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北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
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这是一份北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共16页。试卷主要包含了计算，0+等内容，欢迎下载使用。
北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022秋•石景山区期末）计算：．
2．（2021秋•石景山区期末）计算：tan60°﹣4cos45°﹣（π﹣1）0+．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k≠0），y＝﹣的图象于点M，N．
①当m＝﹣2时，求MN的长；
②若MN≥5，直接写出m的取值范围．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2020秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（4，t）．
（1）求t，k的值；
（2）点B是函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上任意一点（不与点A重合），点P，Q在直线l上，点P横坐标为2．若S△ABQ≥，求点Q横坐标的取值范围．
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
5．（2020秋•石景山区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+2．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点M（t﹣3，m），N（t+5，n）在抛物线上，则m n；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的任意两个点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．
6．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上两点．
（1）将y＝x2﹣2mx+m2﹣4写成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若m＝0，比较y1，y2的大小，并说明理由；
（3）若y1＜y2，直接写出m的取值范围．
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
7．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
⋯
﹣1
0
1
2
⋯
y
⋯
﹣3
0
1
0
⋯
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）求它的顶点坐标；
（2）求它与x轴的交点坐标．
七．二次函数的应用（共1小题）
9．（2022秋•石景山区期末）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小石进行了两次训练．
（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
竖直高度 y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
0
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55．记小石第一次训练的成绩为d1，第二次训练的成绩为d2，则d1 d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
八．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2022秋•石景山区期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．
九．旋转的性质（共1小题）
11．（2022秋•石景山区期末）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
一十．特殊角的三角函数值（共1小题）
12．（2020秋•石景山区期末）计算：sin60°•tan30°+．
一十一．解直角三角形（共1小题）
13．（2022秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，BC＝10，求AC的长．
北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022秋•石景山区期末）计算：．
【答案】﹣2．
【解答】解：
＝2×﹣2﹣1+﹣1
＝﹣2﹣1+﹣1
＝﹣2．
2．（2021秋•石景山区期末）计算：tan60°﹣4cos45°﹣（π﹣1）0+．
【答案】2．
【解答】解：tan60°﹣4cos45°﹣（π﹣1）0+
＝﹣4×﹣1+
＝3﹣﹣1+
＝2．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k≠0），y＝﹣的图象于点M，N．
①当m＝﹣2时，求MN的长；
②若MN≥5，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）k＝6；
（2）①MN＝5；②﹣2≤m＜0或0＜m≤2．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6；
（2）①当m＝﹣2时，则P（﹣2，0），
把x＝﹣2代入y＝得，y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3），
把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝2，
∴N（﹣2，2），
∴MN＝2﹣（﹣3）＝5；
②若MN≥5，m的取值范围是﹣2≤m＜0或0＜m≤2．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2020秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（4，t）．
（1）求t，k的值；
（2）点B是函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上任意一点（不与点A重合），点P，Q在直线l上，点P横坐标为2．若S△ABQ≥，求点Q横坐标的取值范围．
【答案】（1）t＝1，k＝4；
（2）xQ≤3或xQ≥5．
【解答】解：（1）∵点A（4，t）在直线l：y＝x﹣3上，
∴t＝4﹣3＝1．
∵函数，x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴k＝4×1＝4；
（2）设点B到直线AP的距离为h．
∴S△ABQ＝AQ•h，S△ABP＝AP•h，
∵，
∴．
∵A（4，1），点P横坐标为2，
如图1，当点Q在射线AP上时，xQ≤3；
如图2，当点Q在线段PA延长线上时，xQ≥5．
综上所述：点Q横坐标的取值范围是：xQ≤3或xQ≥5．
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
5．（2020秋•石景山区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+2．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点M（t﹣3，m），N（t+5，n）在抛物线上，则m ＜ n；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的任意两个点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．
【答案】（1）直线x＝t；
（2）＜；
（3）t≤1．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+2＝（x﹣t）2﹣t2+2．
∴抛物线的对称轴为直线x＝t；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝t，
∴点M（t﹣3，m）关于直线x＝t的对称点为（t+3，m），
