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北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
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这是一份北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共24页。试卷主要包含了2+|1﹣|，解方程，已知二次函数y＝x2﹣4x+3等内容，欢迎下载使用。
北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．二次根式的混合运算（共1小题）
1．（2021秋•丰台区期末）计算：（+1）+（）2+|1﹣|．
二．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
2．（2021秋•丰台区期末）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
3．（2022秋•丰台区期末）解方程：x2﹣6x+8＝0．
三．根的判别式（共1小题）
4．（2022秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
四．根与系数的关系（共1小题）
5．（2021秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若k＞0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
五．一元二次方程的应用（共2小题）
6．（2021秋•丰台区期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
7．（2022秋•丰台区期末）某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．
六．一次函数综合题（共1小题）
8．（2020秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ＝kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．
已知点A（﹣2，2），B（2，2）．
（1）在点C（1，0），D（0，﹣2），E（1，1）中，线段AB的2倍等距点是 ；
（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线y＝﹣x+b与x轴，y轴的交点分别为点F，G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2020秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，2）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．
八．二次函数的性质（共1小题）
10．（2020秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
九．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
11．（2022秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝x2+bx上．
（1）当m＝0时，
①求抛物线的对称轴；
②若点（﹣1，y1），（t，y2）在抛物线上，且y2＞y1，直接写出t的取值范围；
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
一十．圆周角定理（共1小题）
12．（2022秋•丰台区期末）在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：⊙O中，所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC．
求证：∠BAC＝∠BOC．
证明：
情况一（如图1）：
点O在∠BAC的一边上．
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C．
∵∠BOC＝∠A+∠C，
∴∠BOC＝2∠A．
即∠BAC＝∠BOC．
情况二（如图2）：
点O在∠BAC的内部．
情况三（如图3）：
点O在∠BAC的外部．
一十一．切线的性质（共1小题）
13．（2021秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
（1）求证：∠BAC＝∠OPC；
（2）延长PO交⊙O于点E，连接BE，CE．若∠BEC＝30°，PA＝8，求AB的长．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
14．（2020秋•丰台区期末）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
一十三．作图—复杂作图（共1小题）
15．（2022秋•丰台区期末）下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP，分别以点O、点P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线MN交OP于点T；
②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交⊙O于点A、点B；
③作直线PA，PB．
所以直线PA，PB就是所求作的⊙O的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA．
∵OP是⊙T的直径，
∴∠OAP＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
同理可证，直线PB也是⊙O的切线．
一十四．作图-位似变换（共1小题）
16．（2020秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到△A2OB2，画出一个满足条件的△A2OB2．
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
17．（2022秋•丰台区期末）在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A，B之间电流能够通过的概率．
北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次根式的混合运算（共1小题）
1．（2021秋•丰台区期末）计算：（+1）+（）2+|1﹣|．
【答案】2．
【解答】解：原式＝（2+1）++﹣1
＝+++﹣1
＝2．
二．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
2．（2021秋•丰台区期末）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
3．（2022秋•丰台区期末）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
三．根的判别式（共1小题）
4．（2022秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解答；（2）m＜1．
【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x＝，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1，
∵方程只有一个根是正数，
∴﹣m+1＞0，
∴m＜1．
四．根与系数的关系（共1小题）
5．（2021秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若k＞0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
【答案】（1）证明见解答；（2）1．
【解答】（1）证明：Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×2k2＝9k2﹣8k2＝k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3k，x1x2＝2k2，
∵（x1﹣x2）2＝1，
