北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共39页。试卷主要包含了已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，已知等内容，欢迎下载使用。

北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数综合题（共1小题）
1．（2021秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O（0，0），Q（1，0）．
（1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是线段OQ的“潜力点”是 　 　；
（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；
（3）直线y＝2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围．

二．二次函数的性质（共2小题）
2．（2022秋•昌平区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象直接写出自变量0≤x≤3时，函数的最大值和最小值．

3．（2022秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（3a，y2），C（2，y3）（点B，C不重合）在抛物线y＝x2﹣2x（a≠0）上．
（1）当a＝1时，求二次函数的顶点坐标；
（2）①若y2＝y3，则a的值为 　 　；
②已知二次函数的对称轴为t，当y1＞y3＞y2时，求t的取值范围．
三．抛物线与x轴的交点（共2小题）
4．（2020秋•昌平区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．

5．（2021秋•昌平区期末）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y＜0时，自变量x的取值范围．

四．二次函数的应用（共2小题）
6．（2021秋•昌平区期末）随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元．销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）．
（1）求出w与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
7．（2022秋•昌平区期末）小张在学校进行定点M处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x米时，球心距离地面的高度为y米，现测量第一次投篮数据如下：
x/m
0
2
4
6
…
y/m
1.8
3
3.4
3
…

请你解决以下问题：
（1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）若小昊在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
（3）第二次在定点M处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
五．三角形综合题（共2小题）
8．（2021秋•昌平区期末）已知∠POQ＝120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB＝AD，连接AD．
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP＝∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD＝OB+OC一定成立，并证明．


9．（2022秋•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，AD＝AC，连接CD，点E是CB上一点，CE＝DB，过点E作CD的垂线分别交CD，AB于F，G．
（1）依题意补全图形；
（2）∠BCD＝α，求∠CAB的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AG，AC，BC之间的数量关系，并证明．

六．切线的判定与性质（共2小题）
10．（2021秋•昌平区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．

11．（2022秋•昌平区期末）已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，
AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）如果正方形边长为2，求BG的长．

七．圆的综合题（共2小题）
12．（2020秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．
已知A（﹣4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，﹣4）．
（1）d（点A，点C）＝　 　，d（点A，线段BD）＝　 　；
（2）⊙O半径为r，
①当r＝1时，求⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
②若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r＝　 　．
（3）M为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标m的取值范围．
13．（2022秋•昌平区期末）已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．
（1）若C（﹣2，0）．
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是 　 　；
②若直线y＝kx+（k≠0）．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；
（2）点C在线段AB上，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．

八．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2020秋•昌平区期末）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；
②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；
③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；
④作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴点A是OE的中点．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于点A　 　（填推理的依据）．
同理PB⊥OB于点B．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（　 　）（填推理的依据）．

15．（2021秋•昌平区期末）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P．
点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接PC，BD．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC＝BD，
∴∠　 　＝∠　 　．
∴∠BAC＝∠CAD．
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD．（ 　 　）（填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC．

九．作图-轴对称变换（共1小题）
16．（2020秋•昌平区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上的动点（BD＞CD），作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，作直线CE，交射线AD于点F．连接AE，BF．
（1）依题意补全图形，直接写出∠AFE的度数；
（2）用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．

一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2020秋•昌平区期末）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
18．（2020秋•昌平区期末）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园的仿古建筑“弘文阁”AB的高度．他们先在点C处用高1.5米的测角仪CE测得“弘文阁”顶A的仰角为30°，然后向“弘文阁”的方向前进18m到达D处，在点D处测得“弘文阁”顶A的仰角为50°．求“弘文阁”AB的高（结果精确到0.1m，参考数据：tan50°≈1.19，tan40°≈0.84，≈1.73）．


北京市昌平区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数综合题（共1小题）
1．（2021秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O（0，0），Q（1，0）．
（1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是线段OQ的“潜力点”是 　P3　；
（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；
（3）直线y＝2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围．

【答案】（1）P3．
（2）﹣≤xp＜﹣．
（3）1＜b≤或＜b＜﹣1．
【解答】解：（1）在坐标系中找到P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）三点，如图，

根据“潜力点”的定义，可知P3是线段OQ的潜力点．
故答案为：P3；
（2）∵点P为线段OQ的“潜力点”，
∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2，

