北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共29页。试卷主要包含了三点，，点Q为图形M上一点等内容，欢迎下载使用。

北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
1．（2022秋•通州区期末）已知双曲线y1＝与抛物线y2＝ax2+bx+3交于A（2，3），B（m，2），C（﹣3，n）三点．
（1）求m和n的值；
（2）在平面直角坐标系中描出上述两个函数图象的草图，并根据图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围？

二．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
2．（2021秋•通州区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m．
（1）如果二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2，求m的值；
（2）若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

3．（2021秋•通州区期末）已知一个二次函数的表达式为y＝（x﹣a）（x﹣1）．
（1）当a＝3时，若P（﹣1，b），Q（m，b）两点在该二次函数图象上，求m的值；
（2）已知点A（﹣1，0），B（2，0），二次函数y＝（x﹣a）（x﹣1）的图象与线段AB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．

三．二次函数的应用（共1小题）
4．（2022秋•通州区期末）如图1，是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．


四．二次函数综合题（共1小题）
5．（2022秋•通州区期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围．

五．圆周角定理（共1小题）
6．（2020秋•通州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接BD．作∠ACB平分线，交BD于点F，交AB于点E．
（1）求证：BE＝BF．
（2）若AB＝6，∠A＝30°，求DF的长．

六．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2022秋•通州区期末）如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）当∠A＝60°时，在⊙O上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．

七．扇形面积的计算（共1小题）
8．（2022秋•通州区期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积．

八．圆的综合题（共3小题）
9．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点．我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．

（1）如图，⊙O半径为2，与x轴，分别交于点A，B．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为　 　，线段AB的“宽度”为　 　；
②点G（m，0）为x轴上一点．若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，且半径为r（r＞0），一次函数y＝﹣与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段DE上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标xC的取值范围．
10．（2021秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图
形M，N的“近距离”，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．
已知：如图，点A（﹣2，0），B（0，）．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d（A，⊙O）＝　 　，d（B，⊙O）＝　 　；
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）＝0，求r的取值范围；
（3）如果C（m，0）是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）＜1，直接写出m的取值范围．

11．（2022秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．
已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），
（1）d（点A，点B）＝　 　，d（点A，线段BC）＝　 　；
（2）⊙O半径为r，
①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝　 　；
②若d（⊙O，△ABC）＝1，求⊙O的半径r的长．

九．作图—复杂作图（共2小题）
12．（2020秋•通州区期末）下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，

①作射线OP；
②以点P为圆心，PO为半径作⊙P，与射线OP交于另一点B；
③分别以点O，点B为圆心，大于PO长为半径作弧，两弧交射线OP上方于点D；
④作直线PD；
则直线PD即为所求．
根据小付设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵PO＝PB，DO＝DB，
∴PD⊥OB（　 　）（填推理的依据）．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线（　 　）（填推理的依据）．
13．（2021秋•通州区期末）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且AC＝BC，∠ACB＝30°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC．

△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（ 　 　）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝30°．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC（ 　 　）（填推理的依据）．
∴△ABC就是所求作的三角形．


北京市通州区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
1．（2022秋•通州区期末）已知双曲线y1＝与抛物线y2＝ax2+bx+3交于A（2，3），B（m，2），C（﹣3，n）三点．
（1）求m和n的值；
（2）在平面直角坐标系中描出上述两个函数图象的草图，并根据图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围？

【答案】（1）m＝3，n＝﹣2；
（2）0＜x＜2或x＜﹣3或x＞3．
【解答】解：（1）把A（2，3）代入y1＝得k＝2×3＝6，
则反比例函数的解析式是y＝，
把B（m，2）代入得m＝3，
把（﹣3，n）代入得n＝﹣2；
（2）如图所示：

当y1＞y2时，x的取值范围是：0＜x＜2或x＜﹣3或x＞3．
二．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
2．（2021秋•通州区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m．
（1）如果二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2，求m的值；
（2）若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

【答案】（1）m＝3．
（2）m≥5．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴为直线，
A，B两点在x轴上（点A在点B的左侧），且AB＝2，
∴A（1，0），B（3，0）．
把点（1，0）代入y＝x2﹣4x+m中得12﹣4×1+m＝0，
∴m＝3．
（2）对称轴为直线x＝2，把x＝2代入y＝x2﹣4x+m中得y＝m﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（2，m﹣4），
∵抛物线开口向上，
∴函数最小值为y＝m﹣4，
由题意得m﹣4≥1，
∴m≥5．
3．（2021秋•通州区期末）已知一个二次函数的表达式为y＝（x﹣a）（x﹣1）．
（1）当a＝3时，若P（﹣1，b），Q（m，b）两点在该二次函数图象上，求m的值；
（2）已知点A（﹣1，0），B（2，0），二次函数y＝（x﹣a）（x﹣1）的图象与线段AB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）m＝5．
（2）a＜﹣1或a＞2或a＝1．
【解答】解：（1）当a＝3时，二次函数表达式为y＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵P（﹣1，b），Q（m，b）两点在该二次函数图象上，
∴m﹣2＝2﹣（﹣1），
∴m＝5．
（2）∵y＝（x﹣a）（x﹣1），
∴抛物线与x轴交点坐标为（a，0），（1，0），
∴点（1，0）在线段AB上，
∴（a，0）不在线段AB上，或（a，0）与（1，0）重合，
∴a＜﹣1或a＞2或a＝1．
三．二次函数的应用（共1小题）
4．（2022秋•通州区期末）如图1，是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．


