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北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
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这是一份北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共42页。试卷主要包含了解方程等内容，欢迎下载使用。
北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．解一元二次方程-配方法（共1小题）
1．（2022秋•东城区期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2﹣4x﹣p＝0（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2﹣4x﹣p＝0
解：移项，得2x2﹣4x＝p．①
二次项系数化为1，得x2﹣2x＝．②
配方，得x2﹣2x+1＝．③
即（x﹣1）2＝．
∵p＞0，
∴x﹣1＝±．④
∴x1＝1+，x1＝1﹣．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
二．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
2．（2021秋•东城区期末）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
三．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
3．（2019秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
4．（2022秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点（3，y1），（1，y2），（﹣1，y3），（﹣2，y4）都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 y2（用“＞”“＝”“＜”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022秋•东城区期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.67
2.63
2.95
2.63
1.67
0.07
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
五．三角形综合题（共1小题）
6．（2019秋•东城区期末）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
六．垂径定理（共1小题）
7．（2021秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长．
七．圆周角定理（共1小题）
8．（2019秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．
八．直线与圆的位置关系（共1小题）
9．（2019秋•东城区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．
九．切线的判定与性质（共2小题）
10．（2021秋•东城区期末）如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝2，求线段AB的长．
11．（2022秋•东城区期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，，求DF的长．
一十．圆的综合题（共4小题）
12．（2019秋•东城区期末）如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置…
AP
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
…
BC
6.00
5.48
4.90
4.24
3.46
2.45
…
OD
6.71
7.24
7.07
6.71
6.16
5.33
…
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为 ．
13．（2019秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．
（1）当⊙O半径为1时，
①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是 ；
②直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．
14．（2021秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ ；
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
15．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标 ；
（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
一十一．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2022秋•东城区期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ ．
∴BA OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 （填写推理依据）．
一十二．作图-旋转变换（共1小题）
17．（2021秋•东城区期末）如图．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A'．
（1）画出旋转后的图形△OA'B'，并写出点A′的坐标；
（2）求点B经过的路径BB′的长（结果保留π）．
一十三．几何变换综合题（共2小题）
18．（2021秋•东城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
19．（2022秋•东城区期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2021秋•东城区期末）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．解一元二次方程-配方法（共1小题）
1．（2022秋•东城区期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2﹣4x﹣p＝0（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2﹣4x﹣p＝0
解：移项，得2x2﹣4x＝p．①
二次项系数化为1，得x2﹣2x＝．②
配方，得x2﹣2x+1＝．③
即（x﹣1）2＝．
∵p＞0，
∴x﹣1＝±．④
∴x1＝1+，x1＝1﹣．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】（1）等式两边同除同一个不为0的数，所得结果仍是等式；
（2）见解答．
【解答】解：（1）第②步二次项系数化为1的依据是：等式两边同除同一个不为0的数，所得结果仍是等式；
（2）从第③步开始出现的错误，
正确过程如下：
移项，得2x2﹣4x＝p，
二次项系数化为1，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
即（x﹣1）2＝+1，
∵p＞0，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
二．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
2．（2021秋•东城区期末）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣2．
三．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
3．（2019秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，
解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；