∵t＜t+3＜t+5，
∴m＜n，
故答案为＜；
（3）当t≤1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，符合题意；
当t＞1时，令x1＝﹣1时，y1＞y2，不符合题意．
综上所述：t≤1．
6．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上两点．
（1）将y＝x2﹣2mx+m2﹣4写成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若m＝0，比较y1，y2的大小，并说明理由；
（3）若y1＜y2，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y＝（x﹣m）2﹣4；
（2）y1＜y2；
（3）m＜2或m＞4．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4；
（2）y1＜y2，理由如下：
若m＝0，则对称轴是y轴，
∵A（﹣1，y1），B（3，y2），
∴B到y轴的距离大于A到y轴的距离，
∵a＞0，
∴y1＜y2；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∴若y1＜y2，则|m﹣1﹣m|＜|3﹣m|，
解得m＜2或m＞4．
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
7．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
⋯
﹣1
0
1
2
⋯
y
⋯
﹣3
0
1
0
⋯
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x；（2）图象见解析；（3）x＞3或x＜﹣1．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，1），
设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，
把点（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+1，得a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，抛物线顶点为（1，1），对称轴为直线x＝1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过（2，0）
抛物线的图象如图所示：
（3）当y＝﹣3时，﹣x2+2x＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
结合函数图象，当y＜﹣3时，x＞3或x＜﹣1．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）求它的顶点坐标；
（2）求它与x轴的交点坐标．
【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）（1，0），（3，0）．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）把y＝0代入y＝x2﹣4x+3得，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
七．二次函数的应用（共1小题）
9．（2022秋•石景山区期末）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小石进行了两次训练．
（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
竖直高度 y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
0
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55．记小石第一次训练的成绩为d1，第二次训练的成绩为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】（1）y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，小石此次训练的成绩为8m；
（2）＜．
【解答】解：（1）把（0，1.6），（1，2.1），（8，0）代入y＝a（x﹣h）2+k得：
，
解得，
∴y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，
由表格可知，当y＝0时，x＝8，
∴小石此次训练的成绩为8m；
（2）在y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55中，令y＝0得：
﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55＝0，
解得x＝3.1+≈8.42或x＝3.1﹣（小于0，舍去），
∴d1＝8，d2≈8.42，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
八．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2022秋•石景山区期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形CABD为⊙O的内接四边形，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，
∵∠ACD+∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∴cos∠ABD＝＝，
∵AB＝15，
∴BD＝3，
∵＝，
∴CD＝BD＝3．
九．旋转的性质（共1小题）
11．（2022秋•石景山区期末）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
【答案】（1）45°；
（2）补全图形见解答过程，DE＝CF，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，
∴∠EAB＝α，AB＝AE，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°+α，
∴∠AED＝＝45°﹣α，
∵AE＝AB，∠EAB＝α，
∴∠AEB＝＝90°﹣α，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；
（2）补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DE＝CF，
证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G，
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD＝90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G＝90°，
∴∠BFC＝∠G，
∵∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCG（AAS），
∴BF＝DG，CF＝CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG＝CF，
由（2）知，∠DEB＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
∴EF＝DG，
∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，
∴DE＝CF．
一十．特殊角的三角函数值（共1小题）
12．（2020秋•石景山区期末）计算：sin60°•tan30°+．
【答案】1．
【解答】解：原式＝
＝+
＝1．
一十一．解直角三角形（共1小题）
13．（2022秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，BC＝10，求AC的长．
【答案】AC的长为4．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，tanB＝＝，
∴设AD＝x，则BD＝4x，
在Rt△ADC中，∠C＝60°，
∴CD＝＝＝x，
∵BC＝10，
∴BD+CD＝10，
∴4x+x＝10，
解得：x＝2，