∴x12+x22﹣2x1x2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，即（3k）2﹣4×2k2＝1，
∴k2＝1，
解得：k1＝1，k2＝﹣1，
∵k＞0，
∴k的值为1．
五．一元二次方程的应用（共2小题）
6．（2021秋•丰台区期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
【答案】预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．
【解答】解：设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为（12﹣2x）米，长为（12﹣2x）米，
依题意得：2×（12﹣2x）×（12﹣2x）＝×27×12，
整理得：（12﹣2x）2＝81
解得：x1＝，x2＝．
当x＝时，12﹣2x＝12﹣2×＝9＞0，符合题意；
当x＝时，12﹣2x＝12﹣2×＝﹣9＜0，不符合题意，舍去．
∴x＝，
∴左、中、右通道的宽度为[27﹣2×（12﹣2x）]÷3＝[27﹣2××（12﹣2×）]÷3＝1．
答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．
7．（2022秋•丰台区期末）某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．
【答案】20%．
【解答】解：设该科技园总收入的月平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该科技园总收入的月平均增长率为20%．
六．一次函数综合题（共1小题）
8．（2020秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ＝kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．
已知点A（﹣2，2），B（2，2）．
（1）在点C（1，0），D（0，﹣2），E（1，1）中，线段AB的2倍等距点是 C，E ；
（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线y＝﹣x+b与x轴，y轴的交点分别为点F，G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）C，E．
（2）如图2所示，所求的面积为π．
（3）﹣2≤b≤﹣1或1≤b≤2．
【解答】解：（1）由题意可知，点Q与点A重合时OQ最大为，当点Q在y轴上是最小为2，即2≤OQ≤2，
∴由2≤OP≤2，得1≤OP≤2，如图1．
点C（1，0），D（0，﹣2），E（1，1）中只有C、E符合要求，故选C、E．
（2）如图2，线段AB的所有2倍等距点构成的图形为以点O为圆心，分别以1和为半径的同心圆形成的环形．
S＝π×（）2﹣π×12＝π．
（3）直线y＝﹣x+b由直线y＝﹣x平移得到，与坐标轴成45°角．
如图3，当b＜0时，直线过点（﹣1，﹣1）时，b的值最小，由﹣1＝﹣（﹣1）+b得，b＝﹣2；当直线过
点（0，﹣1）时，b＝﹣1，∴﹣2≤b≤﹣1．
当b＞0时，直线过 点（0，1）时，b＝1；直线过点（1，1）时，b的值最大，由1＝﹣1+b得，b＝2．
综上所述，﹣2≤b≤﹣1或1≤b≤2．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2020秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，2）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．
【答案】（1）k＝2；
（2）1≤x≤4．
【解答】解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A（4，0），C（0，2），
∴点D的坐标为（2，1）．
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
解得：k＝2．
（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4．
∵点M在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为（1，2），
∴1≤x≤4．
八．二次函数的性质（共1小题）
10．（2020秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）见解答；
（3）﹣1≤y＜3．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数图象顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图：
；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．
九．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
11．（2022秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝x2+bx上．
（1）当m＝0时，
①求抛物线的对称轴；
②若点（﹣1，y1），（t，y2）在抛物线上，且y2＞y1，直接写出t的取值范围；
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
【答案】（1）①抛物线的对称轴为直线：x＝；
②t＜﹣1或t＞2；
（2）b的取值范围是：﹣3＜b＜﹣1．
【解答】解：（1）①∵m＝0，
∴把（1，0）代入y＝x2+bx，得b＝﹣1，
∴y＝x2﹣x，
∴抛物线的对称轴为直线：x＝﹣＝；
②∵（﹣1，y1）在y＝x2﹣x上，
∴y1＝2，
∴（﹣1，2），
∴它的对称点为（2，2），
∵y2＞y1，
∴t＜﹣1或t＞2；
（2）把点（1，m）和点（3，n）代入y＝x2+bx，得
m＝1+b，n＝9+3b，
当mn＜0，有两种情况，
①，得，
解不等式①，得b＞﹣1，
解不等式②，得b＜﹣3，
∴此不等式组无解；
②，则，
解不等式①，得b＜﹣1，
解不等式②，得b＞﹣3，
∴此不等式组的解集为﹣3＜b＜﹣1，
综上所述b的取值范围是：﹣3＜b＜﹣1．
一十．圆周角定理（共1小题）
12．（2022秋•丰台区期末）在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：⊙O中，所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC．
求证：∠BAC＝∠BOC．
证明：
情况一（如图1）：
点O在∠BAC的一边上．
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C．
∵∠BOC＝∠A+∠C，
∴∠BOC＝2∠A．
即∠BAC＝∠BOC．
情况二（如图2）：
点O在∠BAC的内部．
情况三（如图3）：
点O在∠BAC的外部．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：情况二：当点O在∠BAC的内部，
如图2：连接AO并延长交⊙O于点D，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∵∠COD＝∠C+∠CAO，
∴∠COD＝2∠CAO，
同理可得：∠BOD＝2∠BAO，
∴∠COB＝∠COD+∠BOD
＝2∠CAO+2∠BAO
＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠COB；
情况三：当点O在∠BAC的外部，
如图3：连接AO并延长交⊙O于点E，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∵∠COE＝∠C+∠CAO，
∴∠COE＝2∠CAO，
同理可得：∠BOE＝2∠BAO，
∴∠COB＝∠COE﹣∠BOE
＝2∠CAO﹣2∠BAO
＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠COB．
一十一．切线的性质（共1小题）
13．（2021秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
（1）求证：∠BAC＝∠OPC；
（2）延长PO交⊙O于点E，连接BE，CE．若∠BEC＝30°，PA＝8，求AB的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵PA，PC是⊙O的切线，