【答案】拱门的最大高度为200米．
【解答】解：解法一：如图所示建立平面直角坐标系，

此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0）．
设这条抛物线的解析式为y＝a（x﹣100）（x+100），
∵抛物线经过点B（50，150），
可得150＝a（50﹣100）（50+100），
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣100）（x+100），
当x＝0时，y＝200，
∴拱门的最大高度为200米．
四．二次函数综合题（共1小题）
5．（2022秋•通州区期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）（﹣1，﹣2）或（1，﹣4）；
（3）﹣5﹣2≤xE≤﹣1+2．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交点为D（0，3），
∴c＝3，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
将A（﹣3，0）代入y1＝ax2﹣2x+3，
∴9a+6+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）由题意A（﹣3，0），B（1，0），
当∠AMB＝90°时，M（﹣1，﹣2）．
当∠ABM＝90°时，M（1，﹣4）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，﹣4）；

（3）∵点E的横坐标xE，
∴E（xE，0），
由题可知，F（xE，﹣4），G（xE+4，﹣4），H（xE+4，0），
当F点在抛物线上时，﹣xE2﹣2xE+3＝﹣4，
解得xE＝﹣1+2或xE＝﹣1﹣2，
当G点在抛物线上时，﹣（xE+4）2﹣2（xE+4）+3＝﹣4，
解得xE＝﹣5+2或xE＝﹣5﹣2，
∴﹣5﹣2≤xE≤﹣1+2时，四边形EFGH与抛物线有公共点．
五．圆周角定理（共1小题）
6．（2020秋•通州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接BD．作∠ACB平分线，交BD于点F，交AB于点E．
（1）求证：BE＝BF．
（2）若AB＝6，∠A＝30°，求DF的长．

【答案】（1）证明见解析部分．
（2）DF＝1．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠ABC＝90°
∴∠2+∠5＝90°，
∵CE为∠ACB的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠5，
∴BE＝BF．

（2）解：在Rt△ABD中，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴DB＝3，
在Rt△ACB中，∠A＝300，AB＝6
∴BC＝，
在Rt△BCE中，∠2＝30°，BC＝，
∴BE＝2，
∴BF＝2，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣2＝1．

六．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2022秋•通州区期末）如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）当∠A＝60°时，在⊙O上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．

【答案】（1）见解答；（2）﹣1或2﹣．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵线段AC是直径，
∴∠ABC＝∠DBC＝90°．
在Rt△DBC中，M为CD的中点，
∴BM＝MC，
∴∠MBC＝∠MCB．
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠0BC．
∵CD为切线，
∴∠ACD＝90°．
∴∠MCB+∠OCB＝∠MBC+∠OBC＝90°，即OB⊥BM，
∵OB⊥BM，OB为半径，
∴BM与⊙O相切；
（2）①如图1：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，过点O作OH⊥AB，过F作FP⊥OH，FG⊥BA，
由（2）知∠AOB＝60°，
∴∠AOH＝30°，
∴∠FOP＝60°．
Rt△FPO中，∠FOP＝60°，OF＝2，
∴OP＝1．
Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
∴OH＝，
∴FG＝HP＝﹣1．
②如图2：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，等边△ABO中，OF平分∠AOB，
∴OF⊥AB．
Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
∴OH＝，
∴FH＝2﹣．
综上所述，点F到直线AB的距离是﹣1或2﹣．



七．扇形面积的计算（共1小题）
8．（2022秋•通州区期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积．

【答案】（1）见解答；（2）π﹣．
【解答】（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；
（2）解：连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O是AB的中点，
∴S△POB＝S△PAB＝×AP•PB＝×2×2＝，
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB
＝﹣
＝π﹣．

八．圆的综合题（共3小题）
9．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点．我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．

（1）如图，⊙O半径为2，与x轴，分别交于点A，B．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为　4　，线段AB的“宽度”为　2　；
②点G（m，0）为x轴上一点．若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，且半径为r（r＞0），一次函数y＝﹣与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段DE上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标xC的取值范围．
【答案】（1）①4；2．
②2≤m≤6或．
（2）r＞1时，满足条件的xC为：4≤xC≤7．
当r＝1时，xC为任意实数．
【解答】（1）①如图，作直线OP交⊙O于E，F．
∵PE﹣PE＝4，
∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为4．
连接PA，PB．
∵PB＝3，PA＝＝5，
∴PA﹣PB＝5﹣3＝2，
∴线段AB的“宽度”为2，
故答案为：4；2．