∴CD＝2，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝4，
∴AC的长为4．
北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022秋•石景山区期末）计算：．
2．（2021秋•石景山区期末）计算：tan60°﹣4cos45°﹣（π﹣1）0+．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k≠0），y＝﹣的图象于点M，N．
①当m＝﹣2时，求MN的长；
②若MN≥5，直接写出m的取值范围．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2020秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（4，t）．
（1）求t，k的值；
（2）点B是函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上任意一点（不与点A重合），点P，Q在直线l上，点P横坐标为2．若S△ABQ≥，求点Q横坐标的取值范围．
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
5．（2020秋•石景山区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+2．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点M（t﹣3，m），N（t+5，n）在抛物线上，则m n；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的任意两个点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．
6．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上两点．
（1）将y＝x2﹣2mx+m2﹣4写成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若m＝0，比较y1，y2的大小，并说明理由；
（3）若y1＜y2，直接写出m的取值范围．
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
7．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
⋯
﹣1
0
1
2
⋯
y
⋯
﹣3
0
1
0
⋯
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）求它的顶点坐标；
（2）求它与x轴的交点坐标．
七．二次函数的应用（共1小题）
9．（2022秋•石景山区期末）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小石进行了两次训练．
（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
竖直高度 y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
0
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55．记小石第一次训练的成绩为d1，第二次训练的成绩为d2，则d1 d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
八．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2022秋•石景山区期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．
九．旋转的性质（共1小题）
11．（2022秋•石景山区期末）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
一十．特殊角的三角函数值（共1小题）
12．（2020秋•石景山区期末）计算：sin60°•tan30°+．
一十一．解直角三角形（共1小题）
13．（2022秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，BC＝10，求AC的长．
北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022秋•石景山区期末）计算：．
【答案】﹣2．
【解答】解：
＝2×﹣2﹣1+﹣1
＝﹣2﹣1+﹣1
＝﹣2．
2．（2021秋•石景山区期末）计算：tan60°﹣4cos45°﹣（π﹣1）0+．
【答案】2．
【解答】解：tan60°﹣4cos45°﹣（π﹣1）0+
＝﹣4×﹣1+
＝3﹣﹣1+
＝2．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3）．
（1）求k的值；
（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k≠0），y＝﹣的图象于点M，N．
①当m＝﹣2时，求MN的长；
②若MN≥5，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）k＝6；
（2）①MN＝5；②﹣2≤m＜0或0＜m≤2．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6；
（2）①当m＝﹣2时，则P（﹣2，0），
把x＝﹣2代入y＝得，y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3），
把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝2，
∴N（﹣2，2），
∴MN＝2﹣（﹣3）＝5；
②若MN≥5，m的取值范围是﹣2≤m＜0或0＜m≤2．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2020秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（4，t）．
（1）求t，k的值；
（2）点B是函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上任意一点（不与点A重合），点P，Q在直线l上，点P横坐标为2．若S△ABQ≥，求点Q横坐标的取值范围．
【答案】（1）t＝1，k＝4；
（2）xQ≤3或xQ≥5．
【解答】解：（1）∵点A（4，t）在直线l：y＝x﹣3上，
∴t＝4﹣3＝1．
∵函数，x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴k＝4×1＝4；
（2）设点B到直线AP的距离为h．
∴S△ABQ＝AQ•h，S△ABP＝AP•h，
∵，
∴．
∵A（4，1），点P横坐标为2，
如图1，当点Q在射线AP上时，xQ≤3；
如图2，当点Q在线段PA延长线上时，xQ≥5．
综上所述：点Q横坐标的取值范围是：xQ≤3或xQ≥5．
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
5．（2020秋•石景山区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+2．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点M（t﹣3，m），N（t+5，n）在抛物线上，则m ＜ n；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的任意两个点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．
【答案】（1）直线x＝t；
（2）＜；
（3）t≤1．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+2＝（x﹣t）2﹣t2+2．
∴抛物线的对称轴为直线x＝t；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝t，
∴点M（t﹣3，m）关于直线x＝t的对称点为（t+3，m），
∵t＜t+3＜t+5，
∴m＜n，
故答案为＜；
（3）当t≤1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，符合题意；