∴∠OPC＝∠APO，PA＝PC，OA⊥PA，
∴PD⊥AC，∠BAC+∠DAP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠BAC＝∠DPA，
∴∠BAC＝∠OPC；
（2）解：如图，
∵∠BEC＝30°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAP＝90°﹣∠BAC＝60°，
∵PA＝8，∠ADP＝90°，
∴AD＝AP＝4，
在Rt△AOD中，cos∠OAD＝＝，
∴，
∴AO＝，
∴AB＝．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
14．（2020秋•丰台区期末）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD．
在△AOD和△AOC中，
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACO．
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵CE＝6，
∴OE＝OD＝OC＝3．
在Rt△ODB中，BD＝4，OD＝3，
∴BD2+OD2＝BO2，
∴BO＝5，
∴BC＝BO+OC＝8．
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD＝AC．
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即：AC2+82＝（AC+4）2，
解得：AC＝6．
一十三．作图—复杂作图（共1小题）
15．（2022秋•丰台区期末）下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP，分别以点O、点P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线MN交OP于点T；
②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交⊙O于点A、点B；
③作直线PA，PB．
所以直线PA，PB就是所求作的⊙O的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA．
∵OP是⊙T的直径，
∴∠OAP＝ 90 °（ 直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA是⊙O的切线（ 过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线 ）（填推理的依据）．
同理可证，直线PB也是⊙O的切线．
【答案】（1）见解答；
（2）90，直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．
【解答】（1）解：如图，PA、PB为所作；
（2）证明：连接OA，
∵OP是⊙T的直径，
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角为直角），
∴OA⊥AP．
又∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA是⊙O的切线（过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线），
同理可证，直线PB也是⊙O的切线．
故答案为：90，直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．
一十四．作图-位似变换（共1小题）
16．（2020秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到△A2OB2，画出一个满足条件的△A2OB2．
【答案】见解答．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；
（2）如图，△A2OB2为所作．
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
17．（2022秋•丰台区期末）在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A，B之间电流能够通过的概率．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，
∴A、B之间电流能够正常通过的概率为．
北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．二次根式的混合运算（共1小题）
1．（2021秋•丰台区期末）计算：（+1）+（）2+|1﹣|．
二．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
2．（2021秋•丰台区期末）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
3．（2022秋•丰台区期末）解方程：x2﹣6x+8＝0．
三．根的判别式（共1小题）
4．（2022秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
四．根与系数的关系（共1小题）
5．（2021秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若k＞0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
五．一元二次方程的应用（共2小题）
6．（2021秋•丰台区期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
7．（2022秋•丰台区期末）某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．
六．一次函数综合题（共1小题）
8．（2020秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ＝kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．
已知点A（﹣2，2），B（2，2）．
（1）在点C（1，0），D（0，﹣2），E（1，1）中，线段AB的2倍等距点是 ；
（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线y＝﹣x+b与x轴，y轴的交点分别为点F，G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2020秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，2）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．
八．二次函数的性质（共1小题）
10．（2020秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
九．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
11．（2022秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝x2+bx上．
（1）当m＝0时，
①求抛物线的对称轴；
②若点（﹣1，y1），（t，y2）在抛物线上，且y2＞y1，直接写出t的取值范围；
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
一十．圆周角定理（共1小题）
12．（2022秋•丰台区期末）在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：⊙O中，所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC．
求证：∠BAC＝∠BOC．
证明：
情况一（如图1）：
点O在∠BAC的一边上．
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C．
∵∠BOC＝∠A+∠C，
∴∠BOC＝2∠A．
即∠BAC＝∠BOC．
情况二（如图2）：
点O在∠BAC的内部．
情况三（如图3）：
点O在∠BAC的外部．
一十一．切线的性质（共1小题）
13．（2021秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
