北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共28页。试卷主要包含了0﹣+|2﹣|，，与y轴交于点C，的图象上，有这样一个问题，两点，求这个二次函数的解析式等内容，欢迎下载使用。

北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2022秋•通州区期末）计算：4cos45°+（﹣1）0﹣+|2﹣|．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
2．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（﹣2，3），B（1，a）．
（1）求出反比例函数表达式及a的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集．

3．（2022秋•通州区期末）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象交于点A（1，4），点B（4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）观察图象，不等式＞﹣x+b的解集为 　 　．

三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
4．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）求点C纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点P（5，﹣4）．将点C向下移动一个单位，得到点D．若二次函数图象与线段PD只有一个交点，求a的取值范围．

四．二次函数图象与几何变换（共1小题）
5．（2021秋•通州区期末）二次函数y＝ax2+bx+a（a＜0）的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数y＝ax2+bx+a（a＜0）的图象上．
（1）求点B的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）二次函数的对称轴是直线 　 　；
（3）已知点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+2，y3）在二次函数y＝ax2+bx+a（a＜0）的图象上．若0＜m＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．

五．待定系数法求二次函数解析式（共4小题）
6．（2020秋•通州区期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
…
3
4
…
y
…
0
3
…
0
﹣5
…
求出二次函数的表达式．
7．（2020秋•通州区期末）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣﹣4的图象与性质．
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣﹣4的图象与性质进行了探究．
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣﹣4的图象与y轴 　 　交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1

2

…
y
…


﹣2
﹣
n
﹣
﹣

…
则n的值为 　 　；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；

（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程x2﹣＝4的根约为 　 　．（结果精确到0.1）
8．（2021秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0，1），B（3，4）．
求此二次函数的表达式及顶点的坐标．
9．（2022秋•通州区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（﹣1，0）两点，求这个二次函数的解析式．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2021秋•通州区期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．

七．垂径定理（共1小题）
11．（2021秋•通州区期末）如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．

八．切线的性质（共1小题）
12．（2021秋•通州区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝6，求线段AE的长．

九．旋转的性质（共1小题）
13．（2020秋•通州区期末）如图，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）角，得到正方形BEFG．连接AG，分别与BE、BC交于点H，K，连接EC，DF．
（1）求∠BAG的值（用θ表示）；
（2）求证：AG∥EC∥DF．

一十．平行线分线段成比例（共1小题）
14．（2022秋•通州区期末）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN：NC的值．

一十一．相似三角形的判定（共1小题）
15．（2021秋•通州区期末）如图，∠MAN＝30°，点B、C分别在AM、AN上，且∠ABC＝40°．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：△ABC∽△ADB．

一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2020秋•通州区期末）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．

一十三．锐角三角函数的定义（共1小题）
17．（2021秋•通州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sinA，cosA和tanA．

一十四．解直角三角形（共1小题）
18．（2022秋•通州区期末）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝6，cosA＝．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．

一十五．解直角三角形的应用（共1小题）
19．（2022秋•通州区期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离．（结果保留根号）


北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2022秋•通州区期末）计算：4cos45°+（﹣1）0﹣+|2﹣|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2﹣，
＝2+1﹣2+2﹣，
＝3﹣．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
2．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（﹣2，3），B（1，a）．
（1）求出反比例函数表达式及a的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集．

【答案】（1），a＝﹣6；
（2）0＜x＜1或x＜﹣2．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3）在函数上，
∴m＝（﹣2）×3＝﹣6，
∴反比例函数表达式为，
又∵点B（1，a）在函数上，
∴；

（2）由图象可知，不等式kx+b＞的解集为0＜x＜1或x＜﹣2．

3．（2022秋•通州区期末）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象交于点A（1，4），点B（4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）观察图象，不等式＞﹣x+b的解集为 　x＞4或0＜x＜1　．

【答案】（1）b＝5，n＝1；
（2）x＞4或0＜x＜1．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数，一次函数y＝﹣x+b，
得k＝1×4，﹣1+b＝4，
解得k＝4，b＝5，
∵点B（4，n）也在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝1；
（2）∵B（4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：不等式的解集为x＞4或0＜x＜1．
故答案为：x＞4或0＜x＜1．

三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
4．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）求点C纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点P（5，﹣4）．将点C向下移动一个单位，得到点D．若二次函数图象与线段PD只有一个交点，求a的取值范围．

