数学九年级上册22.1.1 二次函数优秀教学设计

22.1 二次函数的图象和性质

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质

一、教学目标

【知识与技能】

1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；

2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.

【过程与方法】

通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.

【情感态度与价值观】

使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；

2.能确定二次函数y=ax2的解析式.

【教学难点】 

1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；

2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.

五、课前准备 

课件、三角尺、铅笔等.

六、教学过程

（一）导入新课

1.你们喜欢打篮球吗？（出示课件2）

2.你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

学生自主思考.

（二）探索新知

探究一：二次函数y=ax2的图象的画法

出示课件4：画出二次函数y=x2的图象.

学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.

⑴列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：

⑵描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）（出示课件5）

⑶连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．

当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：（出示课件6）

教师归纳：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

出示课件7：画出二次函数y=-x2的图象.

学生分组画y=-x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.

⑴列表：

⑵描点：

⑶连线：

探究二：二次函数y=ax2的图象性质

出示课件8：教师问：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.

学生交流后，师生共同总结如下：

1.y＝x2的图象是一条抛物线;

2.图象开口向上;

3.图象关于y轴对称;

4.顶点（ 0 ，0 ）;

5.图象有最低点．

出示课件9：教师问：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.

学生交流后，师生共同总结如下：

1.y＝-x2的图象是一条抛物线;

2.图象开口向下;

3.图象关于y轴对称;

4.顶点（0，0）;

5.图象有最高点．

教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2的图象性质：

1.顶点都在原点（0,0）;

2.图像关于y轴对称;

3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．

师生共同探究：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？（出示课件11）

教师强调：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.

探究三：二次函数y=ax2的性质

出示课件12：观察图形，y随x的变化如何变化？

教师归纳：（出示课件13）对于抛物线y=ax2（a＞0），

当x＞0时，y随x取值的增大而增大；

当x<0时，y随x取值的增大而减小.

师生共同探究：观察图形，y随x的变化如何变化？（出示课件14）

教师归纳：（出示课件15）对于抛物线 y =ax2（a＜0）

当x＞0时，y随x取值的增大而减小；

当x<0时，y随x取值的增大而增大.

出示课件16：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．

将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.

解：分别填表，再画出它们的图象，如图：

出示课件17：师生共同探究：二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？

教师归纳：当a>0时，a越大，开口越小.

出示课件18：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．

将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.

解：分别填表，再画出它们的图象，如图：

出示课件19：师生共同探究：二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？

教师归纳：当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.

对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．

师生共同完善认知：（出示课件20）

出示课件21：填一填：

（1）函数y=4x2的图象的开口      ,对称轴是      ,顶点是     ;

（2）函数y=－3x2的图象的开口     ,对称轴是     ,顶点是     ，顶点是抛物线的最      点;

⑶函数y=x2的图象的开口     ,对称轴是     ,顶点是     ，顶点是抛物线的最      点;

⑷函数y=－0.2x2的图象的开口      ,对称轴是      ,顶点是     .

学生独立思考后，口答如下：

⑴向上；y轴；(0,0)

⑵向下；y轴；(0,0)；高

⑶向上；y轴；(0,0)；低

⑷向下；y轴；(0,0)

出示课件22：例  已知y=(m+1)xm2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.

学生自主思考后，师生共同解答如下：

解: 依题意有:

解②,得m1=－2,m2=1.

由①,得m>－1.

因此m=1.

此时,二次函数为y=2x2.

出示课件23：已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=            .

学生独立思考后，自主解答如下：

解：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此，，解得k=2.

探究四：二次函数y =ax2的实际应用

出示课件24：师生共同认知：二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.

出示课件25：例  已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，

（1）求S与C之间的二次函数关系式；

（2）画出它的图象；

（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；

（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.

学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件26）

解：（1）∵正方形的周长为Ccm，

∴正方形的边长为cm，

∴S与C之间的关系式为S=；

（2）作图如图：

（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm；

（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去），因此C ≥ 8cm.

出示课件27：已知二次函数y＝2x2.

(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；

(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．

学生独立思考后，自主解答：（出示课件28）

(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，

∴当x＝2时，y＝2×22＝8.

∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，

∴OA＝OB,

∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，

∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.

教师总结如下：（出示课件29）

二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．

（三）课堂练习（出示课件30-34）

1.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（       ）

A.y1＞0＞y2                   B.y2＞0＞y1         

C.y1＞y2＞0                   D.y2＞y1＞0

2.函数y=2x2的图象的开口     , 对称轴     ,顶点是     ;

在对称轴的左侧，y随x的增大而     ,

在对称轴的右侧, y随x的增大而     .

3.函数y=-3x2的图象的开口     , 对称轴     ,顶点是     ;

在对称轴的左侧，y随x的增大而     ,

在对称轴的右侧, y随x的增大而     .

4.如图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是       .

5.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．

7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．

参考答案：

1.C

2.向上；y轴；(0,0)；减小；增大

3.向下；y轴；(0,0)；增大；减小

4.k>1

5.

6.解：在二次函数y=x2中，a=1＞0

因此当x=0时，y有最小值.

∵当x≥m时，y最小值=0，

∴m≤0．

7.解：由题意得

解得

因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．

∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.

因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.

（四）课堂小结

1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？

2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？

3.本节课你还存在哪些疑问？.

（五）课前预习

预习下节课（22.1.3第1课时）的相关内容.

七、课后作业

1.教材41页习题22.1第3,4题

2.配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.