（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，
将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：
k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，
∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，
当x＝4时，y＝3a+3，
所以点Q的纵坐标为3a+3．
②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
3a+3≥0，∴a≥﹣1
∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，
∴﹣1≤a＜0
当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，
当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，
所以抛物线与点P不相交．
综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜0
4．（2022秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点（3，y1），（1，y2），（﹣1，y3），（﹣2，y4）都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 ＝ y2（用“＞”“＝”“＜”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
【答案】（1）（0，3），x＝2；
（2）①＝；②﹣≤a＜﹣．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
∴当x＝0时，y＝3，函数图象的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴y轴的交点坐标为（0，3），函数图象的对称轴为直线x＝2；
（2）①∵函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴点（3，y1）和点（1，y2）关于直线x＝2对称，
∴y1＝y2；
故答案为：＝；
②∵函数图象的对称轴为直线x＝2，﹣2＜﹣1＜1＜2，y1＝y2，
∴当开口向上时，则y1＝y2＜y3＜y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中最少有两个小于零，不合题意，
当开口向下时，则y1＝y2＞y3＞y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1＝y2＞y3＞0＞y4，
∴y3≥0，y4＜0，即当x＝﹣1时，y3＝a+4a+3≥0，
x＝﹣2时，y4＝4a+8a+3＜0，
解得﹣≤a＜﹣，
∴a的取值范围为﹣≤a＜﹣．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022秋•东城区期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.67
2.63
2.95
2.63
1.67
0.07
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1 ＞ d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】（1）实心球竖直高度的最大值为2.95，函数关系式为：y＝﹣0.08（x﹣4）2+2.95；
（2）＞．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，2.95），
∴h＝4，k＝2.95，
即实心球竖直高度的最大值为2.95，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝1.67，
代入y＝a（x﹣4）2+2.95得：1.67＝a（0﹣4）2+2.95，
解得：a＝﹣0.08，
∴函数关系式为：y＝﹣0.08（x﹣4）2+2.95；
（2）第一次投掷，y＝﹣0.08（x﹣4）2+2.95，
当y＝0时，﹣0.08（x﹣4）2+2.95＝0，
解得：x＝4±，
∵x＞0，
∴x＝4+，
第二次投掷，y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97，
当y＝0时，﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97＝0，
解得：x＝3.8，
∵x＞0，
∴x＝3.8+，
∴d1＝4+＞4+＝4+＝10，d2＝3.8+＜3.8+＝3.8+6＝9.8，
∴d1＞d2，
故答案为：＞．
五．三角形综合题（共1小题）
6．（2019秋•东城区期末）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示：
猜想∠BAE＝∠BCD，理由如下：
∵CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
∴∠CDB＝∠CDA＝∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD；
②AE＝CE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE于G，如图1﹣1所示：
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
由①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AE＝AG+EG，
∴AE＝CE+DE；
（2）依题意补全图形如图2所示：CE＝AE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE的延长线于G，
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AG＝AE+EG，
∴CE＝AE+DE．
六．垂径定理（共1小题）
7．（2021秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长．
【答案】16．
【解答】解：设OM＝3x，MC＝2x，
∵⊙O的半径为10，
∴3x+2x＝10，
解得：x＝2，
即OM＝6，
连接OA，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AM＝BM，∠AMO＝90°，
由勾股定理得：BM＝AM＝＝＝8，
∴AB＝8+8＝16．
七．圆周角定理（共1小题）
8．（2019秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
八．直线与圆的位置关系（共1小题）
9．（2019秋•东城区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°；
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴＝，
∴AD＝＝；
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD；
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD；
∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．
九．切线的判定与性质（共2小题）
10．（2021秋•东城区期末）如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝2，求线段AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∵PB＝BA，
∴∠BPA＝∠BAP，
∵∠CPO＝∠BPA，
∴∠CPO＝∠BAP，
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°，
∴∠C+∠CPO＝90°，
∴∠CAO+∠BAP＝90°，
即∠BAO＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠COP＝90°，OC＝4，PC＝2，
∴OP＝＝＝2，
设BA＝BP＝x，