∵OQ＜PO，
∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外．
∵PO＜PQ，
∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧．
∵PO≤2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．
又∵点P在直线y＝x上，
∴点P在如图所示的线段AB上（不包含点B）．
由题意可知△BOC和△AOD是等腰三角形
∴BC＝AD＝
∴﹣≤xp＜﹣．
（3）如图①，当直线MN与半径长为2的圆相切时，开始有“潜力点”，且点E是“潜力点”；
过点O作OE⊥MN，
则OE＝2，ME＝1，
∴OM＝，
则b＝ON＝2；
点N继续当下运动，如图②，当点N与点（0，1）重合时，开始没有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；
此时b＝1；
如图③，当点N与（0，﹣1），重合时，开始有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；
此时b＝﹣1；
如图④，当线段MN过点G时，开始没有“潜力点”，且点G不是“潜力点”；
此时G（，﹣），
∴2×+b＝，
∴b＝﹣﹣1．

综上所示，b的取值范围为：1＜b≤或＜b＜﹣1．
二．二次函数的性质（共2小题）
2．（2022秋•昌平区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象直接写出自变量0≤x≤3时，函数的最大值和最小值．

【答案】（1）（1，﹣4）；
（2）函数图象见解答；
（3）当自变量0≤x≤3时，函数的最大值是0，最小值值是﹣4．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣3）（x+1），
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4），与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0），与y轴交于点（0，﹣3），过点（2，﹣3），
函数图象如图所示；
（3）由图象可得，
当自变量0≤x≤3时，函数的最大值是0，最小值值是﹣4．

3．（2022秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（3a，y2），C（2，y3）（点B，C不重合）在抛物线y＝x2﹣2x（a≠0）上．
（1）当a＝1时，求二次函数的顶点坐标；
（2）①若y2＝y3，则a的值为 　﹣2　；
②已知二次函数的对称轴为t，当y1＞y3＞y2时，求t的取值范围．
【答案】（1）二次函数的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）①﹣2；②t＜﹣2或＜t＜．
【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣2x＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）①∵y2＝y3，
∴B，C关于对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a，
∴＝a，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2；
②由题意t＝a，
当3a＜﹣1，即a＜﹣时，
∵y1＞y3，
∴a＞，
解得a＜﹣2；
当﹣1＜3a＜0，即﹣＜a＜0时，
∵y1＞y3，
∴a＞，
解得a＜﹣2，
∴此情况无解；
当0＜3a＜2，即0时，
∵y1＞y3，
∴a＞，
∵y3＞y2，
∴a＜，
解得a＞﹣2，
∴＜a＜；
当3a＞2，即a＞时，
∵y1＞y3，
∴a＞，
∵y3＞y2，
∴a＞，
解得a＜﹣2，
∴此情况无解．
综上所述，a＜﹣2或＜a＜，即t＜﹣2或＜t＜．
三．抛物线与x轴的交点（共2小题）
4．（2020秋•昌平区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．

【答案】（1）该函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），函数图象见解答，
（2）﹣1＜x＜3．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，x＝2时，y＝﹣3，
函数图象如图所示；
（2）由图象可得，
当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．

5．（2021秋•昌平区期末）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y＜0时，自变量x的取值范围．

【答案】（1）顶点坐标为（2，﹣1），与x轴交点坐标为（1，0）（3，0）．
（2）图象见解答，1＜x＜3．
【解答】（1）解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1）．
令y＝0，则x2﹣4x+3＝0．
解得x1＝1，x2＝3．
∴图象与x轴交点坐标为（1，0）（3，0）．
（2）如图，

当y＜0时，自变量x的取值范围为1＜x＜3．
四．二次函数的应用（共2小题）
6．（2021秋•昌平区期末）随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元．销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）．
（1）求出w与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）w＝﹣2x2+120x﹣1600．
（2）当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．
【解答】解：（1）由题意可得w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600．
∴w与x的关系式为w＝﹣2x2+120x﹣1600．
（2）∵w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵20≤x≤40，且a＝﹣2＜0，
∴当x＝30时，y最大值＝200．
答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．
7．（2022秋•昌平区期末）小张在学校进行定点M处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x米时，球心距离地面的高度为y米，现测量第一次投篮数据如下：
x/m
0
2
4
6
…
y/m
1.8
3
3.4
3
…

