北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共34页。试卷主要包含了已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3等内容，欢迎下载使用。

北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．函数的图象（共1小题）
1．（2021秋•丰台区期末）小朋在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x﹣3）2．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有 　 　值（填“最大”或“最小”），这个值是 　 　；
（2）进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
x
0

1

2

3

4
…
y
0

2

1

0

2
…
结合上表，画出当x≥0时，函数y＝|x|（x﹣3）2的图象；
（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为 　 　（结果保留小数点后一位）．

二．二次函数的性质（共1小题）
2．（2022秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象；
（2）当﹣3≤x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．

三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
3．（2021秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
4．（2021秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（﹣3，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
五．二次函数综合题（共1小题）
5．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
六．三角形综合题（共1小题）
6．（2022秋•丰台区期末）已知等边△ABC，点D、点B位于直线AC异侧，∠ADC＝30°．
（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，
①根据题意补全图形；
②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：
Ⅰ．AD+CD＝BD；
Ⅱ．AD2+CD2＝BD2，其中正确的是 　 　（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）；

（2）如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断（1）②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．

七．四边形综合题（共1小题）
7．（2022秋•丰台区期末）数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为10dm3，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）设长方体包装盒的底面边长为xdm，表面积为ydm2．
可以用含x的代数式表示长方体的高为dm．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积＝2×底面积+侧面积．
得到y与x的关系式：　 　（0＜x≤3）；
（2）列出y与x的几组对应值：
x/dm
……
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
y/dm2
……
80.5
42.0
31.2
a
28.5
31.3
（说明：表格中相关数值精确到十分位）
则a＝　 　；
（3）在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（4）结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为 　 　dm时，需要的材料最省．

八．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2022秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，过点O作OD∥BC交AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）如果∠B＝2∠CPO，OD＝1，求PC的长．

九．圆的综合题（共2小题）
9．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点A（2，0），B（0，2），C（2，2），D（1，）．
（1）直线l经过点A，⊙B的半径为2，在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是 　 　；
（2）G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若⊙Q和△OAD有“关联点”，求⊙Q半径r的取值范围；
（3）⊙T的圆心为点T（0，t）（t＞0），半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若⊙T和直线m的“关联点”在直线y＝x+b上，请直接写出b的取值范围．
10．（2022秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，点P'落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．
（1）已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
①在点P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点 　 　是线段AB关于原点O的“伴随点”；
②如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；
（2）⊙E的圆心坐标为（1，n），半径为1，如果直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2021秋•丰台区期末）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：直线PA和⊙O相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作⊙B的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明；
证明：在⊙O中，连接BA，
∵OA＝OB，AO＝AB，
∴OB＝AB．
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP＝90°（ 　 　）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线（ 　 　）（填推理的依据）．

一十一．作图-轴对称变换（共1小题）
12．（2020秋•丰台区期末）已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．
（1）求证：∠FAB＝∠BCF；
（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．

一十二．几何变换综合题（共1小题）
13．（2021秋•丰台区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，作射线AD，满足0°＜∠DAC＜45°，在射线AD取一点E，且AE＞BC．将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EGF的度数；
（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．

一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2020秋•丰台区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且AD•AB＝AE•AC．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若∠B＝55°，∠ADE＝75°，求∠A的度数．

一十四．概率公式（共1小题）
15．（2020秋•丰台区期末）在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如图．

小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为　 　元，他使用学生卡实际支付　 　元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为　 　．
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2021秋•丰台区期末）小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？


北京市丰台区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．函数的图象（共1小题）
1．（2021秋•丰台区期末）小朋在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x﹣3）2．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有 　最小　值（填“最大”或“最小”），这个值是 　0　；
（2）进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
x
0

1

2

3

4
…
y
0

2

1

0

2
…
结合上表，画出当x≥0时，函数y＝|x|（x﹣3）2的图象；
（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为 　4.2　（结果保留小数点后一位）．