②当M在点A右侧时，当m＞6时，PM＞PA，此时线段AG的“宽度”大于2，不符合题意，
当﹣2＜m＜2时，PA﹣PM＜2
∴2≤m≤6．
当M在点A左侧时，PA＝5，PM＝7，
∴
∴．
综上所述，2≤m≤6或．

（2）∵⊙C的“宽度”为2，
∴r≥1．
当r＞1时，
∴点K出现在⊙C内部，其轨迹为以点C为圆心，半径为1的圆．
又∵点K在线段DE上．
∴该轨迹圆需要与线段DE有交点．如图2﹣1．

当C在点D左侧时，⊙C与DE相切时，C（4，0），如图2﹣2中，

当C在点D右侧时，经过点D时，C（7，0）．

综上所述，r＞1时，满足条件的xC为：4≤xC≤7．
当r＝1时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2．
所以xC为任意实数．
10．（2021秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图
形M，N的“近距离”，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．
已知：如图，点A（﹣2，0），B（0，）．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d（A，⊙O）＝　0　，d（B，⊙O）＝　2　；
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）＝0，求r的取值范围；
（3）如果C（m，0）是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）＜1，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）0，2；（2）；（3）﹣4﹣2．
【解答】解：（1）∵⊙O的半径为2，A（﹣2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝2＞2，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，
∴d（A，⊙O）＝0，d（B，⊙O）＝2，
故答案为：0，2；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，

在Rt△AOB中，
∵tan，
∴∠BAO＝60°；
在Rt△ADO中，sin∠BAO＝＝，
∴DO＝，
∵d（⊙O，线段AB）＝0，
∴r的取值范围是；
（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N，

∵A（﹣2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan，
∴∠OAB＝60°，
∵C（m，0），
当点C在点A的右侧时，m＞﹣2，
∴AC＝m﹣（﹣2）＝m+2，
∴CN＝AC•sin∠OAB＝，
∵d（⊙C，线段AB）＜1，⊙C的半径为1，
∴0＜，
∴﹣2，
当点C与点A重合时，m＝﹣2，
此时d（⊙C，线段AB）＝0，
当点C在点A的左侧时，m＜﹣2，
∴AC＝﹣2﹣m，
∴AC﹣1＜1，
∴﹣2﹣m﹣1＜1，
∴﹣4＜m＜﹣2，
综上所述：﹣4﹣2．
11．（2022秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．
已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），
（1）d（点A，点B）＝　4　，d（点A，线段BC）＝　2　；
（2）⊙O半径为r，
①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝　2﹣1　；
②若d（⊙O，△ABC）＝1，求⊙O的半径r的长．

【答案】（1）4，2；
（2）①2﹣1；
②﹣1或5．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴d（点A，点B）＝＝4，
∴d（点A，线段BC）＝2，
故答案为：4，2；
（2）①如图，过点O作EO⊥AB于点E，

∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴AO＝BO＝4，
∴AB＝4，
∵S△ABO＝AB•OE＝AO•BO，
∴OE＝2，
∴d（⊙O，线段AB）＝2﹣1，
故答案为：2﹣1；
②∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴⊙O与△ABC各边都不相交，
若△ABC在⊙O外，如图，过点O作OF⊥BC于点F，

∵B（0，4），C（﹣2，0），
∴OB＝4，OC＝2，
∴BC＝＝2，
∵S△BOC＝BC•OF＝CO•BO，
∴OF＝，
∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴OF﹣r＝1，
∴r＝﹣1，
若△ABC在⊙O内，
∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴BM＝1，
∴r＝BO+BM＝5，
综上所述：r＝﹣1或5．
九．作图—复杂作图（共2小题）
12．（2020秋•通州区期末）下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，

①作射线OP；
②以点P为圆心，PO为半径作⊙P，与射线OP交于另一点B；
③分别以点O，点B为圆心，大于PO长为半径作弧，两弧交射线OP上方于点D；
④作直线PD；
则直线PD即为所求．
根据小付设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵PO＝PB，DO＝DB，
∴PD⊥OB（　垂直平分线的判定　）（填推理的依据）．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线（　经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线　）（填推理的依据）．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）垂直平分线的判定，经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）如图，直线PD即为所求作．


（2）证明：∵PO＝PB，DO＝DB，
∴PD⊥OB（垂直平分线的判定），
又∵OP是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线）
故答案为：垂直平分线的判定，经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．
13．（2021秋•通州区期末）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且AC＝BC，∠ACB＝30°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC．

△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（ 　同弧所对圆周角等于圆心角的一半　）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝30°．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC（ 　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等　）（填推理的依据）．
∴△ABC就是所求作的三角形．

【答案】同弧所对圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【解答】解：（1）如图所示：即为补全的图形；

（2）证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（同弧所对圆周角等于圆心角的一半）．
∴∠ACB＝30°．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．
同弧所对圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．