEF,
    ∴S四边形ADHC=S四边形BEFH.
    故选B.

    11.【答案】D 
    【解析】解:∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠ABC=60°,
    ∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置,
    ∴△BQC≌△BPA,
    ∴∠BPA=∠BQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,∠ABP=∠QBC,
    ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
    ∴△BPQ是等边三角形,△BPQ的面积=34×42=43,故A正确,D错误;
    ∴PQ=BP=4,
    ∵PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,
    ∴PQ2+QC2=PC2,
    ∴∠PQC=90°,即△PQC是直角三角形,△PQC的面积=12×3×4=6,故C正确,
    ∵△BPQ是等边三角形,
    ∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°,
    ∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°,故B正确.
    故选:D.
    根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理,即可判断A、D;依据△BPQ是等边三角形,即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°,进而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°,即可判断C、B选项.
    本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用,解题关键是综合运用定理进行推理.

    12.【答案】B 
    【解析】解:①相等的角不一定是对顶角,故说法错误;
    ②同位角不一定相等,故说法错误;
    ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故说法错误;
    ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,故说法正确;
    ⑤连接AD,并且平分∠BAC.这里两个条件,只能满足一个条件,说法错误;
    故选:B.
    根据对顶角,平行线的性质,平行公理,点到直线的结论,基本作图等知识一一判断即可.
    本题考查对顶角,平行线的性质,平行公理,点到直线的结论,基本作图等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

    13.【答案】5 
    【解析】解:解方程组2x−y=33x+2y=8得x=2y=1.
    所以,等腰三角形的两边长为2,1.
    若腰长为1,底边长为2,由1+1=2知,这样的三角形不存在.
    若腰长为2,底边长为1,则三角形的周长为5.
    所以这个等腰三角形的周长为5.
    故答案为:5.
    先解二元一次方程组,然后讨论腰长的大小,再根据三角形三边关系即可得出答案.
    本题考查了三角形三边关系及解二元一次方程组,难度一般,关键是掌握分类讨论的思想解题.

    14.【答案】40∘或100∘ 
    【解析】解: ①这个等腰三角形的顶角的度数为40∘;
     ②当40∘的角为底角时,这个等腰三角形的顶角的度数为180∘−40∘−40∘=100∘,
    综上可知,它的顶角的度数为40∘或100∘.

    15.【答案】100° 
    【解析】解:∵PA=PB,
    ∴∠A=∠B,
    在△AMK和△BKN中,
    AM=BK∠A=∠BAK=BN,
    ∴△AMK≌△BKN(SAS),
    ∴∠AMK=∠BKN,
    ∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN,
    ∴∠A=∠MKN=40°,
    ∴∠P=180°−∠A−∠B=180°−40°−40°=100°,
    故答案为100°.
    由条件可证明△AMK≌△BKN,再结合外角的性质可求得∠A=∠MKN,再利用三角形内角和可求得∠P.
    本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理,利用条件证得△AMK≌△BKN是解题的关键.

    16.【答案】③①② 
    【解析】解:作法:③作△ADC,使DC=12a,AC=b,AD=m,
    ①延长CD到B,使BD=CD,
    ②连接AB,

    故答案为:③①②.
    先作△ADC,再延长CD到B,最后连接AB.
    本题考查了复杂的几何作图,基本作图是作一条线段等于已知线段;主要利用圆规截取或以某点为圆心,以所作的线段长为半径作圆得出.

    17.【答案】解:(1)①如果AB/​/CD,BO=DO,那么四边形ABCD是平行四边形是真命题;
    ②如果AB/​/CD,∠ABC=∠ADC,那么四边形ABCD是平行四边形是真命题;
    ③如果AB=CD,BO=DO,那么四边形ABCD是平行四边形是假命题;
    ④如果∠ABC=∠ADC,BO=DO,那么四边形ABCD是平行四边形是假命题.
    (2)①∵AB//CD,
    ∴∠ABO=∠CDO,
    ∵BO=DO,∠AOB=∠COD,
    ∴△AOB≌△COD(ASA),
    ∴AB=CD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形;
    ②∵AB/​/CD,
    ∴∠ABC+∠BAD=∠ADC+∠BCD=180°,
    ∵∠ABC=∠ADC,
    ∴∠BAD=∠DCB,
    ∴四边形ABCD是平行四边形;
    ③如图1,当AB=CD,BO=DO时,则四边形ABCD不是平行四边形;
    ④如图2,当∠ABC=∠ADC,BO=DO时,则四边形ABCD不是平行四边形. 
    【解析】(1)根据题意判断即可得到结论;
    (2)根据平行四边形的判定定理证明即可.
    本题考查了命题与定理,平行四边形的判定定理,熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

    18.【答案】解:如图,△ABC即为所求.
     
    【解析】作射线BM,在射线BM上截取BC=a,分别以B,C为圆心,b为半径作弧,两弧交于点A,连接AB,AC,△ABC即为所求.
    本题考查作图−复杂作图,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.