【答案】（1）直线x＝1；
（2）yc＝﹣3a；
（3）当或a＝1时，抛物线与线段PD只有一个交点．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（3，0），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），
∴c＝﹣3a，
∴yc＝﹣3a；
（3）当a＞0时，
∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4a），
当﹣4a＝﹣4时，a＝1，
①当a＝1时，抛物线与线段PD有一个交点，即抛物线的顶点，如图1所示；

②当0＜a＜1时，抛物线与线段PD没有交点，如图2，
；
③当a＞1时，抛物线与线段PD有两个交点，如图3，
；
当a＜0时，
将点P（5，﹣4）代入抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）得：﹣4＝a（5+1）（5﹣3）
解得，，
①当时，抛物线与线段PD只有一个交点，如图4，

②当﹣＜a＜0时，抛物线与线段PD没有交点，如图5，
；
综上所述，当或a＝1时，抛物线与线段PD只有一个交点．
四．二次函数图象与几何变换（共1小题）
5．（2021秋•通州区期末）二次函数y＝ax2+bx+a（a＜0）的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数y＝ax2+bx+a（a＜0）的图象上．
（1）求点B的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）二次函数的对称轴是直线 　x＝2　；
（3）已知点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+2，y3）在二次函数y＝ax2+bx+a（a＜0）的图象上．若0＜m＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．

【答案】（1）（4，a）．
（2）x＝2；
（3）y3＞y2＞y1．
【解答】解：（1）令x＝0，
∴y＝a，
∴点A的坐标为（0，a），
∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为（4，a）．
（2）∵点A的坐标为（0，a），B（4，a）．
∴x＝＝2，
∴二次函数的对称轴是直线x＝2；
故答案为：x＝2；
（3）∵对称轴是直线x＝2，0＜m＜1，
∴点（m﹣1，y1），（m，y2）在对称轴x＝2的左侧，
点（m+2，y3）在对称轴x＝2的右侧，
∵0＜m＜1，
∴﹣1＜﹣m＜0，
∴2＜2﹣（m﹣1）＜3，
∴1＜2﹣m＜2，
∴0＜m+2﹣2＜1，
∵a＜0，
∴y3＞y2＞y1．
五．待定系数法求二次函数解析式（共4小题）
6．（2020秋•通州区期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
…
3
4
…
y
…
0
3
…
0
﹣5
…
求出二次函数的表达式．
【答案】y＝﹣x2+2x+3．
【解答】解：据题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），
∵该函数过点（0，3），
∴3＝a（0+1）（0﹣3）
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式y＝﹣x2+2x+3．
7．（2020秋•通州区期末）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣﹣4的图象与性质．
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣﹣4的图象与性质进行了探究．
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣﹣4的图象与y轴 　无　交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1

2

…
y
…


﹣2
﹣
n
﹣
﹣

…
则n的值为 　﹣4　；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；

（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程x2﹣＝4的根约为 　﹣1.9或﹣0.3或2.1　．（结果精确到0.1）
【答案】（1）无；
（2）﹣4；
（3）见解答；
（4）﹣1.9，﹣0.3或2.1．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2﹣﹣4自变量x的取值范围为x≠0，
∴函数y＝x2﹣﹣4的图象与y轴无交点；
故答案为：无；
（2）把x＝1代入y＝x2﹣﹣4得，y＝1﹣1﹣4＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）根据列表、描点、连线得出函数y＝x2﹣﹣4的图象，所画的图象如图所示：

（4）通过图象直观得出函数的图象与x轴交点的横坐标．
故答案为：﹣1.9或﹣0.3或2.1．
8．（2021秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0，1），B（3，4）．
求此二次函数的表达式及顶点的坐标．
【答案】y＝x2﹣2x+1，顶点的坐标为（1，0）．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0，1），B（3，4）；
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣2x+1，
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点的坐标为（1，0）．
9．（2022秋•通州区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（﹣1，0）两点，求这个二次函数的解析式．
【答案】y＝x2﹣x﹣2．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2021秋•通州区期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．

【答案】（1）2；
（2）线段OE和CD的数量关系是OE＝CD，理由见解析过程．
【解答】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，∠OBE＝∠ABO，
∴△OBE∽△ABO，
∴，
∵AB＝2，E为AB的中点，
∴BE＝，
∴，
∴OB＝2，OB＝﹣2（不合题意舍去），
∴OB＝2；
（2）解：线段OE和CD的数量关系是OE＝CD，理由如下：
如图，延长OE到点F，使得EF＝EO，连接AF，FB，