请你解决以下问题：
（1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）若小昊在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
（3）第二次在定点M处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
【答案】（1）图象见解答；
（2）小昊不能能阻止此次投篮，理由见解答；
（3）小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米．
【解答】解：（1）描点，连线，作出函数图象，

（2）小昊不能能阻止此次投篮，理由：
由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为（4，3.4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，
把（2，3）代入解析式得：3＝a（2﹣4）2+3.4，
解得a＝﹣0.1，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4，
当x＝1时，y＝﹣0.9+3.4＝2.5＞2.4，
∴小昊不能能阻止此次投篮；
（3）根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4+m，
∵第二次篮球运行的抛物线经过（6.5，3.05），
∴3.05＝﹣0.1（6.5﹣4）2+3.4+m，
解得m＝0.275，
答：小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米．
五．三角形综合题（共2小题）
8．（2021秋•昌平区期末）已知∠POQ＝120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB＝AD，连接AD．
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP＝∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD＝OB+OC一定成立，并证明．


【答案】（1）补全图形如图1所示；
（2）证明见解答过程；
（3）150°．
【解答】（1）解：补全图形如图1所示；
（2）证明：如图2，在BQ上截取BE＝AO，连接CE，
∵△ABC为等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵∠POQ＝120°，
∴∠CAO+∠CBO＝180°，
∵∠CBO+∠CBE＝180°，
∴∠CAO＝∠CBE，
在△CAO和△CBE中，
，
∴△CAO≌△CBE（SAS），
∴CO＝CE，∠COA＝∠CEB，
∴∠COE＝∠CEB，
∴∠COP＝∠COQ；
（3）解：∠DAB＝150°时，CD＝OB+OC，
证明如下：∵∠DAB＝150°，DA＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝15°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝150°，
∵AD＝AB＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝15°，
∴∠DBC＝∠DCB＝75°，
∴DB＝DC，
∵∠POQ＝120°，∠BDC＝30°，
∴∠DFO＝90°，
∵AD＝AC，
∴DF＝FC．
∴DO＝OC，
∴DB＝DO+OB＝CO+OB，
∴CD＝OB+OC．



9．（2022秋•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，AD＝AC，连接CD，点E是CB上一点，CE＝DB，过点E作CD的垂线分别交CD，AB于F，G．
（1）依题意补全图形；
（2）∠BCD＝α，求∠CAB的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AG，AC，BC之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）图形见解析；
（2）∠CAB＝2α；
（3）AG+AC＝BC，证明见解析．
【解答】解：（1）依题意补全图形如下：

（2）∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣α，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
∴∠CAB＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；
（3）AG+AC＝BC，证明如下：
如图，延长CA、EG交于点H，过B作BM⊥BC交CD的延长线于点M，

则∠CBM＝90°，
∵EG⊥CD，
∴∠EFC＝∠DFG＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣α，
∵∠ADC＝90°﹣α，
∴∠AGH＝∠DGF＝α，
由（2）可知，∠CAB＝2α，
∴∠H＝∠CAB﹣∠AGH＝α，
∴∠AGH＝∠H，
∴AH＝AG，
∵∠CBM＝90°，
∴∠M＝90°﹣∠BCD＝90°﹣α，
∵∠BDM＝∠ADC＝90°﹣α，
∴∠M＝∠BDM，
∴BD＝BM，
∵CE＝BD，
∴CE＝BM，
在△CEH和△BMC中，
，
∴△CEH≌△BMC（AAS），
∴CH＝BC，
∵AH+AC＝CH，AH＝AG，
∴AG+AC＝BC．
六．切线的判定与性质（共2小题）
10．（2021秋•昌平区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
∵AB⊥CD于点E，
∴∠CEB＝90°．
∴∠OBC+∠BCD＝90°．
∴∠OCB+∠BCD＝90°．
∵∠BCP＝∠BCD，
∴∠OCB+∠BCP＝90°．
∴OC⊥CP．
∵OC是半径，
∴CP是⊙O的切线．
（2）∵AB⊥CD于点E，
∴E为CD中点．
∵O为GD中点，
∴OE为△DCG的中位线．
∴GC＝2OE＝6，OE∥GC．