【答案】（1）最小值；0．
（2）图略．
（3）4.2．
【解答】解：（1）∵|x|≥0，（x﹣3）2≥0，
∴y＝|x|（x﹣3）2≥0．
∴y＝|x|（x﹣3）2有最小值，且最小值为0；
故答案为：最小值；0．
（2）在坐标系中线先描点，再划线，如图所示：

（3）把x＝2代入|x|（x﹣3）2＝kx﹣1中，有×|2|×（2﹣3）2＝2k﹣1，解得k＝1，
在图中画出函数y＝x﹣1，如图所示：

从图象可看，其他的实数根约为4.2．
故答案为：4.2．
二．二次函数的性质（共1小题）
2．（2022秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象；
（2）当﹣3≤x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．

【答案】（1）（0，﹣3）；（2）﹣4≤y≤0．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
函数图象如图所示：

（2）观察图象得：当x＝1时y最小＝﹣3；
当x＝3时，y最大＝0，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围为﹣4≤y≤0．

三．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
3．（2021秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）（m，﹣1）．
（2）y1＝y2．
（3）m≤．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1）．
（2）将x＝m﹣2代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝22﹣1＝3，
将x＝m+2代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝22﹣1＝3，
∴y1＝y2．
（3）∵抛物线对称轴为直线x＝m，
∴点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），
∵抛物线开口向上，y1≤y2，
∴2m﹣4≤x1＜4，
∴2m﹣4≤﹣1，
解得m≤．
四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
4．（2021秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（﹣3，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）6．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+mx+n中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）如图：

把x＝0，代入y＝x2+2x﹣3中得：y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴△ABC的面积＝AB•OC
＝×4×3
＝6，
答：△ABC的面积为6．
五．二次函数综合题（共1小题）
5．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点（4，0）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）b＝﹣4a，
（2）（a+2，0），
（3）a≥2或a≤﹣2．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（4，0），
∴0＝16a+4b，
∴b＝﹣4a．
（2）∵点A（0，a）绕原点O顺时针旋转90°得到点B，
∴点B的坐标为（a，0），
∵点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为（a+2，0）．
（3）（i）当a＞0时，
抛物线y＝ax2﹣4ax开口向上，与x轴交于两点（0，0），（4，0）．
若线段AC与抛物线有公共点（如答图1），只需满足：，解得：a≥2；

（ii）当a＜0时，
抛物线y＝ax2﹣4ax开口向下，与x轴交于两点（0，0），（4，0），
若线段AC与抛物线有公共点（如答图2），只需满足：，解得：a≤﹣2；

综上所述，a的取值范围为a≥2或a≤﹣2．
六．三角形综合题（共1小题）
6．（2022秋•丰台区期末）已知等边△ABC，点D、点B位于直线AC异侧，∠ADC＝30°．
（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，
①根据题意补全图形；
②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：
Ⅰ．AD+CD＝BD；
Ⅱ．AD2+CD2＝BD2，其中正确的是 　Ⅱ　（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）；

（2）如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断（1）②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．

【答案】（1）①作图见解析部分；
②Ⅱ；
（2）结论：AD2+CD2＝BD2．
【解答】解：（1）①图形如图所示：

②∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝∠D+∠CAD，∠D＝30°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴CA＝CD＝AB，
∵AB+AD＞BD，
∴AD+CD＞BD．故Ⅰ错误．
∵∠BAC＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴AD2+CD2＝BD2，故Ⅱ正确，
故答案为：Ⅱ；

