北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共41页。试卷主要包含了的图象与y轴交于点B，x﹣3，，顶点为C，，其中x1＜x2，和图形W，给出如下定义等内容，欢迎下载使用。

北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），一次函数y2＝kx﹣1（k≠0）的图象与y轴交于点B．
（1）求反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，直接写出k的取值范围．
二．抛物线与x轴的交点（共3小题）
2．（2020秋•石景山区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3．
（1）该函数图象经过点（2，﹣3）．
①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
②分别求出这个二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标；
（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
3．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C．
（l）直接写出点B，点C的坐标；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若点P（0，n），Q（m，n）在此二次函数的图象上，则m的值为 　 　．
4．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）在抛物线y＝ax2+c（a＞0）上，抛物线与x轴有两个交点B（x1，0），C（x2，0），其中x1＜x2．
（1）当a＝1，m＝﹣3c时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点D（x1+3，n）在抛物线上，若m＞n＞0，求x1的取值范围．
三．二次函数的应用（共1小题）
5．（2021秋•石景山区期末）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为y＝﹣x2+．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．

四．二次函数综合题（共1小题）
6．（2020秋•石景山区期末）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：
过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点．
（1）已知点C（2，3），
①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆盖特征点的为　 　；
②若在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点D（2，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围　 　．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
7．（2020秋•石景山区期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．

六．四边形综合题（共1小题）
8．（2020秋•石景山区期末）已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB＝BC，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN⊥PM交射线CB于点N．
（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．
①依题意补全图1；
②写出线段PM与PN的数量关系并证明．
（2）如图2，若∠OMB＝α，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数量关系．

七．垂径定理的应用（共1小题）
9．（2022秋•石景山区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
用现代的语言表述如下，请解答：
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．

八．切线的性质（共1小题）
10．（2021秋•石景山区期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E．
（1）求证：∠E＝∠B；
（2）连接AD，若CE＝4，BC＝8，求AD的长．

九．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2020秋•石景山区期末）如图，DO是⊙O的半径，点F是直径AC上一点，点B在AD的延长线上，连接BC，使得∠ABC＝∠AOD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接BF，若AD＝，tan∠ABC＝，BF＝，求CF的长．

一十．圆的综合题（共2小题）
12．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．点P，Q为⊙O外两点，给出如下定义：若⊙O上存在点M，N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是⊙O的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成⊙O的“成对关联点”的点是 　 　；
（2）点E（t，t）在第一象限，点F与点E关于x轴对称，若点E，F是⊙O的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；
（3）点G在y轴上，若直线y＝4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标yG的取值范围．

13．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝　 　．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 　 　；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
（3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．


一十一．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2021秋•石景山区期末）下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，△ABC．
求作：直线BD，使得BD∥AC．
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；
④作直线BD．
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝　 　．
∴∠DBA＝∠CAB（ 　 　）（填推理的依据）．
∴BD∥AC．
15．（2022秋•石景山区期末）已知：如图1，P为⊙O上一点．
求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切．
作法：如图2，
①连接OP；
②以点P为圆心，OP长为半径作弧，与⊙O的一个交点为A，作射线OA；
③以点A为圆心，OP长为半径作圆，交射线OA于点Q（不与点O重合）；
④作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA．
由作法可知AP＝AO＝AQ，
∴点P在以OQ为直径的⊙A上．
∴∠OPQ＝　 　°（ 　 　）（填推理的依据）．
∴OP⊥PQ．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PQ是⊙O的切线（ 　 　）（填推理的依据）．

一十二．作图—应用与设计作图（共1小题）
16．（2020秋•石景山区期末）下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：直线PN，使得PN与⊙O相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙O外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是⊙Q的直径，
∴∠MPN＝　 　°　 　（填推理的依据）．
∴OP⊥PN．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PN是⊙O的切线　 　（填推理的依据）．
一十三．几何变换综合题（共1小题）
17．（2021秋•石景山区期末）如图，AD是△ABC的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上一点（不与点E重合），AF＝AB．
（1）比较∠AFE与∠ABC的大小；
（2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明；
（3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明．

