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    北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(基础题)知识点分类
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    北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(基础题)知识点分类

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    这是一份北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(基础题)知识点分类,共18页。试卷主要包含了计算,的图象的交点,中选择其一证明即可等内容,欢迎下载使用。

    北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(基础题)知识点分类
    一.实数的运算(共2小题)
    1.(2020秋•昌平区期末)计算:tan60°+cos245°﹣sin30°.
    2.(2022秋•昌平区期末)计算:tan30°+2cos45°﹣sin260°.
    二.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)
    3.(2021秋•昌平区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,2)是一次函数y=x﹣1的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象的交点.
    (1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式;
    (2)过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象,反比例函数图象的交点分别为M,N,当S△OPM>S△OPN时,直接写出n的取值范围.

    三.二次函数图象与系数的关系(共2小题)
    4.(2020秋•昌平区期末)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.
    (1)①直接写出抛物线的对称轴是   ;
    ②用含a的代数式表示b;
    (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线与x轴交于P、Q两点,该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域(不包括边界)恰有七个整点,结合函数图象,求a的取值范围.
    5.(2021秋•昌平区期末)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在二次函数y=x2+bx的图象上.
    (1)当m=﹣3时.
    ①求这个二次函数的顶点坐标;
    ②若点(﹣1,y1),(a,y2)在二次函数的图象上,且y2>y1,则a的取值范围是    ;
    (2)当mn<0时,求b的取值范围.
    四.圆周角定理(共1小题)
    6.(2022秋•昌平区期末)我们在课上证明圆周角定理时,需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明,下面给出了情形(1)的证明过程,请你在情形(2)和情形(3)中选择其一证明即可.
    圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
    已知:如图,在⊙O中,弧AB所对的圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB.
    求证:∠ACB=∠AOB.
    情形(1)
    证明:如图(1),当圆心O在∠ACB的边上时,
    ∵OC=OB,
    ∴∠C=∠B.
    ∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角,
    ∴∠AOB=∠C+∠B.
    ∴∠AOB=2∠C.
    即∠C=∠AOB.
    请你选择情形(2)或情形(3),并证明.

    五.切线的判定与性质(共1小题)
    7.(2020秋•昌平区期末)如图,AB为⊙O的直径,点C,D是⊙O上的点,AD平分∠BAC,过点D作AC的垂线,垂足为点E.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)延长AB交ED的延长线于点F,若⊙O半径的长为3,tan∠AFE=,求CE的长.

    六.相似三角形的判定与性质(共2小题)
    8.(2021秋•昌平区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,点D在AC上且AD=3,DE⊥AB于点E,求AE的长.

    9.(2022秋•昌平区期末)如图,矩形ABCD中,点P在边AD.上,PD=2AP,连接CP并延长,交BA的延长线于点E,连接BD交CP于点Q.
    (1)写出图中两对相似的三角形(相似比不为1)   ;
    (2)求的值.

    七.特殊角的三角函数值(共1小题)
    10.(2021秋•昌平区期末)计算:2sin60°+tan45°﹣cos30°tan60°.
    八.解直角三角形(共1小题)
    11.(2021秋•昌平区期末)如图,在△ABC中,∠B=30°,AB=4,AD⊥BC于点D且tan∠CAD=,求BC的长.

    九.解直角三角形的应用(共1小题)
    12.(2021秋•昌平区期末)居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内,是京北长城沿线上的著名古关城,有“天下第一雄关”的美誉.某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具,测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度,下表是小强填写的实践活动报告的部分内容:请你帮他计算出城楼的高度AD.(结果精确到0.1m,sin35°≈0.574,cos35°≈0.819,tan35°≈0.700)
    题目
    测量城楼顶端到地面的高度



    测量目标
    示意图


    相关数据
    BM=1.6m,BC=13m,∠ABC=35°,∠ACE=45°

    北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(基础题)知识点分类
    参考答案与试题解析
    一.实数的运算(共2小题)
    1.(2020秋•昌平区期末)计算:tan60°+cos245°﹣sin30°.
    【答案】见试题解答内容
    【解答】解:tan60°+cos245°﹣sin30°
    =×+﹣
    =3+﹣
    =3.
    2.(2022秋•昌平区期末)计算:tan30°+2cos45°﹣sin260°.
    【答案】+.
    【解答】解:原式=×+2×﹣()2
    =1+﹣
    =+.
    二.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)
    3.(2021秋•昌平区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,2)是一次函数y=x﹣1的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象的交点.
    (1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式;
    (2)过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象,反比例函数图象的交点分别为M,N,当S△OPM>S△OPN时,直接写出n的取值范围.