（1）求证：∠BAC＝∠OPC；
（2）延长PO交⊙O于点E，连接BE，CE．若∠BEC＝30°，PA＝8，求AB的长．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
14．（2020秋•丰台区期末）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
一十三．作图—复杂作图（共1小题）
15．（2022秋•丰台区期末）下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP，分别以点O、点P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线MN交OP于点T；
②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交⊙O于点A、点B；
③作直线PA，PB．
所以直线PA，PB就是所求作的⊙O的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA．
∵OP是⊙T的直径，
∴∠OAP＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
同理可证，直线PB也是⊙O的切线．
一十四．作图-位似变换（共1小题）
16．（2020秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到△A2OB2，画出一个满足条件的△A2OB2．
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
17．（2022秋•丰台区期末）在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A，B之间电流能够通过的概率．
北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次根式的混合运算（共1小题）
1．（2021秋•丰台区期末）计算：（+1）+（）2+|1﹣|．
【答案】2．
【解答】解：原式＝（2+1）++﹣1
＝+++﹣1
＝2．
二．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
2．（2021秋•丰台区期末）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
3．（2022秋•丰台区期末）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
三．根的判别式（共1小题）
4．（2022秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解答；（2）m＜1．
【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x＝，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1，
∵方程只有一个根是正数，
∴﹣m+1＞0，
∴m＜1．
四．根与系数的关系（共1小题）
5．（2021秋•丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若k＞0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
【答案】（1）证明见解答；（2）1．
【解答】（1）证明：Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×2k2＝9k2﹣8k2＝k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3k，x1x2＝2k2，
∵（x1﹣x2）2＝1，
∴x12+x22﹣2x1x2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，即（3k）2﹣4×2k2＝1，
∴k2＝1，
解得：k1＝1，k2＝﹣1，
∵k＞0，
∴k的值为1．
五．一元二次方程的应用（共2小题）
6．（2021秋•丰台区期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
【答案】预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．
【解答】解：设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为（12﹣2x）米，长为（12﹣2x）米，
依题意得：2×（12﹣2x）×（12﹣2x）＝×27×12，
整理得：（12﹣2x）2＝81
解得：x1＝，x2＝．
当x＝时，12﹣2x＝12﹣2×＝9＞0，符合题意；
当x＝时，12﹣2x＝12﹣2×＝﹣9＜0，不符合题意，舍去．
∴x＝，
∴左、中、右通道的宽度为[27﹣2×（12﹣2x）]÷3＝[27﹣2××（12﹣2×）]÷3＝1．
答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．
7．（2022秋•丰台区期末）某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．
【答案】20%．
【解答】解：设该科技园总收入的月平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该科技园总收入的月平均增长率为20%．
六．一次函数综合题（共1小题）
8．（2020秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ＝kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．
已知点A（﹣2，2），B（2，2）．
（1）在点C（1，0），D（0，﹣2），E（1，1）中，线段AB的2倍等距点是 C，E ；
（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线y＝﹣x+b与x轴，y轴的交点分别为点F，G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）C，E．
（2）如图2所示，所求的面积为π．
（3）﹣2≤b≤﹣1或1≤b≤2．
【解答】解：（1）由题意可知，点Q与点A重合时OQ最大为，当点Q在y轴上是最小为2，即2≤OQ≤2，
∴由2≤OP≤2，得1≤OP≤2，如图1．
点C（1，0），D（0，﹣2），E（1，1）中只有C、E符合要求，故选C、E．
（2）如图2，线段AB的所有2倍等距点构成的图形为以点O为圆心，分别以1和为半径的同心圆形成的环形．
S＝π×（）2﹣π×12＝π．
（3）直线y＝﹣x+b由直线y＝﹣x平移得到，与坐标轴成45°角．
如图3，当b＜0时，直线过点（﹣1，﹣1）时，b的值最小，由﹣1＝﹣（﹣1）+b得，b＝﹣2；当直线过
点（0，﹣1）时，b＝﹣1，∴﹣2≤b≤﹣1．
当b＞0时，直线过 点（0，1）时，b＝1；直线过点（1，1）时，b的值最大，由1＝﹣1+b得，b＝2．
综上所述，﹣2≤b≤﹣1或1≤b≤2．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2020秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，2）．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．
【答案】（1）k＝2；
（2）1≤x≤4．
【解答】解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A（4，0），C（0，2），
∴点D的坐标为（2，1）．
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
解得：k＝2．
（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4．
∵点M在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为（1，2），
∴1≤x≤4．
八．二次函数的性质（共1小题）
10．（2020秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）见解答；