∵∠BAO＝90°，
∴AB2+AO2＝OB2，
∴x2+42＝（2+x）2，
∴x＝3，
∴线段AB的长为3．
11．（2022秋•东城区期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，，求DF的长．
【答案】（1）见解答；
（2）DF＝．
【解答】（1）证明连接OD．
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∵AB∥DF；
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OD＝2，
∵∠BOC＝2∠A＝60°，
∵DF∥AB，
∴∠COB＝∠F＝60°，
∴tanF＝＝，
∴DF＝．
一十．圆的综合题（共4小题）
12．（2019秋•东城区期末）如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置…
AP
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
…
BC
6.00
5.48
4.90
4.24
3.46
2.45
…
OD
6.71
7.24
7.07
6.71
6.16
5.33
…
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定 AP 的长度是自变量， BC 的长度和 OD 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为 4.5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，
故答案分别为：AP，BC，OD；
（2）如图，可先描点，再画出如图所示图象；
（3）由图象可推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为4.5，
故答案为：4.5．
13．（2019秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．
（1）当⊙O半径为1时，
①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是 P2，P3 ；
②直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．
当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，
∵∠TPM＝∠TPN＝30°，
∵TM⊥PM，TN⊥PN，
∴∠PMT＝∠PNT＝90°，
∴TP＝2TM，
以T为圆心，TP为半径作⊙T，
观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．
如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，
故答案为P2，P3．
②如图2中，设小圆交y轴的正半轴于E．
当直线y＝2x+b经过点E时，b＝1．
当直线y＝2x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，
由题意B（0，b），A（﹣，0），
∴OB＝b，OA＝，AB＝＝＝b，
∵OK＝2，•AB•OK＝•OA•OB，
∴•b×2＝•b•，
解得b＝2，
观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，
根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，
综上所述，满足条件的b的值为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．
（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x上，
∵m＞0，
∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，
∵E（m，m），
∴OM＝m，EM＝，
∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，
观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．
当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．
∵tan∠EOM＝＝，
∴∠EOM＝30°，
∵ON，OM是⊙E的切线，
∴∠EON＝∠EOM＝30°，
∴∠TOD＝30°，
∴OT＝2DT＝4，
∴T（0，4），
当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），
观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．
14．（2021秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 A1B1 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ 2或3 ；
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
【答案】（1）①A1B1；
②2或3；
（2）b的最大值为，BC＝；最小值为，BC＝．
【解答】解：（1）①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y＝x+2对称线段，如图，
发现线段A1B1的对称线段是⊙O的弦，
∴线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是A1B1，
故答案为：A1B1；
②∵从图象性质可知，直线y＝﹣x+m与x轴的夹角为45°，
∴线段A1B1⊥直线y＝﹣x+m，
∴线段A1B1关于直线y＝﹣x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦，
∵线段A3B3＝，⊙O的最长的弦为2，
∴线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，
线段A2B2是⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，
而线段A2B2∥直线y＝﹣x+m，线段A2B2＝，
∴线段A2B2的对称线段线段A2′B2′线段A2B2，且线段A2′B2′＝，
平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，
第一种情况：A2′、B2′的坐标分别为（0，1）、（1，0），
此时m＝3；
第二种情况：A2′、B2′的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣1），
此时m＝2，
故答案为：3或2；
（2）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，
当y＝0时，y＝﹣x+b＝0，
解得：x＝b，
∴OC＝b，
b最大时就是OC最大，
b最小时就是CO长最小，
∵线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，
∴线段AB关于直线y＝﹣x+b对称线段A′B′在⊙O上，
∴A′C′＝AC＝3，
在△A′CO中，A′C﹣OA′≤OC≤A′C+OA′，
∴当A′为（﹣1，0）时，如图3，OC最小，此时C点坐标为（2，0），
将点C代入直线y＝﹣x+b中，
﹣×2+b＝0，解得：b＝，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′＝A′O＝B′O＝1，
∴∠B′A′D＝60°，
∴A′D＝，B′D＝，
∴CD＝3﹣＝，
在Rt△B′DC中，B′C＝＝；
∴当A′为（1，0）时，如图4，OC最大，此时C点坐标为（4，0），
将点C代入直线y＝﹣x+b中，
﹣×4+b＝0，解得：b＝，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′＝A′O＝B′O＝1，
∴∠B′A′D＝60°，
∴A′D＝，B′D＝，
∴CD＝3+＝，
在Rt△B′DC中，B′C＝＝，
∴b的最大值为，BC＝；最小值为，BC＝．
15．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标 （2，3） ；