    【答案】(1);
    (2)n<﹣2或n>3.
    【解答】解:(1)把A(a,2)代入y=x﹣1,
    得,a﹣1=2,解得a=3,
    ∴点A坐标为(3,2).
    把A(3,2)代入,
    得,2=,解得k=6.
    所以反比例函数表达式为.;

    (2)一次函数y=x﹣1的图象与的图象相交于点(3,2)和(﹣2,﹣3).
    观察函数图象可知:过点P(n,0)且垂直于x轴的直线与一次函数图象,反比例函数图象的交点分别为M,N,当S△OPM>S△OPN时,PM>PN,
    则n的取值范围是n<﹣2或n>3.

    三.二次函数图象与系数的关系(共2小题)
    4.(2020秋•昌平区期末)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.
    (1)①直接写出抛物线的对称轴是 直线x=1 ;
    ②用含a的代数式表示b;
    (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线与x轴交于P、Q两点,该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域(不包括边界)恰有七个整点,结合函数图象,求a的取值范围.
    【答案】(1)①直线x=1;②b=﹣2a.
    (2)10<a≤11 或﹣1≤a≤.
    【解答】解:(1)①∵A与B关于对称轴x=1对称,
    ∴抛物线对称轴为直线x=1,
    故答案为直线x=1;
    ②∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A,
    ∴A(0,c),
    点A向右平移2个单位长度,得到点B(2,c),
    ∵点B在抛物线上,
    ∴4a+2b+c=c,
    ∴b=﹣2a.
    (2)由题可知:A(0,3)B(2,3),
    ①若a>0时,如图1,在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域(不包括边界)内的七个整点为(1,﹣1),(1,﹣2),(1,﹣3),(1,﹣4),(1,﹣5),(1,﹣6),(1,﹣7),
    ∵x=1时,y=a+b+3=﹣a+3,
    ∴顶点为(1,﹣a+3),
    ∴﹣8≤﹣a+3<﹣7,
    ∴10<a≤11;
    ②若a<0时,如图2,在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域(不包括边界)内的七个整点为(0,1),(0,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(1,3),


    当x=﹣1时,y=3a+3,
    ∵恰有7个整数点
    ∴,
    ∴﹣1≤a≤,
    综上,a的取值范围是10<a≤11 或﹣1≤a≤.

    5.(2021秋•昌平区期末)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在二次函数y=x2+bx的图象上.
    (1)当m=﹣3时.
    ①求这个二次函数的顶点坐标;
    ②若点(﹣1,y1),(a,y2)在二次函数的图象上,且y2>y1,则a的取值范围是  a<﹣1或a>5 ;
    (2)当mn<0时,求b的取值范围.
    【答案】(1)(2,﹣4);
    (2)a<﹣1或a>5;
    (3)﹣3<b<﹣1.
    【解答】解:(1)当m=﹣3时.
    ①把点(1,﹣3)代入y=x2+bx,得b=﹣4,
    二次函数表达式为y=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4,
    所以顶点坐标为(2,﹣4);
    ②∵抛物线y=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4.
    ∴开口向上,对称轴为直线x=2,
    ∴点(﹣1,y1)关于直线x=2的对称点为(5,y1),
    ∵点(﹣1,y1),(a,y2)在二次函数的图象上,且y2>y1,
    ∴a<﹣1或a>5,
    故答案为:a<﹣1或a>5;
    (2)将点(1,m),(3,n)代入y=x2+bx,可得m=1+b,n=9+3b.
    当mn<0时,有两种情况:
    ①若把m=1+b,n=9+3b代入可得此时不等式组无解.
    ②若把m=1+b,n=9+3b代入可得解得﹣3<b<﹣1.
    所以﹣3<b<﹣1.
    四.圆周角定理(共1小题)
    6.(2022秋•昌平区期末)我们在课上证明圆周角定理时,需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明,下面给出了情形(1)的证明过程,请你在情形(2)和情形(3)中选择其一证明即可.
    圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
    已知:如图,在⊙O中,弧AB所对的圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB.
    求证:∠ACB=∠AOB.
    情形(1)
    证明:如图(1),当圆心O在∠ACB的边上时,
    ∵OC=OB,
    ∴∠C=∠B.
    ∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角,
    ∴∠AOB=∠C+∠B.
    ∴∠AOB=2∠C.
    即∠C=∠AOB.
    请你选择情形(2)或情形(3),并证明.

    【答案】证明过程见解答.
    【解答】证明:如图(2):连接CO并延长交⊙O于点D,

    ∵OA=OC,
    ∴∠A=∠ACO,
    ∵∠AOD=∠A+∠ACO,
    ∴∠AOD=2∠ACO,
    ∵OB=OC,
    ∴∠B=∠OCB,
    ∵∠BOD=∠B+∠OCB,
    ∴∠BOD=2∠OCB,
    ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD
    =2∠ACO+2∠OCB
    =2∠ACB;
    ∴∠ACB=∠AOB,
    如图(3):连接CO并延长交⊙O于点E,

    ∵OA=OC,
    ∴∠A=∠ACO,
    ∵∠AOE=∠A+∠ACO,
    ∴∠AOE=2∠ACO,
    ∵OB=OC,
    ∴∠B=∠OCB,
    ∵∠BOE=∠B+∠OCB,
    ∴∠BOE=2∠OCB,
    ∴∠AOB=∠BOE﹣AOE
    =2∠OCB﹣2∠ACO
    =2∠ACB;
    ∴∠ACB=∠AOB.
    五.切线的判定与性质(共1小题)
    7.(2020秋•昌平区期末)如图,AB为⊙O的直径,点C,D是⊙O上的点,AD平分∠BAC,过点D作AC的垂线,垂足为点E.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)延长AB交ED的延长线于点F,若⊙O半径的长为3,tan∠AFE=,求CE的长.