（3）﹣1≤y＜3．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数图象顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图：
；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．
九．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
11．（2022秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝x2+bx上．
（1）当m＝0时，
①求抛物线的对称轴；
②若点（﹣1，y1），（t，y2）在抛物线上，且y2＞y1，直接写出t的取值范围；
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
【答案】（1）①抛物线的对称轴为直线：x＝；
②t＜﹣1或t＞2；
（2）b的取值范围是：﹣3＜b＜﹣1．
【解答】解：（1）①∵m＝0，
∴把（1，0）代入y＝x2+bx，得b＝﹣1，
∴y＝x2﹣x，
∴抛物线的对称轴为直线：x＝﹣＝；
②∵（﹣1，y1）在y＝x2﹣x上，
∴y1＝2，
∴（﹣1，2），
∴它的对称点为（2，2），
∵y2＞y1，
∴t＜﹣1或t＞2；
（2）把点（1，m）和点（3，n）代入y＝x2+bx，得
m＝1+b，n＝9+3b，
当mn＜0，有两种情况，
①，得，
解不等式①，得b＞﹣1，
解不等式②，得b＜﹣3，
∴此不等式组无解；
②，则，
解不等式①，得b＜﹣1，
解不等式②，得b＞﹣3，
∴此不等式组的解集为﹣3＜b＜﹣1，
综上所述b的取值范围是：﹣3＜b＜﹣1．
一十．圆周角定理（共1小题）
12．（2022秋•丰台区期末）在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：⊙O中，所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC．
求证：∠BAC＝∠BOC．
证明：
情况一（如图1）：
点O在∠BAC的一边上．
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C．
∵∠BOC＝∠A+∠C，
∴∠BOC＝2∠A．
即∠BAC＝∠BOC．
情况二（如图2）：
点O在∠BAC的内部．
情况三（如图3）：
点O在∠BAC的外部．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：情况二：当点O在∠BAC的内部，
如图2：连接AO并延长交⊙O于点D，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∵∠COD＝∠C+∠CAO，
∴∠COD＝2∠CAO，
同理可得：∠BOD＝2∠BAO，
∴∠COB＝∠COD+∠BOD
＝2∠CAO+2∠BAO
＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠COB；
情况三：当点O在∠BAC的外部，
如图3：连接AO并延长交⊙O于点E，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∵∠COE＝∠C+∠CAO，
∴∠COE＝2∠CAO，
同理可得：∠BOE＝2∠BAO，
∴∠COB＝∠COE﹣∠BOE
＝2∠CAO﹣2∠BAO
＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠COB．
一十一．切线的性质（共1小题）
13．（2021秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
（1）求证：∠BAC＝∠OPC；
（2）延长PO交⊙O于点E，连接BE，CE．若∠BEC＝30°，PA＝8，求AB的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵PA，PC是⊙O的切线，
∴∠OPC＝∠APO，PA＝PC，OA⊥PA，
∴PD⊥AC，∠BAC+∠DAP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠BAC＝∠DPA，
∴∠BAC＝∠OPC；
（2）解：如图，
∵∠BEC＝30°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAP＝90°﹣∠BAC＝60°，
∵PA＝8，∠ADP＝90°，
∴AD＝AP＝4，
在Rt△AOD中，cos∠OAD＝＝，
∴，
∴AO＝，
∴AB＝．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
14．（2020秋•丰台区期末）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD．
在△AOD和△AOC中，
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACO．
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵CE＝6，
∴OE＝OD＝OC＝3．
在Rt△ODB中，BD＝4，OD＝3，
∴BD2+OD2＝BO2，
∴BO＝5，
∴BC＝BO+OC＝8．
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD＝AC．
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即：AC2+82＝（AC+4）2，
解得：AC＝6．
一十三．作图—复杂作图（共1小题）
15．（2022秋•丰台区期末）下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP，分别以点O、点P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线MN交OP于点T；
②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交⊙O于点A、点B；
③作直线PA，PB．
所以直线PA，PB就是所求作的⊙O的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA．
∵OP是⊙T的直径，
∴∠OAP＝ 90 °（ 直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA是⊙O的切线（ 过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线 ）（填推理的依据）．
同理可证，直线PB也是⊙O的切线．
【答案】（1）见解答；
（2）90，直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．
【解答】（1）解：如图，PA、PB为所作；
（2）证明：连接OA，
∵OP是⊙T的直径，
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角为直角），
∴OA⊥AP．
又∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA是⊙O的切线（过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线），
同理可证，直线PB也是⊙O的切线．
故答案为：90，直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．
一十四．作图-位似变换（共1小题）
16．（2020秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到△A2OB2，画出一个满足条件的△A2OB2．
【答案】见解答．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；
（2）如图，△A2OB2为所作．
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
17．（2022秋•丰台区期末）在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A，B之间电流能够通过的概率．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，
∴A、B之间电流能够正常通过的概率为．
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