（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
【答案】（1）（2，3）；
（2）P（3，﹣2）；
（3）P（3，﹣3）；0≤yB≤．
【解答】解：（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到A′和A′′，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，
由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，
∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，
∴∠APO＝∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′（AAS），
∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，
∴A′（4，3），
∴A′′（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（2）分析可知，点P在x轴的下方，设点P的纵坐标为m，
如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，
由（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），
∴AE＝PF＝1﹣m，EP＝A′F＝3，
∴A′（4﹣m，3+m），
由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，
∴4﹣m＝6，3+m＝1，
解得m＝﹣2，
∴P（3，﹣2）；
（3）由（2）知A′（4﹣m，3+m），
∴A′′（m+2，3+m），
∵点A′′在⊙O上，
∴（m+2）2+（3+m）2＝1，
解得m＝﹣2（舍）或m＝﹣3；
∴P（3，﹣3），如图3，
∵线段AB＝1，
∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，
若AB其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B′′是一个临界点，
连接OB，
∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，
∴△OA′′B′′是等边三角形，
过点B′′作B′′M⊥x轴于点M，则A′′M＝OM＝，B′′M＝，
∴B′′（﹣，﹣），
∴B′（，﹣），
∴B（，），
由对称性可知，另外一点的坐标为（﹣，），
∴yB的取值范围为：0≤yB≤．
一十一．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2022秋•东城区期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ BD ．
∴BA ⊥ OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 （填写推理依据）．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）BD，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求．
（2）连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝BD．
∴BA⊥OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线），
故答案为：BD，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
一十二．作图-旋转变换（共1小题）
17．（2021秋•东城区期末）如图．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A'．
（1）画出旋转后的图形△OA'B'，并写出点A′的坐标；
（2）求点B经过的路径BB′的长（结果保留π）．
【答案】（1）图形见解答；（0，﹣5）；
（2）．
【解答】解：（1）如图所示，△OA′B′即为所求．
点A′的坐标为（0，﹣5）；
（2）由图知，∠AOA′＝90°，OB＝＝5，
∴点B在旋转过程中所走过的路径长BB′＝＝．
一十三．几何变换综合题（共2小题）
18．（2021秋•东城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 60° ；
②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
【答案】（1）BP'＝CP；（2）①60°；②AP＝2PM．
【解答】解：（1）BP'＝CP，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠2+∠3＝60°
∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP；
（2）①当∠BPC＝120°时，
则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，
∵△ABP'≌△ACP，
∴∠4＝∠5，
∴∠P'BP＝∠4+∠7
＝∠5+60°﹣∠8
＝60°﹣∠6+60°﹣∠8
＝120°﹣（∠6+∠8）
＝120°﹣60°
＝60°，
故答案为：60°；
②AP＝2PM，理由如下：
延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴四边形PBNC为平行四边形，
∴BN∥CP且BN＝CP，
∴BN＝BP'，∠9＝∠6，
又∵∠8+∠6＝60°，
∴∠8+∠9＝60°，
∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，
又∵BP＝BP，P'B＝BN，
∴△P'BP≌△NBP（SAS），
∴PP'＝PN＝2PM，
又∵△APP'为正三角形，
∴PP'＝AP，
∴AP＝2PM．
19．（2022秋•东城区期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）依题意补全图形即可；
（2）AF＝CD，证明见解析；
（3）CD+CG＝BC，证明见解析．
【解答】解：（1）依题意补全图形如图1；
（2）AF＝CD，证明如下：
∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF+∠EDF＝90°，
由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，
即∠BDC+∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠BDC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
在△EFD和△DCB中，
，
∴△EFD≌△DCB（AAS），
∴DF＝BC，
∵AC＝BC，
∴AC＝DF，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
即AF＝CD；
（3）CD+CG＝BC，证明如下：
如图2，连接FG、DG，
由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DEB＝∠DBE＝45°，
∵G为BE的中点，
∴DG＝BE＝EG，DG⊥BE，∠BDG＝∠BDE＝45°，
∴∠DGE＝90°，∠DEB＝∠BDG，
由（2）可知，△EFD≌△DCB，
∴EF＝DC，∠DEF＝∠BDC，
∴∠DEF﹣∠DEB＝∠BDC﹣∠BDG，
即∠FEG＝∠CDG，
在△EFG和△DCG中，
，
∴△EFG≌△DCG（SAS），
∴FG＝CG，∠EGF＝∠DGC，
∴∠EGF+∠CGE＝∠DGC+∠CGE＝∠DGE＝90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴CF＝CG，
∵CD+CF＝DF，DF＝BC，
∴CD+CG＝BC．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2021秋•东城区期末）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 随机 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
【答案】（1）随机；
（2）．