    【答案】见试题解答内容
    【解答】(1)证明:连接OD.

    ∵AD平分∠BAC,
    ∴∠OAD=∠DAE,
    ∵OA=OD,
    ∴∠OAD=∠ODA,
    ∴∠ODA=∠DAE,
    ∴OD∥AE,
    ∵AC⊥DE,
    ∴OD⊥DE,
    ∵OD是⊙O半径,
    ∴DE是⊙O的切线.
    (2)解:连接BC,交OD于点M.

    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵∠AED=∠ODE=90°,
    ∴∠ACB=∠AED=∠ODE=90°,
    ∴四边形CEDM是矩形,
    ∴CE=MD,CM∥DE,
    ∴∠F=∠ABC,
    在Rt△OBM中,OB=3,tan∠ABC=,
    设OM=3x,BM=4x,
    ∴(3x)2+(4x)2=32,
    解得x=,负值舍去,
    ∴OM=
    ∴CE=MD=3﹣=.
    六.相似三角形的判定与性质(共2小题)
    8.(2021秋•昌平区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,点D在AC上且AD=3,DE⊥AB于点E,求AE的长.

    【答案】.
    【解答】解:∵DE⊥AB于点E,∠C=90°,
    ∴∠AED=∠C=90°,
    ∵∠A=∠A,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴,
    ∵AB=5,AD=3,AC=4,
    ∴,
    ∴AE=.
    9.(2022秋•昌平区期末)如图,矩形ABCD中,点P在边AD.上,PD=2AP,连接CP并延长,交BA的延长线于点E,连接BD交CP于点Q.
    (1)写出图中两对相似的三角形(相似比不为1) △EAP∽△EBC,△EBQ∽△CDQ ;
    (2)求的值.

    【答案】(1)△EAP∽△EBC,△EBQ∽△CDQ;
    (2)=.
    【解答】解:(1)∵四边形ABCD为矩形,
    ∴AB∥CD,AD∥BC,
    ∴△EAP∽△EBC,△EBQ∽△CDQ;
    故答案为:△EAP∽△EBC,△EBQ∽△CDQ(答案不唯一);
    (2)∵△EAP∽△EBC,
    ∴=,
    ∵PD=2AP,AD=BC,
    ∴==,
    ∵AB=CD,
    ∴==,
    ∴=.
    七.特殊角的三角函数值(共1小题)
    10.(2021秋•昌平区期末)计算:2sin60°+tan45°﹣cos30°tan60°.
    【答案】.
    【解答】解:2sin60°+tan45°﹣cos30°tan60°

    =+1﹣
    =.
    八.解直角三角形(共1小题)
    11.(2021秋•昌平区期末)如图,在△ABC中,∠B=30°,AB=4,AD⊥BC于点D且tan∠CAD=,求BC的长.

    【答案】2+1.
    【解答】解:∵AD⊥BC于点D,
    ∴△ABD,△ADC为直角三角形.
    ∵Rt△ADB中,∠B=30°,AB=4,
    ∴AD=2,BD=.
    ∵Rt△ADC中,tan∠CAD=,AD=2,
    ∴tan∠CAD=.
    ∴CD=1.
    ∴BC=+1.
    九.解直角三角形的应用(共1小题)
    12.(2021秋•昌平区期末)居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内,是京北长城沿线上的著名古关城,有“天下第一雄关”的美誉.某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具,测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度,下表是小强填写的实践活动报告的部分内容:请你帮他计算出城楼的高度AD.(结果精确到0.1m,sin35°≈0.574,cos35°≈0.819,tan35°≈0.700)
    题目
    测量城楼顶端到地面的高度



    测量目标
    示意图


    相关数据
    BM=1.6m,BC=13m,∠ABC=35°,∠ACE=45°
    【答案】31.9.
    【解答】解:根据题意,得BM=ED=1.6m,∠AEC=90°,
    设AE为x m,在Rt△ACE中,
    ∵∠ACE=45°,
    ∴∠CAE=45°,
    ∴AE=CE,
    在Rt△ABE中,
    ∵tan∠ABE=,
    又∵∠ABE=35°,
    ∴tan35°=,
    解得x≈30.3,
    ∴AD=AE+ED≈30.3+1.6≈31.9(m),
    答:城楼顶端距地面约为31.9m.

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