（2）结论：AD2+CD2＝BD2．
理由：如图2中，以AD为边向下作等边△ADE，连接BE．

∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵∠ADC＝30°，
∵△ADE为等边三角形，
∴AE＝AD，∠AED＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC＝30°，BE＝CD，
∴∠BED＝∠AED+∠AEB＝90°，
∴△BDE为直角三角形，
∴BE2+DE2＝BD2，
∴AD2+CD2＝BD2．
七．四边形综合题（共1小题）
7．（2022秋•丰台区期末）数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为10dm3，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）设长方体包装盒的底面边长为xdm，表面积为ydm2．
可以用含x的代数式表示长方体的高为dm．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积＝2×底面积+侧面积．
得到y与x的关系式：　2x2+　（0＜x≤3）；
（2）列出y与x的几组对应值：
x/dm
……
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
y/dm2
……
80.5
42.0
31.2
a
28.5
31.3
（说明：表格中相关数值精确到十分位）
则a＝　28　；
（3）在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（4）结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为 　2　dm时，需要的材料最省．

【答案】（1）y＝2x2+；
（2）a＝28；
（3）作图见解析部分．
（4）2.2．
【解答】解：（1）由题意，y＝2x2+4x×＝2x2+；
故答案为：y＝2x2+；

（2）当x＝2时，a＝y＝8+20＝28；
故答案为：28；

（3）函数图象如图所示：

（4）观察图象可知，当x约为2.2dm时，需要的材料最省．
故答案为：2.2．
八．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2022秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，过点O作OD∥BC交AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）如果∠B＝2∠CPO，OD＝1，求PC的长．

【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：如图1，

连接OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴CD＝AD，
∴AP＝CP，
∵OP＝OP，
∴△PCO≌△PAO（SSS），
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：△PCO≌△PAO，
∴∠APO＝∠CPO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∵∠PDA＝∠ADO＝90°，
∴∠PAD+∠APO＝90°，
∴∠DAO＝∠APO，
∴∠DAO＝∠CPO，
∵∠B＝2∠CPO，
∴∠B＝2∠DAO，
∵∠B+∠DAO＝90°，
∴∠B＝60°，∠DAO＝30°，
∴∠APO＝30°，
∴PC＝＝＝2，
九．圆的综合题（共2小题）
9．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点A（2，0），B（0，2），C（2，2），D（1，）．
（1）直线l经过点A，⊙B的半径为2，在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是 　点C　；
（2）G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若⊙Q和△OAD有“关联点”，求⊙Q半径r的取值范围；
（3）⊙T的圆心为点T（0，t）（t＞0），半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若⊙T和直线m的“关联点”在直线y＝x+b上，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）点C；（2）0＜r＜；（3）﹣4＜b≤2﹣2．
【解答】解：（1）∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），
∴AC⊥BC，BC＝2，
∴点B到AC的距离为2．
∵⊙B的半径为2，
∴AC是⊙B的切线．
∴直线l与⊙B有且只有一个公共点C，
∵直线AD与⊙B相交，而过点A的直线有无数条，
∴在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是点C．
故答案为：点C；
（2）由题意画出图形如下，过点O作OF⊥AD于点F，交DG于点E，

∵G为线段OA中点，A（2，0），
∴G（1，0）．
∴OG＝1．
∴D（1，），
∴DG＝，DG⊥OA．
∴DG为OA的垂直平分线．
∴DO＝DA．
∵tan∠DOG＝，
∴∠DOG＝60°．
∴△AOD为等边三角形．
∵OF⊥AD，
∴DF＝AF，
∴OF是AD的垂直平分线．
∴点E是△AOD的外心．
∴EO＝EA＝ED．
∵Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），⊙Q和△OAD有“关联点”，
∴点Q在线段GE上（Q与E，G不重合），⊙Q半径r＝QD或⊙Q半径r＝QG．
∵OF平分∠DOA，
∴∠FOA＝∠DOA＝30°．
∵tan∠FOA＝，
∴．
∴GE＝．
∴DE＝DG﹣EG＝＝，
由题意：0＜QG＜EG，
∴0＜r＜．
∴⊙Q半径r的取值范围为：0＜r＜；
（3）设直线m与⊙T相切于点G，如图，

