北京市朝阳区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份北京市朝阳区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共14页。试卷主要包含了+a2+5a的值，解方程，x+a+1＝0，已知等内容，欢迎下载使用。

北京市朝阳区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．一元二次方程的解（共1小题）
1．（2022秋•朝阳区期末）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，求代数式a（a﹣1）+a2+5a的值．
二．解一元二次方程-公式法（共1小题）
2．（2021秋•朝阳区期末）解方程：2x2﹣9x+10＝0．
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
3．（2022秋•朝阳区期末）解方程：x2+4x+3＝0．
四．根的判别式（共2小题）
4．（2021秋•朝阳区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
5．（2020秋•朝阳区期末）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
6．（2021秋•朝阳区期末）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B，若AB＞6，直接写出n的取值范围．
六．切线的性质（共2小题）
7．（2022秋•朝阳区期末）如图，⊙O的半径OC与弦AB互相垂直，垂足为D，连接AC，OB．
（1）求证：2∠A+∠B＝90°；
（2）延长BO交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BA的延长线于点F．若AC∥BE，EF＝4，求∠B的度数及AC的长．

8．（2021秋•朝阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，⊙O与AC的另一个交点为E．
（1）求证：BO平分∠ABC；
（2）若∠A＝30°，AE＝1，求BO的长．

七．作图—复杂作图（共2小题）
9．（2020秋•朝阳区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．
（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．
（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．

10．（2020秋•朝阳区期末）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°．
求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．
作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；

②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；
③连接BP，CP，∠CPB就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵l为AB的垂直平分线，
∴OA＝　 　．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴∠CPB＝∠A（　 　）（填推理依据）．
八．旋转的性质（共1小题）
11．（2022秋•朝阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在BC边上，点B的对应点为E，求线段BD，DE的长．

九．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2020秋•朝阳区期末）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：
成绩x
人数
班级
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
一班
2
0
3
7
8
0
二班
0
1
5
7
7
0
三班
0
1
4
7
7
1
四班
m
0
3
7
5
2
（1）频数分布表中，m＝　 　；
（2）从70≤x＜75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？

北京市朝阳区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的解（共1小题）
1．（2022秋•朝阳区期末）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，求代数式a（a﹣1）+a2+5a的值．
【答案】4．
【解答】解：a（a﹣1）+a2+5a＝a2﹣a+a2+5a＝2a2+4a，
∵x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，
∴1+2a+a2＝3．
∴a2+2a＝2．
∴原式＝2（a2+2a）＝4．
二．解一元二次方程-公式法（共1小题）
2．（2021秋•朝阳区期末）解方程：2x2﹣9x+10＝0．
【答案】x1＝，x2＝2．
【解答】解：这里a＝2，b＝﹣9，c＝10，
∵Δ＝（﹣9）2﹣4×2×10＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝2．
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
3．（2022秋•朝阳区期末）解方程：x2+4x+3＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2+4x+3＝0，
分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，
可得x+1＝0或x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
四．根的判别式（共2小题）
4．（2021秋•朝阳区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
【答案】（1）证明见解答；（2）0．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4（a+1）
＝a2+4a+4﹣4a﹣4
＝a2．
∵a2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．