∵AO∥GC
∴△GCF∽△OAF．
∴＝．
∵GF+OF＝5，
∴OF＝．
11．（2022秋•昌平区期末）已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，
AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）如果正方形边长为2，求BG的长．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝90°，
∴AF是⊙O的直径；
∵∠A＝∠BOF，∠G+∠BOF＝90°．
∴∠A+∠G＝90°，
∴∠AFG＝90°，
∴FG是⊙O的切线；
（2解：连接OE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
过O作OH⊥BC于H，
则四边形OECH是矩形，BH＝FH，
∴OH＝CE，CH＝OE，
∵AO＝OF，
∴OH＝AB＝1，
设OB＝OE＝CH＝r，
∴BH＝2﹣r，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝（2﹣r）2+12，
∴r＝，
∴AF＝，BF＝，
∵∠ABF＝∠FBG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝∠AFB+∠BFG＝90°，
∴∠BAF＝∠BFG，
∴△ABF∽△FBG，
∴＝，
∴BG＝＝＝．

七．圆的综合题（共2小题）
12．（2020秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．
已知A（﹣4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，﹣4）．
（1）d（点A，点C）＝　8　，d（点A，线段BD）＝　4　；
（2）⊙O半径为r，
①当r＝1时，求⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
②若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r＝　2﹣1或5　．
（3）M为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标m的取值范围．
【答案】（1）8，4．
（2）①2﹣1．
②2﹣1或5．
（3）﹣6＜m＜2﹣4或4﹣26．
【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知d（点A，点C）＝AC＝8，d（点A，线段BD）＝OA＝4．

故答案为：8，4．

（2）①如图2中，过点O作OH⊥BC于H，交⊙O于F．

∵OB＝OC＝4，
∴BC＝＝4，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴OH＝BC＝2，
∴FH＝OH﹣OF＝2﹣1，
∴⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）＝2﹣1．

②当d（⊙O，正方形ABCD）＝1时，
当⊙O在正方形ABCD内部时，FH＝1，
∴r＝OF＝OH﹣FH＝2﹣1，
当正方形ABCD在⊙O的内部时，r＝5，
综上所述，满足条件的r的值为2﹣1或5．
故答案为：2﹣1或5．

（3）如图3中，当⊙M′在BC的左侧时，过点M′作MH⊥BC于H，交⊙O于F．

当FH＝1时，MH＝CH＝1+1＝2，
∴CM′＝2，
∴M′O＝4﹣2，
当⊙M在BC的右侧时，M（6，0）时，d（⊙M，正方形ABCD）＝1，
观察图象可知，满足条件的点M的坐标为：4﹣2＜m＜6．
根据对称性可知，﹣6＜m＜2﹣4也满足条件．
综上所述，m的取值范围为：﹣6＜m＜2﹣4或4﹣26．
13．（2022秋•昌平区期末）已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．
（1）若C（﹣2，0）．
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是 　P1，P2　；
②若直线y＝kx+（k≠0）．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；
（2）点C在线段AB上，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．

【答案】（1）①P1，P2；
②；
（2）﹣2﹣2≤b≤2+2．
【解答】解：（1）①连接OP，
∵P点是弦MN的中点，
∴OP⊥MN，
∴∠CPO＝90°，
∴P点在以CO为直径的圆上，
∵C（﹣2，0），
∴P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
∵点P1（0，0），P2（﹣1，1）在该圆上，
∴点P1（0，0），P2（﹣1，1）是关于MN的“折弦点”，
故答案为：P1，P2；
②由①可知，P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
设圆心D（﹣1，0），
∵直线y＝kx+（k≠0）上只存在一个关于MN的“折弦点”，
∴直线y＝kx+（k≠0）与圆D相切，
过点D作DF垂直直线y＝kx+交于点F，
∵直线y＝kx+与x轴交于点E（﹣，0），与y轴交于点G（0，），
∴DE＝﹣1+，OF＝，OG＝，
∵∠DFE＝∠EOG＝90°，
∴△EGO∽△EFD，
∴＝，
∴＝，
解得k＝；
（2）由（1）可知，P点在以OC为直径的圆上，
∵直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，
∴直线y＝x+b与圆D相交或相切，
过D点作DF垂直直线y＝x+b交于点F，
∵直线y＝x+b与x轴交于点（﹣b，0），与y轴交于点（0，b），
当C点与A点重合时，b有最大值，此时D（﹣2，0），
∴（﹣2+b）2＝8，
解得b＝2+2或b＝2+2（舍）；
当C点与B点重合时，b有最小值，此时D（2，0），
∴（﹣b﹣2）2＝8，
解得b＝2﹣2（舍）或b＝﹣2﹣2；
∴﹣2﹣2≤b≤2+2时，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”．