【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，
∴A，B两名志愿者同时被选中的概率为＝．
北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．解一元二次方程-配方法（共1小题）
1．（2022秋•东城区期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2﹣4x﹣p＝0（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2﹣4x﹣p＝0
解：移项，得2x2﹣4x＝p．①
二次项系数化为1，得x2﹣2x＝．②
配方，得x2﹣2x+1＝．③
即（x﹣1）2＝．
∵p＞0，
∴x﹣1＝±．④
∴x1＝1+，x1＝1﹣．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
二．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
2．（2021秋•东城区期末）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
三．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
3．（2019秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
4．（2022秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点（3，y1），（1，y2），（﹣1，y3），（﹣2，y4）都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 y2（用“＞”“＝”“＜”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022秋•东城区期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.67
2.63
2.95
2.63
1.67
0.07
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
五．三角形综合题（共1小题）
6．（2019秋•东城区期末）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
六．垂径定理（共1小题）
7．（2021秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长．
七．圆周角定理（共1小题）
8．（2019秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．
八．直线与圆的位置关系（共1小题）
9．（2019秋•东城区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．
九．切线的判定与性质（共2小题）
10．（2021秋•东城区期末）如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝2，求线段AB的长．
11．（2022秋•东城区期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，，求DF的长．
一十．圆的综合题（共4小题）
12．（2019秋•东城区期末）如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置…
AP
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
…
BC
6.00
5.48
4.90
4.24
3.46
2.45
…
OD
6.71
7.24
7.07
6.71
6.16
5.33
…
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为 ．
13．（2019秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．
（1）当⊙O半径为1时，
①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是 ；
②直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．
14．（2021秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ ；
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
15．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标 ；
（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
一十一．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2022秋•东城区期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ ．
∴BA OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 （填写推理依据）．
一十二．作图-旋转变换（共1小题）
17．（2021秋•东城区期末）如图．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A'．
（1）画出旋转后的图形△OA'B'，并写出点A′的坐标；
（2）求点B经过的路径BB′的长（结果保留π）．
一十三．几何变换综合题（共2小题）
18．（2021秋•东城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
19．（2022秋•东城区期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2021秋•东城区期末）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
北京市东城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．解一元二次方程-配方法（共1小题）
1．（2022秋•东城区期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2﹣4x﹣p＝0（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2﹣4x﹣p＝0
解：移项，得2x2﹣4x＝p．①
二次项系数化为1，得x2﹣2x＝．②
配方，得x2﹣2x+1＝．③
即（x﹣1）2＝．
∵p＞0，
∴x﹣1＝±．④
∴x1＝1+，x1＝1﹣．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】（1）等式两边同除同一个不为0的数，所得结果仍是等式；
（2）见解答．
【解答】解：（1）第②步二次项系数化为1的依据是：等式两边同除同一个不为0的数，所得结果仍是等式；
（2）从第③步开始出现的错误，
正确过程如下：
移项，得2x2﹣4x＝p，
二次项系数化为1，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
即（x﹣1）2＝+1，
∵p＞0，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
二．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
2．（2021秋•东城区期末）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣2．
三．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
3．（2019秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，
解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；
（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，
将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：