当t＞1时，令x1＝﹣1时，y1＞y2，不符合题意．
综上所述：t≤1．
6．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上两点．
（1）将y＝x2﹣2mx+m2﹣4写成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若m＝0，比较y1，y2的大小，并说明理由；
（3）若y1＜y2，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y＝（x﹣m）2﹣4；
（2）y1＜y2；
（3）m＜2或m＞4．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4；
（2）y1＜y2，理由如下：
若m＝0，则对称轴是y轴，
∵A（﹣1，y1），B（3，y2），
∴B到y轴的距离大于A到y轴的距离，
∵a＞0，
∴y1＜y2；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∴若y1＜y2，则|m﹣1﹣m|＜|3﹣m|，
解得m＜2或m＞4．
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
7．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
⋯
﹣1
0
1
2
⋯
y
⋯
﹣3
0
1
0
⋯
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x；（2）图象见解析；（3）x＞3或x＜﹣1．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，1），
设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，
把点（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+1，得a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，抛物线顶点为（1，1），对称轴为直线x＝1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过（2，0）
抛物线的图象如图所示：
（3）当y＝﹣3时，﹣x2+2x＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
结合函数图象，当y＜﹣3时，x＞3或x＜﹣1．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）求它的顶点坐标；
（2）求它与x轴的交点坐标．
【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）（1，0），（3，0）．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）把y＝0代入y＝x2﹣4x+3得，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
七．二次函数的应用（共1小题）
9．（2022秋•石景山区期末）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小石进行了两次训练．
（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
竖直高度 y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
0
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55．记小石第一次训练的成绩为d1，第二次训练的成绩为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】（1）y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，小石此次训练的成绩为8m；
（2）＜．
【解答】解：（1）把（0，1.6），（1，2.1），（8，0）代入y＝a（x﹣h）2+k得：
，
解得，
∴y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，
由表格可知，当y＝0时，x＝8，
∴小石此次训练的成绩为8m；
（2）在y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55中，令y＝0得：
﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55＝0，
解得x＝3.1+≈8.42或x＝3.1﹣（小于0，舍去），
∴d1＝8，d2≈8.42，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
八．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2022秋•石景山区期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形CABD为⊙O的内接四边形，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，
∵∠ACD+∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∴cos∠ABD＝＝，
∵AB＝15，
∴BD＝3，
∵＝，
∴CD＝BD＝3．
九．旋转的性质（共1小题）
11．（2022秋•石景山区期末）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
【答案】（1）45°；
（2）补全图形见解答过程，DE＝CF，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，
∴∠EAB＝α，AB＝AE，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°+α，
∴∠AED＝＝45°﹣α，
∵AE＝AB，∠EAB＝α，
∴∠AEB＝＝90°﹣α，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；
（2）补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DE＝CF，
证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G，
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD＝90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G＝90°，
∴∠BFC＝∠G，
∵∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCG（AAS），
∴BF＝DG，CF＝CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG＝CF，
由（2）知，∠DEB＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
∴EF＝DG，
∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，
∴DE＝CF．
一十．特殊角的三角函数值（共1小题）
12．（2020秋•石景山区期末）计算：sin60°•tan30°+．
【答案】1．
【解答】解：原式＝
＝+
＝1．
一十一．解直角三角形（共1小题）
13．（2022秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，BC＝10，求AC的长．
【答案】AC的长为4．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，tanB＝＝，
∴设AD＝x，则BD＝4x，
在Rt△ADC中，∠C＝60°，
∴CD＝＝＝x，
∵BC＝10，
∴BD+CD＝10，
∴4x+x＝10，
解得：x＝2，
∴CD＝2，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝4，
∴AC的长为4．
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