一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
18．（2021秋•石景山区期末）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长．

19．（2022秋•石景山区期末）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E．
（1）求证：△ADB∽△CEA；
（2）若，AD＝AE＝2，求CE的长．

一十五．解直角三角形（共1小题）
20．（2021秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，tanC＝，AC＝2，求BC的长．


北京市石景山区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），一次函数y2＝kx﹣1（k≠0）的图象与y轴交于点B．
（1）求反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）反比例函数表达式为：y＝，B（0，﹣1）；
（2）k≥2．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），
∴m＝﹣1×（﹣6）＝6，
∴反比例函数表达式为：y＝．
在直线y2＝kx﹣1（k≠0）中，令x＝0，则y＝﹣1，
∴B（0，﹣1）；
（2）把x＝2代入y＝得，y＝3，
把（2，3）代入y2＝kx﹣1得，3＝2k﹣1，
解得k＝2，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，
∴k≥2．

二．抛物线与x轴的交点（共3小题）
2．（2020秋•石景山区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3．
（1）该函数图象经过点（2，﹣3）．
①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
②分别求出这个二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标；
（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
【答案】（1）①二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；顶点坐标为（1，﹣4）；
②与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
（2）．
【解答】解：（1）①∵该二次函数图象经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝22﹣（m﹣2）×2﹣3，
解得m＝4．
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4）；
②令x＝0，则y＝﹣3．
∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
令y＝0，则x1＝﹣1，x2＝3．
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．

（2）y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3＝（x﹣）2﹣﹣3，
∴该函数的顶点坐标是（，﹣﹣3）．
∴顶点恰好落在y轴上，
∴该函数图象向左平移个单位．
∴．
3．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C．
（l）直接写出点B，点C的坐标；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若点P（0，n），Q（m，n）在此二次函数的图象上，则m的值为 　4　．
【答案】（1）B（3，0）；C坐标是（2，﹣1）；
（2）图象见解答；
（3）4．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
∴A（1，0），B（3，0）；
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
顶点C坐标是（2，﹣1）；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴和（0，3）关于对称轴对称的点坐标为（4，3），
函数图象如图所示：

（3）由（2）可知，m＝4，n＝3，
故答案为：4．
4．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）在抛物线y＝ax2+c（a＞0）上，抛物线与x轴有两个交点B（x1，0），C（x2，0），其中x1＜x2．
（1）当a＝1，m＝﹣3c时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点D（x1+3，n）在抛物线上，若m＞n＞0，求x1的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣1，顶点坐标为（0，﹣1）；
（2）﹣＜x1＜﹣1．
【解答】解：（1）当a＝1，m＝﹣3c，将点A（﹣2，m）代入得：
﹣3c＝4+c，
解得：c＝﹣1，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣1，顶点坐标为（0，﹣1）；
（2）∵B（x1，0），C（x2，0）是抛物线y＝ax2+c（a＞0）与x轴的两个交点，x1＜x2，
∴ax+c＝0，x1＝﹣x2，
∵点A（﹣2，m ）在抛物线上，
∴A'（2，m）在抛物线上，
∵点D（x+3，n ）在抛物线上，
∴a（x+3）2+c＝n，
∴ax+6ax1+9a+c＝n，
∴n＝6ax1+9a，
∵n＞0，
∴6ax1+9a＞0，a＞0，
∴x1＞﹣，
又∵a＞0时，y随x的增大而增大，m＞n＞0，
∴x1+3＜2，
∴x1＜﹣1，
∴﹣＜x1＜﹣1．
三．二次函数的应用（共1小题）
5．（2021秋•石景山区期末）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为y＝﹣x2+．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．

【答案】（1）图象见解答；（2）排球能否过球网．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+，
∴对称轴为y轴，顶点为（0，），
∴小石建立的坐标系如图所示：

（2）排球能过球网．
理由：∵当x＝3时，y＝﹣×9+＝2.375＞2.24，
∴排球能过球网．
四．二次函数综合题（共1小题）
6．（2020秋•石景山区期末）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：
过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点．
（1）已知点C（2，3），
①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆盖特征点的为　P2，P3　；
②若在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点D（2，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围　a＞0或　．
【答案】（1）①P2，P3．
②．
（2）a＞0或．
【解答】解：（1）①如图1中，