k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，
∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，
当x＝4时，y＝3a+3，
所以点Q的纵坐标为3a+3．
②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
3a+3≥0，∴a≥﹣1
∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，
∴﹣1≤a＜0
当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，
当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，
所以抛物线与点P不相交．
综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜0
4．（2022秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点（3，y1），（1，y2），（﹣1，y3），（﹣2，y4）都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 ＝ y2（用“＞”“＝”“＜”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
【答案】（1）（0，3），x＝2；
（2）①＝；②﹣≤a＜﹣．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
∴当x＝0时，y＝3，函数图象的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴y轴的交点坐标为（0，3），函数图象的对称轴为直线x＝2；
（2）①∵函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴点（3，y1）和点（1，y2）关于直线x＝2对称，
∴y1＝y2；
故答案为：＝；
②∵函数图象的对称轴为直线x＝2，﹣2＜﹣1＜1＜2，y1＝y2，
∴当开口向上时，则y1＝y2＜y3＜y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中最少有两个小于零，不合题意，
当开口向下时，则y1＝y2＞y3＞y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1＝y2＞y3＞0＞y4，
∴y3≥0，y4＜0，即当x＝﹣1时，y3＝a+4a+3≥0，
x＝﹣2时，y4＝4a+8a+3＜0，
解得﹣≤a＜﹣，
∴a的取值范围为﹣≤a＜﹣．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022秋•东城区期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.67
2.63
2.95
2.63
1.67
0.07
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1 ＞ d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】（1）实心球竖直高度的最大值为2.95，函数关系式为：y＝﹣0.08（x﹣4）2+2.95；
（2）＞．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，2.95），
∴h＝4，k＝2.95，
即实心球竖直高度的最大值为2.95，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝1.67，
代入y＝a（x﹣4）2+2.95得：1.67＝a（0﹣4）2+2.95，
解得：a＝﹣0.08，
∴函数关系式为：y＝﹣0.08（x﹣4）2+2.95；
（2）第一次投掷，y＝﹣0.08（x﹣4）2+2.95，
当y＝0时，﹣0.08（x﹣4）2+2.95＝0，
解得：x＝4±，
∵x＞0，
∴x＝4+，
第二次投掷，y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97，
当y＝0时，﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97＝0，
解得：x＝3.8，
∵x＞0，
∴x＝3.8+，
∴d1＝4+＞4+＝4+＝10，d2＝3.8+＜3.8+＝3.8+6＝9.8，
∴d1＞d2，
故答案为：＞．
五．三角形综合题（共1小题）
6．（2019秋•东城区期末）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示：
猜想∠BAE＝∠BCD，理由如下：
∵CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
∴∠CDB＝∠CDA＝∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD；
②AE＝CE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE于G，如图1﹣1所示：
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
由①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AE＝AG+EG，
∴AE＝CE+DE；
（2）依题意补全图形如图2所示：CE＝AE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE的延长线于G，
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AG＝AE+EG，
∴CE＝AE+DE．
六．垂径定理（共1小题）
7．（2021秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长．
【答案】16．
【解答】解：设OM＝3x，MC＝2x，
∵⊙O的半径为10，
∴3x+2x＝10，
解得：x＝2，
即OM＝6，
连接OA，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AM＝BM，∠AMO＝90°，
由勾股定理得：BM＝AM＝＝＝8，
∴AB＝8+8＝16．
七．圆周角定理（共1小题）
8．（2019秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
八．直线与圆的位置关系（共1小题）
9．（2019秋•东城区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°；
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴＝，
∴AD＝＝；
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD；
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD；
∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．
九．切线的判定与性质（共2小题）
10．（2021秋•东城区期末）如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝2，求线段AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∵PB＝BA，
∴∠BPA＝∠BAP，
∵∠CPO＝∠BPA，
∴∠CPO＝∠BAP，
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°，
∴∠C+∠CPO＝90°，
∴∠CAO+∠BAP＝90°，
即∠BAO＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠COP＝90°，OC＝4，PC＝2，
∴OP＝＝＝2，
设BA＝BP＝x，
∵∠BAO＝90°，
∴AB2+AO2＝OB2，
∴x2+42＝（2+x）2，
∴x＝3，
∴线段AB的长为3．
11．（2022秋•东城区期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，，求DF的长．