八．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2020秋•昌平区期末）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；
②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；
③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；
④作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴点A是OE的中点．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于点A　（三线合一）　（填推理的依据）．
同理PB⊥OB于点B．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（　经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线　）（填推理的依据）．

【答案】（1）作图见解析部分．
（2）（三线合一），经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）补全图形如图：


（2）证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴点A是OE的中点，
∵PO＝PE．
∴PA⊥OA于点A（三线合一），
同理PB⊥OB于点B，
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：（三线合一），经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线．
15．（2021秋•昌平区期末）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P．
点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接PC，BD．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC＝BD，
∴∠　BAC　＝∠　BAD　．
∴∠BAC＝∠CAD．
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD．（ 　一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半　）（填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC．

【答案】（1）见解答；（2）BAC，BAD，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【解答】解：（1）如图所示．

（2）证明：连接PC，BD．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC＝BD，
∴∠BAC＝∠BAD．
∴∠BAC＝∠CAD．
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半），
∴∠APC＝∠BAC．
故答案为：BAC，BAD，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
九．作图-轴对称变换（共1小题）
16．（2020秋•昌平区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上的动点（BD＞CD），作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，作直线CE，交射线AD于点F．连接AE，BF．
（1）依题意补全图形，直接写出∠AFE的度数；
（2）用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）补图如图，∠AFE＝45°；
（2）CF+BF＝AF．
【解答】解：（1）补图如图，∠AFE＝45°，

如图，延长FB至点M使MB＝CF，
由对称可知：∠ABF＝∠AEF，AB＝AE，∠AFB＝∠AFE，
∵AB＝AC，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEF；
∴∠ACE＝∠ABF，
∴∠ABM＝∠ACF，
∵AB＝AC，
在△AMB和△AFC中，
，
∴△AMB≌△AFC（SAS），
∴∠MAB＝∠FAC，AM＝AF，
∴∠MAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC，
即∠MAF＝∠BAC＝90°，
∴∠AFB＝∠AFE＝45°；

（2）CF+BF＝AF，
延长FB至点M使MB＝CF，
由对称可知：∠ABF＝∠AEF，AB＝AE，∠AFB＝∠AFE，
∵AB＝AC，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEF；
∴∠ACE＝∠ABF，
∴∠ABM＝∠ACF，
∵AB＝AC，
在△AMB和△AFC中，
，
△AMB≌△AFC（SAS），
∴∠MAB＝∠FAC，AM＝AF，
∴∠MAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC，
即∠MAF＝∠BAC＝90°，
∴∠AFB＝∠AFE＝45°；
∴MF＝AF，
即MB+BF＝AF，
∴CF+BF＝AF．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2020秋•昌平区期末）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．

【答案】（1）证明过程见解答部分；
（2）．
【解答】（1）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD．
∵∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD；

（2）∵△ABC∽△ACD，
∴．
∵AB＝2，AC＝3，
∴AD＝．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
18．（2020秋•昌平区期末）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园的仿古建筑“弘文阁”AB的高度．他们先在点C处用高1.5米的测角仪CE测得“弘文阁”顶A的仰角为30°，然后向“弘文阁”的方向前进18m到达D处，在点D处测得“弘文阁”顶A的仰角为50°．求“弘文阁”AB的高（结果精确到0.1m，参考数据：tan50°≈1.19，tan40°≈0.84，≈1.73）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题可知：GB＝DF＝CE＝1.5，∠AEG＝30°，FE＝18m，∠AFG＝50°．
∴∠GAE＝60°∠GAF＝40°．
在Rt△AGE中，∠GAE＝60°，
∴tan∠GAE＝，
∴GE＝tan60°•AG．
在Rt△AFG中，∠GAF＝40°，
∴tan∠GAF＝，
∴GF＝tan40°•AG．
∵EF＝EG﹣GF，EF＝18m，
∴tan60°•AG﹣tan40°•AG＝18．
∴AG≈20.2（m）．
∴AB＝AG+GB≈21.7（m）．
答：“弘文阁”AB高约21.7m．