（2）解：解方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0，
得x1＝1，x2＝a+1，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴a+1≥1．
∴a≥0．
∴a的最小值为0．
5．（2020秋•朝阳区期末）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．
【答案】（1）m＜；
（2）m＝1，x1＝0，x2＝﹣1．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2+m﹣2）＞0，
∴﹣8m+9＞0，
∴m＜．
（2）∵m为正整数，且m＜，
∴m＝1，
∴原方程为x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
6．（2021秋•朝阳区期末）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B，若AB＞6，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）n的取值范围是n＜﹣5．
【解答】解：（1）由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（﹣1，4），
设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4（a≠0），
将（1，0）代入得4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令﹣x2﹣2x+3＝n，
整理得x2+2x﹣3+n＝0，
设点A、B的横坐标为x1，x2，
∴x1，x2是方程x2+2x﹣3+n＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝n﹣3，
∵AB＞6，
∴|x1﹣x2|＞6，
∴（x1﹣x2）2＞36，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＞36，即4﹣4（n﹣3）＞36，
∴n＜﹣5，
∴n的取值范围是n＜﹣5．
六．切线的性质（共2小题）
7．（2022秋•朝阳区期末）如图，⊙O的半径OC与弦AB互相垂直，垂足为D，连接AC，OB．
（1）求证：2∠A+∠B＝90°；
（2）延长BO交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BA的延长线于点F．若AC∥BE，EF＝4，求∠B的度数及AC的长．

【答案】（1）见解析；
（2）∠B＝30°，AC＝2．
【解答】（1）证明：∵OC⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴∠O+∠B＝90°
∵∠O＝2∠A，
∴2∠A+∠B＝90°；
（2）解：如图：

∵AC∥BE，
∴∠CAB＝∠B．
∵2∠CAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°．
∵∠B＝30°．
∴∠CAB＝30°
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEB＝90°．
∵EF＝4，
∴BF＝8，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得．
∴，
∴，
∴．
8．（2021秋•朝阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，⊙O与AC的另一个交点为E．
（1）求证：BO平分∠ABC；
（2）若∠A＝30°，AE＝1，求BO的长．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）2．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AB与圆O相切，
∴∠ODB＝90°，
在Rt△BDO和Rt△BCO中，
，
∴Rt△BDO≌Rt△BCO（HL），
∴∠DBO＝∠CBO，
∴BO平分∠ABC；
（2）解：设圆O的半径为x，则OD＝OE＝OC＝x，
∵∠A＝30°，AE＝1，
∴2x＝1+x，
∴x＝1，
∴AC＝1+1+1＝3，
在Rt△ACB中，tanA＝，
∴BC＝AC•tan30°＝3×＝，
∴BO＝＝＝2．
七．作图—复杂作图（共2小题）
9．（2020秋•朝阳区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．
（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．
（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．

【答案】（1）作图见解析部分．
（2）C（0，0），F（4，1）．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求作（答案不唯一）．


（2）建立如图坐标系，C（0，0），F（4，1）．
10．（2020秋•朝阳区期末）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°．
求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．
作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；

②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；
③连接BP，CP，∠CPB就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵l为AB的垂直平分线，
∴OA＝　OB　．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴∠CPB＝∠A（　同弧所对的圆周角相等　）（填推理依据）．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）证明见解析部分．
【解答】解：（1）如图，∠CPB即为所求作．


（2）证明：连接OC，
∵l为AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴∠CPB＝∠A（同弧所对的圆周角相等）．
故答案为：OB，同弧所对的圆周角相等．
八．旋转的性质（共1小题）
11．（2022秋•朝阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在BC边上，点B的对应点为E，求线段BD，DE的长．

【答案】1，5．
【解答】解：根据题意，得△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，AC＝DC，
∵AC＝3，
∴DC＝3，
∵BC＝4，
∴BD＝1，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
．
∴DE＝5．
九．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2020秋•朝阳区期末）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：
成绩x
人数
班级
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
一班
2
0
3
7
8
0
二班
0
1
5
7
7
0
三班
0
1
4
7
7
1
四班
m
0
3
7
5
2
（1）频数分布表中，m＝　3　；
（2）从70≤x＜75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？
【答案】（1）3；
（2）．
【解答】解：（1）∵九年级一班的学生为：2+0+3+7+8+0＝20（人），各班人数相同，
∴m＝20﹣（0+3+7+5+2）＝3，
故答案为：3；
（2）一班有2人，分别记为A、B；四班有3人，分别记为C、D、E；
画树状图如图：

共有20个等可能的结果，所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的结果有14个，
∴所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率为＝．