【答案】（1）见解答；
（2）DF＝．
【解答】（1）证明连接OD．
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∵AB∥DF；
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OD＝2，
∵∠BOC＝2∠A＝60°，
∵DF∥AB，
∴∠COB＝∠F＝60°，
∴tanF＝＝，
∴DF＝．
一十．圆的综合题（共4小题）
12．（2019秋•东城区期末）如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置…
AP
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
…
BC
6.00
5.48
4.90
4.24
3.46
2.45
…
OD
6.71
7.24
7.07
6.71
6.16
5.33
…
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定 AP 的长度是自变量， BC 的长度和 OD 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为 4.5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，
故答案分别为：AP，BC，OD；
（2）如图，可先描点，再画出如图所示图象；
（3）由图象可推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为4.5，
故答案为：4.5．
13．（2019秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．
（1）当⊙O半径为1时，
①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是 P2，P3 ；
②直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．
当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，
∵∠TPM＝∠TPN＝30°，
∵TM⊥PM，TN⊥PN，
∴∠PMT＝∠PNT＝90°，
∴TP＝2TM，
以T为圆心，TP为半径作⊙T，
观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．
如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，
故答案为P2，P3．
②如图2中，设小圆交y轴的正半轴于E．
当直线y＝2x+b经过点E时，b＝1．
当直线y＝2x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，
由题意B（0，b），A（﹣，0），
∴OB＝b，OA＝，AB＝＝＝b，
∵OK＝2，•AB•OK＝•OA•OB，
∴•b×2＝•b•，
解得b＝2，
观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，
根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，
综上所述，满足条件的b的值为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．
（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x上，
∵m＞0，
∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，
∵E（m，m），
∴OM＝m，EM＝，
∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，
观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．
当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．
∵tan∠EOM＝＝，
∴∠EOM＝30°，
∵ON，OM是⊙E的切线，
∴∠EON＝∠EOM＝30°，
∴∠TOD＝30°，
∴OT＝2DT＝4，
∴T（0，4），
当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），
观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．
14．（2021秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 A1B1 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ 2或3 ；
（2）已知直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
【答案】（1）①A1B1；
②2或3；
（2）b的最大值为，BC＝；最小值为，BC＝．
【解答】解：（1）①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y＝x+2对称线段，如图，
发现线段A1B1的对称线段是⊙O的弦，
∴线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是A1B1，
故答案为：A1B1；
②∵从图象性质可知，直线y＝﹣x+m与x轴的夹角为45°，
∴线段A1B1⊥直线y＝﹣x+m，
∴线段A1B1关于直线y＝﹣x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦，
∵线段A3B3＝，⊙O的最长的弦为2，
∴线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，
线段A2B2是⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，
而线段A2B2∥直线y＝﹣x+m，线段A2B2＝，
∴线段A2B2的对称线段线段A2′B2′线段A2B2，且线段A2′B2′＝，
平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，
第一种情况：A2′、B2′的坐标分别为（0，1）、（1，0），
此时m＝3；
第二种情况：A2′、B2′的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣1），
此时m＝2，
故答案为：3或2；
（2）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点C，
当y＝0时，y＝﹣x+b＝0，
解得：x＝b，
∴OC＝b，
b最大时就是OC最大，
b最小时就是CO长最小，
∵线段AB是⊙O的关于直线y＝﹣x+b（b＞0）对称的“关联线段”，
∴线段AB关于直线y＝﹣x+b对称线段A′B′在⊙O上，
∴A′C′＝AC＝3，
在△A′CO中，A′C﹣OA′≤OC≤A′C+OA′，
∴当A′为（﹣1，0）时，如图3，OC最小，此时C点坐标为（2，0），
将点C代入直线y＝﹣x+b中，
﹣×2+b＝0，解得：b＝，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′＝A′O＝B′O＝1，
∴∠B′A′D＝60°，
∴A′D＝，B′D＝，
∴CD＝3﹣＝，
在Rt△B′DC中，B′C＝＝；
∴当A′为（1，0）时，如图4，OC最大，此时C点坐标为（4，0），
将点C代入直线y＝﹣x+b中，
﹣×4+b＝0，解得：b＝，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′＝A′O＝B′O＝1，
∴∠B′A′D＝60°，
∴A′D＝，B′D＝，
∴CD＝3+＝，
在Rt△B′DC中，B′C＝＝，
∴b的最大值为，BC＝；最小值为，BC＝．
15．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标 （2，3） ；
（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
【答案】（1）（2，3）；
（2）P（3，﹣2）；
（3）P（3，﹣3）；0≤yB≤．