    19.【答案】(1)证明:在▱ABCD中,AB=CD,AB/​/CD.
    ∵E、F分别是AB、CD的中点,
    ∴BE=12AB,DF=12CD.
    ∴BE=DF.
    ∴四边形EBFD是平行四边形

    (2)解:∵AD=AE,∠A=60°,
    ∴△ADE是等边三角形.
    ∴DE=AD=2,
    由(1)知四边形EBFD是平行四边形,
    ∵BE=AE=2,
    ∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8. 
    【解析】(1)在▱ABCD中,AB=CD,AB/​/CD,又E、F分别是边AB、CD的中点,所以BE=CF,因此四边形EBFD是平行四边形;
    (2)由AD=AE=2,∠A=60°知△ADE是等边三角形,又E、F分别是边AB、CD的中点,四边形EBFD是平行四边形,所以EB=BF=FD=DE=2,四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2=8.
    本题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应,每种方法都对应着一种性质,在应用时应注意它们的区别与联系.

    20.【答案】解:(1)如图,直线DF,射线AE即为所求.

    (2)∵DF垂直平分线段AB,
    ∴DB=DA,
    ∴∠DAB=∠B=30°,
    ∵∠C=40°,
    ∴∠BAC=180°−30°−40°=110°,
    ∴∠CAD=110°−30°=80°,
    ∵AE平分∠DAC,
    ∴∠DAE=12∠DAC=40°. 
    【解析】(1)利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF,交CB于D,交AB于F,连接AD;作∠CAD的角平分线交BC于E,直线DF,射线AE即为所求.
    (2)首先证明DA=DB,推出∠DAB=∠B=30°,利用三角形内角和定理求出∠BAC,∠DAC即可解决问题.
    本题考查作图−基本作图,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.

    21.【答案】(1)解:如图,EF为所作;

    (2)证明:∵PA=PD,
    ∴∠A=∠PDA,
    ∵EF垂直平分BD,
    ∴EB=ED,
    ∴∠B=∠EDB,
    ∵∠C=90°,
    ∴∠A+∠B=90°,
    ∴∠PDA+∠EDB=90°,
    ∴∠PDE=180°−∠PDA−∠EDB=90°,
    ∴PD⊥DE. 
    【解析】(1)利用基本作图作BD的垂直平分线EF;
    (2)先由PA=PD得到∠A=∠PDA,再根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED,则∠B=∠EDB,从而得到∠PDA+∠EDB=90°,从而可判断PD⊥DE.
    本题考查了作图−基本作图:熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质.

    22.【答案】解:由题意得:AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,

    ∴∠ADC=∠CEB=90°,
    ∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,
    ∴∠BCE=∠DAC,
    在△ADC和△CEB中,
    ∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC,
    ∴△ADC≌△CEB(AAS);
    由题意得:AD=EC=6cm,DC=BE=14cm,
    ∴DE=DC+CE=20(cm),
    答:两堵木墙之间的距离为20cm. 
    【解析】此题主要考查了全等三角形的应用,关键是正确找出证明三角形全等的条件.
    根据题意可得AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,进而得到∠ADC=∠CEB=90°,再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC,再证明△ADC≌△CEB即可,利用全等三角形的性质进行解答.

    23.【答案】解:(1)证明:如图1,∵△ABC是等边三角形
    ∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=CA,
    又∵点P、Q运动速度相同,
    ∴AP=BQ,
    在△ABQ与△CAP中,
    AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ,
    ∴△ABQ≌△CAP(SAS);
    (2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中,∠QMC不变.
    理由:∵△ABQ≌△CAP,
    ∴∠BAQ=∠ACP,
    ∵∠QMC是△ACM的外角,
    ∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC
    ∵∠BAC=60°,
    ∴∠QMC=60°;
    (3)如图2,点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时,∠QMC不变
    理由:同理可得,△ABQ≌△CAP,
    ∴∠BAQ=∠ACP,
    ∵∠QMC是△APM的外角,
    ∴∠QMC=∠BAQ+∠APM,
    ∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°,
    即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,∠QMC的度数为120°. 
    【解析】(1)根据等边三角形的性质,利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可;
    (2)先判定△ABQ≌△CAP,根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP,从而得到∠QMC=60°;
    (3)先判定△ABQ≌△CAP,根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP,从而得到∠QMC=120°.
    此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用.解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法:两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.解题时注意运用全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质.

    24.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD=BC,AD//BC,
    ∴∠DAE=∠BCF,
    ∵DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,
    ∴∠AED=∠BFC=90°,
    在△AED与△CFB中,
    ∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFBAD=CB,
    ∴△AED≌△CFB(AAS);
    (2)∵DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,
    ∴DE/​/BF,
    ∵△AED≌△CFB,
    ∴DE=BF,
    ∴四边形DEBF是平行四边形. 
    【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD//BC,得到∠DAE=∠BCF,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;
    (2)根据平行线的判定定理得到DE/​/BF,根据全等三角形的性质得到DE=BF,根据平行四边形的判定定理即可得到结论.
    本题考查了平行四边形的判定,全等三角形的判定和性质,熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

    25.【答案】解:

    如上图,△ABC即为所求.
     
    【解析】本题考查了作图——复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.先在射线AD上截取AC=b,再分别以点A,C为圆心,c和a为半径画弧,两弧相交于点B,然后连结BA,BC,则△ABC为满足条件的三角形.

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