观察图象可知，P2，P3是△ABC的覆盖特征点．
故答案为：P2，P3．

②当m＞0时，结合函数图象可知符合题意．

当m＜0时，由题意得：当x≥3且y≥3时，点P（x，y）为△ABC的覆盖的特征点（图中的阴影部分）．
又∵点P在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上，
∴当直线y＝mx+5（m≠0）过点K（3，3）时，解得：，
∴结合函数图象可知，
综上所述：．

（2）如图3中，

观察图象可知，当a＞0时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，
当a＜0时，抛物线经过（0，4），对称轴x＝，当抛物线经过（2，5）或（3，5）时，抛物线满足条件，
∴5＝4a﹣10a+4，
解得a＝﹣，
观察图象可知，当a≤﹣时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，
综上所述，满足条件的a的取值范围为：a＞0或．
故答案为：a＞0或．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
7．（2020秋•石景山区期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，
∴．
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，
∴GD＝1，
∴．

六．四边形综合题（共1小题）
8．（2020秋•石景山区期末）已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB＝BC，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN⊥PM交射线CB于点N．
（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．
①依题意补全图1；
②写出线段PM与PN的数量关系并证明．
（2）如图2，若∠OMB＝α，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数量关系．

【答案】（1）①图形见解析；
②PM＝PN；
（2）tanα＝．
【解答】解：（1）①补全图形如图1．

②线段PM与PN的数量关系为：PM＝PN．
证明：过点P分别作PG⊥MB于G，PH⊥BC于H，线段PN交MB于点F．如图2．

∵四边形MBCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形MBCD是正方形．
∴BO平分∠MBC，∠MBC＝90°．
∵PG⊥MB，PH⊥BC，
∴PG＝PH，∠PHB＝∠PGM＝90°．
∵PM⊥PN，∠MBC＝90°，
∴∠MPN＝∠GBN＝90°．
∵∠MFP＝∠BFN，
∴∠PMG＝∠PNH．
∴△PMG≌△PNH（AAS）．
∴PM＝PN．
（2）补全图形如图3．
．
线段PM与PN的数量关系为：．
连接MN，
∵矩形MBCD的对角线交于点O，
∴OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM＝α，
∵∠MBN＝90°，∠MPN＝90°，
∴B、P、N、M四点共圆，
∴∠PBN＝∠PMN，
∵∠OBM+∠PBN＝90°，∠PMN+∠MNP＝90°，
∴∠OBM＝∠MNP＝α，
∴tanα＝．
七．垂径定理的应用（共1小题）
9．（2022秋•石景山区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
用现代的语言表述如下，请解答：
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．

【答案】26寸．
【解答】解：连接OC，

∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴AB＝26寸，
答：直径AB的长为26寸．
八．切线的性质（共1小题）
10．（2021秋•石景山区期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E．
（1）求证：∠E＝∠B；
（2）连接AD，若CE＝4，BC＝8，求AD的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）4．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵EC是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
∴∠OCD+∠ECD＝∠E+∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCD＝∠B，
∴∠E＝∠B；
（2）解：如图，连接AD，

∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∴DE＝＝＝8，
∴BC＝DE＝8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴△ACB≌△CDE（ASA），
∴AC＝CD＝4，
∴AD＝＝4．
九．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2020秋•石景山区期末）如图，DO是⊙O的半径，点F是直径AC上一点，点B在AD的延长线上，连接BC，使得∠ABC＝∠AOD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接BF，若AD＝，tan∠ABC＝，BF＝，求CF的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接CD，
∵，
∴．
∵，
∴∠ACD＝∠ABC．
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝90°．
∴∠BCA＝∠BCD+∠ACD＝90°．
∴BC⊥AC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）在△ACD中，∠ADC＝90°，，，
∴AC＝4．
在△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝4，
∴BC＝3．
在△BCF中，∠BCF＝90°，，BC＝3，
∴．