则点G为直线m与⊙T的“关联点”．
∵TO⊥AO，TO＝t，⊙T的半径为t，
∴AO是⊙T的切线．
由切线长定理可得：AG＝AO＝2．
∴⊙T和直线m的“关联点”G的轨迹是：以点A为圆心，AO＝2为半径的半圆（与x轴的交点O，H除外），
即点G的轨迹是以OH＝4为直径的半圆（O，H除外）．
由题意：H（4，0）．
∵⊙T和直线m的“关联点”在直线y＝x+b上，
∴当直线经过点H时，4+b＝0，
解得：b＝﹣4．
设直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，
则M（﹣b，0），N（0，b）．
∴OM＝|﹣b|＝|b|．ON＝|b|．
∴OM＝ON．
∴∠NMO＝MNO＝45°．
∵⊙T和直线m的“关联点”在直线y＝x+b上，
∴当直线l：y＝x+b与以OH＝4为直径的半圆相切时，b取得最大值，
设切点为G，此时AG⊥l于点G，
∵∠NMO＝45°，
∴∠MAG＝∠GMA＝45°．
∴MG＝AG＝2．
∴MA＝2．
∴OM＝AM﹣OA＝2﹣2．
∴ON＝OM＝2﹣2，
∴b的取值范围为：﹣4＜b≤2﹣2．
10．（2022秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，点P'落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．
（1）已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
①在点P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点 　P2，P3　是线段AB关于原点O的“伴随点”；
②如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；
（2）⊙E的圆心坐标为（1，n），半径为1，如果直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）①P2，P3；
②﹣≤m≤﹣1；
（2）≤n≤．
【解答】解：（1）①∵A（1，1），B（3，1），
∴AB∥x轴，
∵OP1顺时针旋转90°后，得到点（0，1），
∴P1不是线段AB关于原点O的“伴随点”；
∵OP2顺时针旋转90°后，得到点（1，1），
∴P2是线段AB关于原点O的“伴随点”；
∵OP3顺时针旋转90°后，得到点（2，1），
∴P3是线段AB关于原点O的“伴随点”；
∴P2，P3是线段AB关于原点O的“伴随点”；
故答案为：P2，P3；
②过点D作DP⊥x轴交于点P，过点D'作D'Q⊥x轴交于点Q，
∵∠DOD'＝90°，
∴∠DOP+∠D'OQ＝90°，
∵∠DOP+∠DOP＝90°，
∴∠D'OQ＝∠DOP，
∵DO＝D'O，
∴△DOP≌△OD'P（AAS），
∴DP＝OQ，OP＝D'Q，
∵D（m，2），
∴OQ＝DP＝2，D'Q＝OP＝|m|，
∵△ABC在第一象限，
∴D'（2，﹣m），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
当D'在AC上时，m＝﹣，
当D'在AB上时，m＝﹣1，
∴﹣≤m≤﹣1时，点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”；
（2）∵E（1，n）在直线x＝1上，圆E的半径为1，
将圆E绕点O逆时针旋转90°得到圆E'，
∴圆E关于原点的“伴随点”在圆E'的内部及其边界上，
∴E'（﹣n，1），
∴E'在直线y＝1上，
∵直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，
∴当圆E'与直线y＝﹣x+2n有交点，
过E'作E'G垂直直线y＝﹣x+2n交于点G，
∵y＝﹣x+2n与直线y＝﹣x平行，
∴∠GE'R＝45°，
∵E'G≤1，
∴E'R≤，
令y＝﹣x+2n＝1，解得x＝2n﹣1，
∴R（2n﹣1，1），
∴E'R＝|2n﹣1+n|≤，
解得≤n≤，
∴≤n≤时，直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”．

一十．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2021秋•丰台区期末）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：直线PA和⊙O相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作⊙B的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明；
证明：在⊙O中，连接BA，
∵OA＝OB，AO＝AB，
∴OB＝AB．
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP＝90°（ 　直径所对的圆周角是直角　）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线（ 　经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线　）（填推理的依据）．

【答案】（1）作图见解析部分；
（2）直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）如图，直线PA即为所求；