【解答】解：（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到A′和A′′，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，
由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，
∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，
∴∠APO＝∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′（AAS），
∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，
∴A′（4，3），
∴A′′（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（2）分析可知，点P在x轴的下方，设点P的纵坐标为m，
如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，
由（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），
∴AE＝PF＝1﹣m，EP＝A′F＝3，
∴A′（4﹣m，3+m），
由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，
∴4﹣m＝6，3+m＝1，
解得m＝﹣2，
∴P（3，﹣2）；
（3）由（2）知A′（4﹣m，3+m），
∴A′′（m+2，3+m），
∵点A′′在⊙O上，
∴（m+2）2+（3+m）2＝1，
解得m＝﹣2（舍）或m＝﹣3；
∴P（3，﹣3），如图3，
∵线段AB＝1，
∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，
若AB其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B′′是一个临界点，
连接OB，
∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，
∴△OA′′B′′是等边三角形，
过点B′′作B′′M⊥x轴于点M，则A′′M＝OM＝，B′′M＝，
∴B′′（﹣，﹣），
∴B′（，﹣），
∴B（，），
由对称性可知，另外一点的坐标为（﹣，），
∴yB的取值范围为：0≤yB≤．
一十一．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2022秋•东城区期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ BD ．
∴BA ⊥ OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 （填写推理依据）．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）BD，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求．
（2）连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝BD．
∴BA⊥OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线），
故答案为：BD，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
一十二．作图-旋转变换（共1小题）
17．（2021秋•东城区期末）如图．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A'．
（1）画出旋转后的图形△OA'B'，并写出点A′的坐标；
（2）求点B经过的路径BB′的长（结果保留π）．
【答案】（1）图形见解答；（0，﹣5）；
（2）．
【解答】解：（1）如图所示，△OA′B′即为所求．
点A′的坐标为（0，﹣5）；
（2）由图知，∠AOA′＝90°，OB＝＝5，
∴点B在旋转过程中所走过的路径长BB′＝＝．
一十三．几何变换综合题（共2小题）
18．（2021秋•东城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 60° ；
②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
【答案】（1）BP'＝CP；（2）①60°；②AP＝2PM．
【解答】解：（1）BP'＝CP，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠2+∠3＝60°
∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP；
（2）①当∠BPC＝120°时，
则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，
∵△ABP'≌△ACP，
∴∠4＝∠5，
∴∠P'BP＝∠4+∠7
＝∠5+60°﹣∠8
＝60°﹣∠6+60°﹣∠8
＝120°﹣（∠6+∠8）
＝120°﹣60°
＝60°，
故答案为：60°；
②AP＝2PM，理由如下：
延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴四边形PBNC为平行四边形，
∴BN∥CP且BN＝CP，
∴BN＝BP'，∠9＝∠6，
又∵∠8+∠6＝60°，
∴∠8+∠9＝60°，
∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，
又∵BP＝BP，P'B＝BN，
∴△P'BP≌△NBP（SAS），
∴PP'＝PN＝2PM，
又∵△APP'为正三角形，
∴PP'＝AP，
∴AP＝2PM．
19．（2022秋•东城区期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）依题意补全图形即可；
（2）AF＝CD，证明见解析；
（3）CD+CG＝BC，证明见解析．
【解答】解：（1）依题意补全图形如图1；
（2）AF＝CD，证明如下：
∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF+∠EDF＝90°，
由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，
即∠BDC+∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠BDC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
在△EFD和△DCB中，
，
∴△EFD≌△DCB（AAS），
∴DF＝BC，
∵AC＝BC，
∴AC＝DF，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
即AF＝CD；
（3）CD+CG＝BC，证明如下：
如图2，连接FG、DG，
由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DEB＝∠DBE＝45°，
∵G为BE的中点，
∴DG＝BE＝EG，DG⊥BE，∠BDG＝∠BDE＝45°，
∴∠DGE＝90°，∠DEB＝∠BDG，
由（2）可知，△EFD≌△DCB，
∴EF＝DC，∠DEF＝∠BDC，
∴∠DEF﹣∠DEB＝∠BDC﹣∠BDG，
即∠FEG＝∠CDG，
在△EFG和△DCG中，
，
∴△EFG≌△DCG（SAS），
∴FG＝CG，∠EGF＝∠DGC，
∴∠EGF+∠CGE＝∠DGC+∠CGE＝∠DGE＝90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴CF＝CG，
∵CD+CF＝DF，DF＝BC，
∴CD+CG＝BC．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2021秋•东城区期末）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 随机 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
【答案】（1）随机；
（2）．
【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，
∴A，B两名志愿者同时被选中的概率为＝．
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