一十．圆的综合题（共2小题）
12．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．点P，Q为⊙O外两点，给出如下定义：若⊙O上存在点M，N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是⊙O的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成⊙O的“成对关联点”的点是 　B、C　；
（2）点E（t，t）在第一象限，点F与点E关于x轴对称，若点E，F是⊙O的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；
（3）点G在y轴上，若直线y＝4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标yG的取值范围．

【答案】（1）B，C；（2）＜t≤2；（3）4＜yG≤2+2．
【解答】解：（1）如图所示，

在点B，C，D中，与点A组成⊙O的“成对关联点”的点是：B，C，
故答案为：B，C．
（2）∵点E（t，t）在第一象限，
∴点E（t，t）在直线y＝x上，
设直线y＝x与⊙O交于点M（a，a），可知OM＝2，
∴a2+a2＝OM2＝4，
解得：a＝±，
∵点M在第一象限，
∴a＞0，
∴a＝．
由⊙O的“成对关联点”的定义可知：⊙O的“成对关联点”在圆外，
∴OE＞OM，
∴t＞．
∵点F与点E关于x轴对称，
∴EF＝2t，
由题意：EF≤2×2＝4，
∴2t≤4．
解得：t≤2．
∴若点E，F是⊙O的“成对关联点”，t的取值范围：＜t≤2．
（3）当yG＝4时，如图所示：

显然，直线y＝4上不存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”；
当yG＜4时，如图所示：

显然，直线y＝4上不存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”；
当yG＞4时，显然，直线y＝4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，
如图所示：点G，H是⊙O的“成对关联点”，MN为⊙O的直径，

∵GH≤MN，
∴此时，GH取得最大值，yG取得最大值．
设yG＝m，m＞4，直线y＝4与y轴交于点K，
则OG＝m，GK＝m﹣4．
则四边形GHNM是矩形，
∴GH＝MN＝4，∠M＝∠MGH＝90°．
∴∠MGO+∠HGK＝90°，
∵GK⊥KH，
∴∠HGK+∠GHK＝90°．
∴∠MGO＝∠GHK．
∵∠M＝∠GKH＝90°，
∴△MGO∽△KHG，
∴．
∴．
解得：m＝2±2．
∵m＞4，
∴m＝2+2．
∴点G的纵坐标yG的取值范围：4＜yG≤2+2．
13．（2022秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝　5　．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 　P2，P4　；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
（3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．


【答案】（1）5，P2，P4；
（2）﹣6≤b≤6；
（3）1﹣2≤t≤﹣2或≤t≤4．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），
∴OC＝5，
∴d＝5，
∵P1（﹣1，0），
∴P1O＝1，
∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P2（2，8），
∴P2到AC的距离为5，
∴P2是矩形AOBC的“关联点”；
∵P3（3，1），
∴P3到OB的距离为1，
∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；
∵，
∴P4O＝5，
∴P4是矩形AOBC的“关联点”；
故答案为：P2，P4；
（2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形，
∴d＝DF＝2，
过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，
当ME＝2时，OM＝3，
∵∠MNO＝45°，
∴ON＝6，
∴﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）∵⊙T是T（t，0）为圆心，1为半径的圆，
∴d＝2，
当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，
当KL＝2时，TL＝3，
∵M（1，0），，
∴ON＝，OM＝1，
∴tan∠OMN＝，
∴∠OMN＝60°，
∴TM＝＝2，
此时T（1﹣2，0），
当TM＝3时，OT＝2，
∴T（﹣2，0），
∴1﹣2≤t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），
当NT＝3时，3＝，解得t＝或t＝﹣（舍），
∴≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
∴1﹣2≤t≤﹣2或≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．



