北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共19页。试卷主要包含了x+4k＝0，x+m﹣2＝0，在抛物线y＝﹣x2+bx上等内容，欢迎下载使用。

北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．根的判别式（共2小题）
1．（2021秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
2．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
3．（2019秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．
（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．

三．二次函数的性质（共2小题）
4．（2021秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
①直接写出t的取值范围；
②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
5．（2022秋•东城区期末）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标．

四．抛物线与x轴的交点（共2小题）
6．（2019秋•东城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝t的根；
（3）若m＝﹣1，求此二次函数的解析式．
7．（2021秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．

五．二次函数的应用（共2小题）
8．（2019秋•东城区期末）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少元，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

9．（2021秋•东城区期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

六．垂径定理（共1小题）
10．（2022秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，若AB＝4，求CD的长．

七．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2021秋•东城区期末）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙O（如图1）．
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC．
作法：如图2．
①作直径AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M；
③作直线MO交⊙O于C，D两点；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求作的等腰直角三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接MA，MB．
∵MA＝MB，OA＝OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
又∵直线MO交⊙O于点C，
∴AC＝　 　．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝　 　（ 　 　）（填写推理依据）．
∴△ABC是等腰直角三角形．

八．作图-旋转变换（共2小题）
12．（2019秋•东城区期末）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．

13．（2022秋•东城区期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．

九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2019秋•东城区期末）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，作出∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若＝2，AC＝6，求AE的长．

一十．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2019秋•东城区期末）北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游玩路线，如表：
A
B
C
D
漫步世园会
爱家乡•爱园艺
清新园艺之旅
车览之旅
小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条路线被选择的可能性相同．
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率．
16．（2022秋•东城区期末）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．

北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共2小题）
1．（2021秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
【答案】（1）见解答：
（2）k的取值范围为k＜2．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，
∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+4）x+4k＝0，
∴（x﹣4）（x﹣k）＝0，
∴x1＝4，x2＝k．
∵方程有一根小于2，
∴k＜2，
∴k的取值范围为k＜2．
2．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1）见解答；（2）x＝﹣2或x＝1．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：m＝0时，判别式的值最小，
把m＝0代入方程，
x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣2或x＝1．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
3．（2019秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．
（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．
∴B（1，），C（5，），
若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则＝，
解得，k＝，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点A（3，5）．C（5，），
将△ABC向下平移m个单位长度，
∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴3（5﹣m）＝5（﹣m），
∴m＝．
三．二次函数的性质（共2小题）
4．（2021秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
①直接写出t的取值范围；
②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【答案】（1）直线x＝；
（2）①＜t＜1；②y3＜y1＜y2．
【解答】解：（1）若m＝0，则点（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx上，
∴0＝﹣1+b，解得b＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝；
（2）①∵y＝﹣x2+bx，
∴抛物线开口向下且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而减小，0＞m＞n不满足题意，
当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，0＞n＞m不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＞0，x＝2时n＜0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和2之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝1之间，
即＜t＜1；
②∵点（﹣1，y1）与对称轴距离＜t﹣（﹣1）＜2，
点（，y2）与对称轴距离＜﹣t＜1，
点（3，y3）与对称轴距离2＜3﹣t＜
∴y3＜y1＜y2．
5．（2022秋•东城区期末）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标．

【答案】（1）．
（2）M（2，﹣3）．
【解答】解：（1）将A（0，﹣5），B（5，0）代入y＝x2+bx+c得，
解得．
（2）∵y＝x2﹣4x﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
设AB所在直线为y＝kx+m，
把A（0，﹣5），B（5，0）代入y＝kx+m得，
解得，
∴直线解析式为y＝x﹣5，
把x＝2代入y＝x﹣5得y＝﹣3，
∴M（2，﹣3）．
四．抛物线与x轴的交点（共2小题）
6．（2019秋•东城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝t的根；
（3）若m＝﹣1，求此二次函数的解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2；
（2）根据二次函数的对称性可知：
（﹣2，t）关于对称轴x＝的对称点为（3，t），
即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
（3）若m＝﹣1，则抛物线经过点（﹣1，﹣1），（0，﹣2），（1，﹣2），
代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
7．（2021秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3．
（2）﹣3＜x＜1．
【解答】解：（1）将A（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）令x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴抛物线经过（﹣3，0），（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴y＜0时，﹣3＜x＜1．
五．二次函数的应用（共2小题）
8．（2019秋•东城区期末）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少元，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，100）、（45，70）代入，得

解得
故函数关系式为y＝﹣2x+160．
答：该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣2x+160．
（2）由题意，得
w＝（x﹣30）（﹣2x+160）
＝﹣2（x﹣55）2+1250
∵﹣2＜0，
故当x＜55时，w随x的增大而增大，
又30≤x≤60，
∴当x＝55时，w取得最大值，最大值为1250元．
答：销售单价定为55元，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元．
9．（2021秋•东城区期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（≤x＜20）；（2）当x＝10时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
【解答】解：（1）由题意得：y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∵0＜40﹣2x≤25，
∴≤x＜20，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（≤x＜20）；
（2）由（1）知，y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，≤x＜20，
∴当x＝10时，y有最大值，最大值为200，
答：当x＝10时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
六．垂径定理（共1小题）
10．（2022秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，若AB＝4，求CD的长．

【答案】2．
【解答】解：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴CE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴CE2+OE2＝2CE2＝OC2，
∴2CE2＝22，
∴CE＝，
∴CD＝2．
七．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2021秋•东城区期末）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙O（如图1）．
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC．
作法：如图2．
①作直径AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M；
③作直线MO交⊙O于C，D两点；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求作的等腰直角三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接MA，MB．
∵MA＝MB，OA＝OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
又∵直线MO交⊙O于点C，
∴AC＝　BC　．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝　90°　（ 　直径所对的圆周角是直角　）（填写推理依据）．
∴△ABC是等腰直角三角形．

【答案】（1）见解答；
（2）BC、90°，直径所对的圆周角是直角．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）证明：连接MA，MB．
∵MA＝MB，OA＝OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
又∵直线MO交⊙O于点C，
∴AC＝BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：BC、90°，直径所对的圆周角是直角．
八．作图-旋转变换（共2小题）
12．（2019秋•东城区期末）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；

（2）如图所示，∠COC1＝α＝90°．
13．（2022秋•东城区期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．

【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）8．
【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；

（3）如图，连接AB1，BB1，
则S＝×8×2＝8．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2019秋•东城区期末）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，作出∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若＝2，AC＝6，求AE的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC，
∴，
∴AE＝2EC，且AC＝6，
∴AE＝4．
一十．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2019秋•东城区期末）北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游玩路线，如表：
A
B
C
D
漫步世园会
爱家乡•爱园艺
清新园艺之旅
车览之旅
小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条路线被选择的可能性相同．
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，
∴在四条线路中，小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；

（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一线路游览的结果有4种，
则小美和小红恰好选择同一线路游览的概率为＝．
16．（2022秋•东城区期末）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有3种，
∴小明和小亮选择相同模块的概率为＝．