∵AE＝BE，OE＝EF，
∴四边形AFBO是平行四边形，
∴AF∥OB，AF＝OB，
∴∠FAO+∠AOB＝180°，
∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠FAO＝∠COD，
∵OB＝OC，
∴AF＝OC，
在△AOF和△ODC中，
，
∴△AOF≌△ODC（SAS），
∴OF＝CD，
∴OE＝CD．
七．垂径定理（共1小题）
11．（2021秋•通州区期末）如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．

【答案】见解答．
【解答】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴＝，
∴∠B＝∠F，
∵CF∥BD，
∴∠AGF＝∠B，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF．
八．切线的性质（共1小题）
12．（2021秋•通州区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝6，求线段AE的长．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵，∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC；
（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，

∵∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠OAC＝75°﹣45°＝30°，
∵AD∥EC，
∴∠E＝∠BAD＝30°，
∵∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴AF＝OA，
∵AD＝6，
∴AF＝AD＝3，
在Rt△AFE中，
∴sinE＝，
∴AE＝＝6．
九．旋转的性质（共1小题）
13．（2020秋•通州区期末）如图，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）角，得到正方形BEFG．连接AG，分别与BE、BC交于点H，K，连接EC，DF．
（1）求∠BAG的值（用θ表示）；
（2）求证：AG∥EC∥DF．

【答案】（1）45°﹣；
（2）证明见解析过程．
【解答】解：（1）∵将正方形ABCD绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）角，得到正方形BEFG，
∴∠ABC＝∠EBG＝90°，AB＝BG＝BE＝BC＝FG＝AD，
∴∠BAG＝＝45°﹣；
（2）∵BE＝BC，∠EBC＝90°﹣θ，
∴∠CEB＝45°+，
∵∠EHA＝∠∠BAG+∠ABE＝θ+45°﹣＝45°+，
∴∠EHA＝∠BEC，
∴AG∥EC，
如图，延长AD，GF交于点N，

∵AB＝BG，
∴∠BAG＝∠BGA，
∵∠BAD＝∠BGF＝90°，
∴∠DAG＝∠FGA，
∴AN＝GN，
∴AN﹣AD＝GN﹣FG，
∴DN＝NF，
∵，∠N＝∠N，
∴△NDF∽△NAG，
∴∠NDF＝∠NAG，
∴DF∥AG，
∴AG∥EC∥DF．
一十．平行线分线段成比例（共1小题）
14．（2022秋•通州区期末）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN：NC的值．

【答案】1：2．
【解答】解：过D作DE∥BN，交AC于E，

∵BD＝CD，
∴EN＝CE，
∵MN∥DE，M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∴AN＝EN，
∴AN＝EN＝CE，
∴AN：NC＝1：2．
一十一．相似三角形的判定（共1小题）
15．（2021秋•通州区期末）如图，∠MAN＝30°，点B、C分别在AM、AN上，且∠ABC＝40°．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：△ABC∽△ADB．

【答案】（1）图形见解析；
（2）证明过程见解析．
【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；

（2）∵∠ABC＝40°，
∴∠MBC＝140°，
∵BD平分∠MBC，
∴，
∵∠MBD是△ADB的一个外角，
∴∠ADB＝∠MBD﹣∠A＝70°﹣30°＝40°，
∴∠ABC＝∠ADB．
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB．
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2020秋•通州区期末）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，即＝，
∴AB＝6．
一十三．锐角三角函数的定义（共1小题）
17．（2021秋•通州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sinA，cosA和tanA．

【答案】sinA＝，cosA＝，tanA＝．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．
∴AB＝＝＝13，
∴sinA＝＝，
cosA＝＝，
tanA＝＝．
一十四．解直角三角形（共1小题）
18．（2022秋•通州区期末）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝6，cosA＝．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosA＝＝，
设AC＝3k，则AB＝5k，
∴BC＝＝4k，
∵AC＝6，
∴3k＝6，k＝2，
∴AB＝10，
∵D是边AB的中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）过C点作CF⊥AB于F．
CF＝AC•BC÷AB＝4.8，
cos∠DCF＝．
∵∠DCF＝∠DBE，
∴cos∠DBE＝．

一十五．解直角三角形的应用（共1小题）
19．（2022秋•通州区期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离．（结果保留根号）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：过A作AM⊥DE，交ED的延长线于M，过C作CF⊥AM于F，过C作CN⊥DE，

由题意知，AC＝80mm，CD＝80mm，∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40（mm），∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCN＝90°﹣30°＝60°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝60°，
∴∠ACF＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin∠ACF＝80×＝40（mm），
由图知四边形MNCF为矩形，
∴FM＝CN＝40（mm），
∴AM＝AF+FM＝（40+40）（mm），
∴点A到底座DE的距离为（40+40）mm．