一十一．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2021秋•石景山区期末）下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，△ABC．
求作：直线BD，使得BD∥AC．
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；
④作直线BD．
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝　　．
∴∠DBA＝∠CAB（ 　在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等　）（填推理的依据）．
∴BD∥AC．
【答案】．在同圆中，等弧所对的圆周角相等．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝．
∴∠DBA＝∠CAB（在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴BD∥AC．
故答案为：．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等．
15．（2022秋•石景山区期末）已知：如图1，P为⊙O上一点．
求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切．
作法：如图2，
①连接OP；
②以点P为圆心，OP长为半径作弧，与⊙O的一个交点为A，作射线OA；
③以点A为圆心，OP长为半径作圆，交射线OA于点Q（不与点O重合）；
④作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA．
由作法可知AP＝AO＝AQ，
∴点P在以OQ为直径的⊙A上．
∴∠OPQ＝　90　°（ 　直径所对的圆周角等于90°　）（填推理的依据）．
∴OP⊥PQ．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PQ是⊙O的切线（ 　过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线　）（填推理的依据）．

【答案】（1）见解答；
（2）90，直径所对的圆周角等于90°，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
【解答】（1）解：如图：

直线PQ即为所求；
（2）证明：连接PA，

由作法可知AP＝AO＝AQ，
∴点P在以OQ为直径的⊙A上．
∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角等于90°），
∴OP⊥PQ．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PQ是⊙O的切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线），
故答案为：90，直径所对的圆周角等于90°，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
一十二．作图—应用与设计作图（共1小题）
16．（2020秋•石景山区期末）下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：直线PN，使得PN与⊙O相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙O外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是⊙Q的直径，
∴∠MPN＝　90　°　（直径所对的圆周角是直角）　（填推理的依据）．
∴OP⊥PN．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PN是⊙O的切线　（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）　（填推理的依据）．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）补全图形如图：

（2）∵MN是⊙Q的直径，
∴∠MPN＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OP⊥PN，
又∵OP是⊙O的半径，
∴PN是⊙O的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
一十三．几何变换综合题（共1小题）
17．（2021秋•石景山区期末）如图，AD是△ABC的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上一点（不与点E重合），AF＝AB．
（1）比较∠AFE与∠ABC的大小；
（2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明；
（3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明．

【答案】（1）∠AFE＝∠ABC；（2）EF＝2BD；（3）DH⊥AC．
【解答】解：（1）连接AE，

∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴AB＝AE，∠ABC＝∠E，
∵AF＝AB，
∴AF＝AE，
∴∠AFE＝∠E，
∴∠AFE＝∠ABC；
（2）EF＝2BD，理由如下：连接AE，作AH⊥EF于H，

∵∠ABC＝∠AFE，∠ADB＝∠AHF，AB＝AF，
∴△ABD≌△AFH（AAS），
∴BD＝FH，
∵AF＝AE，AH⊥EF，
∴EF＝2HF，
∴EF＝2BD；
（3）DM⊥AC，理由如下：
连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，

∵AB＝AF，点M为BF的中点，
∴AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠ABC＝∠AFE，
∴∠ABC+∠AFC＝180°，
∴∠BAF+∠BCF＝180°，
∴∠ACB+∠BAM＝90°，
∴∠ACD＝∠ABM，
∵∠AMB＝∠ADB＝90°，
∴四点A、B、D、M共圆，
∴∠ABM＝∠ADM，
∴∠ADM+∠HDC＝90°，
∴∠ACD+∠HDC＝90°，
∴DH⊥AC．
一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
18．（2021秋•石景山区期末）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠B＝∠C．
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：∵D为AE中点，BE＝4，
∴AE＝2AD，
∵△ABE∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2．
19．（2022秋•石景山区期末）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E．
（1）求证：△ADB∽△CEA；
（2）若，AD＝AE＝2，求CE的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）CE的长是4．
【解答】（1）证明：∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，
∴△ADB∽△CEA．
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝，AD＝AE＝2，
∴BD＝＝＝1，
∵△ADB∽△CEA，
∴＝，
∴CE＝＝＝4，
∴CE的长是4．
一十五．解直角三角形（共1小题）
20．（2021秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，tanC＝，AC＝2，求BC的长．

【答案】10．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴△ABD、△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵tanC＝＝，
∴AD＝CD．
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（CD）2+CD2＝（2）2．
∴CD2＝36．
∴CD＝6，AD＝4．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝45°，
∴AD＝BD＝4．
∴BC＝AD+CD
＝4+6
＝10．