（2）在⊙O中，连接BA，
∵OA＝OB，AO＝AB，
∴OB＝AB．
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
一十一．作图-轴对称变换（共1小题）
12．（2020秋•丰台区期末）已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．
（1）求证：∠FAB＝∠BCF；
（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）证明见解析部分．
（2）①作图见解析部分．
②结论：AF+BM＝CF，证明见解析部分．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AE，
∴∠EFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EFC＝∠ABE，
又∵∠AEB＝∠CEF，∠AEB+∠FAB＝90°，∠CEF+∠BCF＝90°，
∴∠FAB＝∠BCF．
（2）①如图：图形即为所求作．



②解：结论：AF+BM＝CF．
理由：在CF上截取点N，使得CN＝AF，连接BN．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB．
在△AFB和△CNB中，

∴△AFB≌△CNB（SAS），
∴∠ABF＝∠CBN，FB＝NB，
∴∠FBN＝∠ABC＝90°，
∴△FBN是等腰直角三角形，
∴∠BFN＝45°．
∵点B关于直线AE的对称点是点M，
∴FM＝FB，
∵CF⊥AE，∠BFN＝45°，
∴∠BFE＝45°，
∴∠BFM＝90°，
∴∠BFM＝∠FBN，
∴FM∥NB．
∵FM＝FB，FB＝NB，
∴FM＝NB，
∴四边形FMBN为平行四边形，
∴BM＝NF，
∴AF+BM＝CF．
一十二．几何变换综合题（共1小题）
13．（2021秋•丰台区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，作射线AD，满足0°＜∠DAC＜45°，在射线AD取一点E，且AE＞BC．将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EGF的度数；
（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析过程；
（2）90°；
（3）BG+CG＝AG，理由见解析过程．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）设AE与GF的交点为O，
∵线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠AFC＝∠AEB，
∵∠AFC+∠AOF＝90°，
∴∠AEB+∠EOG＝90°，
∴∠EGF＝90°；
（3）BG+CG＝AG，理由如下：
如图，延长GB至H，使CG＝BH，连接AH，

∵∠BAC＝∠EGF＝90°，
∴∠ABG+∠ACG＝180°，
∵∠ABG+∠ABH＝180°，
∴∠ABH＝∠ACG，
又∵AB＝AC，CG＝BH，
∴△ACG≌△ABH（SAS），
∴AG＝AH，∠CAG＝∠BAH，
∵∠CAG+∠BAG＝90°，
∴∠BAH+∠BAG＝90°，
∴∠GAH＝90°，
∴△HAG是等腰直角三角形，
∴HG＝AG，
∴BG+CG＝AG．
一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2020秋•丰台区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且AD•AB＝AE•AC．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若∠B＝55°，∠ADE＝75°，求∠A的度数．

【答案】（1）见试题解答内容．
（2）∠A＝50°．
【解答】（1）证明：
∵AD⋅AB＝AE⋅AC，
∴．
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
（2）解：由（1）知，△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB．
∵∠ADE＝75°，
∴∠ACB＝75°．
又∵∠B＝55°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝50°．
一十四．概率公式（共1小题）
15．（2020秋•丰台区期末）在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如图．

小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为　3　元，他使用学生卡实际支付　0.75　元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为　　．
【答案】（1）3，0.75；
（2）．
【解答】解：（1）乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，里程数为14﹣3＝11，
则原票价应为3元，
他使用学生卡实际支付3×0.25＝0.75（元），
故答案为：3、0.75；
（2）∵下车刷卡时实际支付了1元，
∴学生乙原票价为1÷0.25＝4（元），
∴学生乙乘坐的里程数再16至20之间，
由图知，学生乙上车地点可能是云岗北区、佃起村、张家坟、朱家坟、赵辛店、北京十中这6个，
∴他在佃起村上车的概率为，
故答案为：．
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2021秋•丰台区期末）小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？

【答案】．
【解答】解：列表如下：

共有9种等可能的结果，小宇获胜的结果有3种，
∴小宇获胜的概率为＝．