北师大版九年级上册6 应用一元二次方程课后复习题

这是一份北师大版九年级上册6 应用一元二次方程课后复习题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2.6应用一元二次方程
一、单选题
1．某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为，根据题意列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据所设未知数，先表示出该公司2、3两个月生产量，再列方程即可．
【解析】
解：设该公司2、3月的生产量的月平均增长率为x，
依题意，得：250+250（1+x）+250（1+x）2=910．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．某单位要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排20场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？若设x个球队参加比赛，则可列方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据每个球队都要参加场比赛，但是每两队之间都赛一场，所以比赛的总场数为，由此可列出方程．
【解析】
设x个球队参加比赛，根据题意有

故选：A．
【点睛】
本题主要考查列一元二次方程，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
3．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）

A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【答案】A
【分析】
设栅栏AB的长为x米，根据AD＋AB＋BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．
【解析】
解：设栅栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，x（55﹣x）＝375，
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是表示出矩形的宽,难度不大.
4．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（）人．
A．40 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x人，则一轮传染后共有（1+x）人被传染，两轮传染后共有[（1+x）+x(1+x)]人被传染，由题意列方程计算即可．
【解析】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
由题意，得：（1+x）+x(1+x)=81，
即x2+2x﹣80=0，
解得：x1=8，x2=﹣10（不符合题意，舍去），
故每轮传染中平均一个人传染了8人，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
5．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　）
A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12
C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002
【答案】D
【分析】
1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
【解析】
解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.
设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，
依题意得：x2+（x+68）2＝1002.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键．
6．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球（为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则应满足的方程是（）
A．4（1＋）＝64 B．4（1＋）＝400 C．4＝64 D．4＝400
【答案】C
【分析】
原有4个红球，1分钟后红球数为个，2分钟新增加的红球数为个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论．
【解析】
根据题意得：，
即：，
故选：C．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键．
7．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（）
A．12元 B．10元 C．11元 D．9元
【答案】B
【分析】
设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．
【解析】
设应降价x元
则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800
解得：x=4或x=10
∵要尽快较少库存，∴x=4舍去
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程利润问题的应用，需要注意最后有2个解，需要按照题干要求舍去其中一个解．
8．一个容器盛满纯药液千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液利下千克，那么每次倒出的药液是（）
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
【答案】B
【分析】
设每次倒出药液升，根据倒出两次后容器内的纯药液剩下28千克，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】
解：设每次倒出药液升，第一次倒出后剩升药液，第二次倒出后还剩升药液，即列方程为:，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【解析】
试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故选B.
10．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
略


二、填空题
11．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由600元降为384元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，则可列方程为_________．
【答案】600（1﹣x）2=384．
【分析】
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是600（1﹣x），第二次后的价格是600（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解析】
解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
600（1﹣x）2=384，
故答案为：600（1﹣x）2=384．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握此类问题中的等量关系的确定方法．在存在基础量a的前提下，若连续增长（或降低）n次，且平均增长（或降低）率为x，则增长后的数量为（或降低后的数量为），我们可以把它作为一个固定的公式来理解．
12．有1个人得了传染病，传染2轮后共有100人患病，如果不加控制，5轮传染后共有___________人患病．
【答案】100000
【分析】
设一个患者一次传染给x人,由题意得，解方程即可；
【解析】
设一个患者一次传染给x人，
由题意，得，
解得（舍去），
即平均每轮传染中1个人传染了9个人．
如果不加控制，5轮传染后患病的人数是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
13．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为，列出关于的方程：______.
【答案】
【分析】
用x表示出十位上数，即可表示出这个两位数，再根据题目条件列出方程化简即可.
【解析】
∵个位上的数字为，个位上的数字比十位上的数字小4
∴十位上的数字为
所以这个两位数为
∵个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4
∴
化简得
故答案为.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用——数字问题，解题的关键是正确的表示出这个两位数，从而建立方程.
14．一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为_____．
【答案】20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【分析】
设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1-20%）（1-x）元，第三年折旧后的而价格为20（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程．
【解析】
设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得
20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【点睛】
一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．
15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是个，则每个支干长出的小分支数目为________．
【答案】
【分析】
设支干的数目为x，则小分支的数目为x2，根据题意总数为x2+x+1=91即可得到结论.
【解析】
解：设支干的数目为x个，根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得:x=9或x=-10(不符合题意，舍去)；
则：x=9；
故答案为x=9.
【点睛】
设未知数是列方程解应用题时的一个重要环节，根据应用题的实际特征，灵活地设出未知数，可使解题过程得到简化，此题设支干的数目为x为关键.
16．如图是一个的正方形格子，要求横、竖、对角线上的三个数之和相等，请根据图中提供的信息求出等于_____．

【答案】7
【分析】
用不同字母填满表格，然后根据“横、竖、对角线上的三个数之和相等”列出等式，找出字母间的关系，列方程求解即可．
【解析】
设表格的数如下图．
2
a
b
c
6
d
m
1
e
∵横、竖、对角线上的三个数之和相等，
∴2+6+e=a+6+1，
∴a=e+1．
∵2+a+b=a+6+1，
∴b=5．
∵m+6+b=a+6+1，
∴m=a+1-b=e+1+1-5=e-3．
∵m+1+e=1+6+a，
∴e-3+1+e=1+6+e+1，
∴e=10，
∴m=e-3=10-3=7．
故答案为：7.．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．利用相等关系“横、竖、对角线上的三个数之和相等”列方程是解答本题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持四边形DFCE(点E，F分别在AC，BC上)为平行四边形，则出发________s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.

【答案】1或5
【分析】
设点D从点A出发x秒时，四边形DFCE的面积为20cm2．根据S四边形DECF＝S△ABC−S△ADE−S△BDF，列出方程求解即可．
【解析】
设点D从点A出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
由题意，得－－＝20，
解得x1＝1，x2＝5，
故答案为1或5.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用及等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用面积之间的关系建立方程是关键．
18．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售,增加盈利，尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价______元.
【答案】20
【分析】
利用平均每天售出的件数×每件盈利=每天的利润列出方程解答即可．
【解析】
解：设每件衬衫应降价x元．根据题意，得：
（40-x）（20+2x）=1200
整理，得x2-30x+200=0
解得x1=10，x2=20． 
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应略去，
∴x=20．
故答案为：20．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
19．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为_____．

【答案】144
【分析】
根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
【解析】
根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x（x+16）=192，
解得：x1=8，x2=-24（不合题意舍去），
故最小的三个数为：8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，
故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
故答案为144.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
20．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为_____元．
【答案】5740
【分析】
根据题意可得A礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼成本x元，一个禄字饼成本（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可．
【解析】
解：设A礼盒成本价格a元，根据题意，得
96﹣a＝20%a，
解得a＝80，
∵A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼，
∴2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元，
∴1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元，
设个福字饼成本价x元，1个禄字饼成本价（40﹣x）元，则1个寿字饼成本价为（40﹣x）元，
A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，
根据题意，得
m+n＝78
80m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×（40﹣x）]
∴xn＝20n+250
设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有
w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n×（40﹣x）
＝80（m+n）﹣500
＝80×78﹣500
＝5740．
故答案为：5740．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是求出A礼盒的成本．

三、解答题
21．2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有64人患病．
（1）求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人；
（2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？
【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人；（2）第三轮传染将又有448个健康的人患病．
【分析】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）利用经过两轮传染后的人数乘以每轮平均传染人数，即可求出结论．
【解析】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个健康的人．
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人．
（2）（个）．
答：第三轮传染将又有448个健康的人患病．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．某工厂一种产品2017年的产量是100万件，计划2019年产量达到121万件．假设2017年到2019年这种产品产量的年增长率相同．
（1）求2017年到2019年这种产品产量的年增长率；
（2）2018年这种产品的产量应达到多少万件？
【答案】（1）10%；（2）110．
【分析】
（1）根据题意设年平均增长率为，则第一年的产量为，第二年产量为，据此进一步列出方程求解即可；
（2）根据题意可知，2018年产量为，据此进一步代入计算即可.
【解析】
（1）2017年到2019年这种产品产量的年增长率，
则：，
解得：或（舍去），
答：2017年到2019年这种产品产量的年增长率10%；
（2）2018年这种产品的产量为：（万件），
答：2018年这种产品的产量应达到110万件．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.
23．如图，要建一个底面积为130平方米的鸡场，鸡场一边靠墙(墙长16米)，并在与墙平行的一边开道1米宽的门，现有能围成32米长的木板．求鸡场的长和宽各是多少米？

【答案】鸡场的长和宽分别为13m，10m．
【分析】
设鸡场的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为（32-2x+1），而鸡场的面积为130m2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解析】
解：设鸡场的垂直于墙的一边长为x，
依题意得（32-2x+1）x=130，
2x2-33x+130=0，
（x-10）（2x-13）=0，
∴x1=10或x2=6.5，
当x1=10时，32-2x+1=13＜16；
当x2=6.5时，32-2x+1=20＞16，不合题意舍去．
答：鸡场的长和宽分别为13m，10m．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
24．服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【答案】20
【分析】
设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，由此即可列出方程（40-x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．
【解析】
如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件；
设每件童装应降价x元，
依题意得(40−x)(20+2x)=1200，
整理得，
解之得，
因要减少库存，故x=20.
答：每件童装应降价20元.
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于结合实际列出相应的一元二次方程.
25．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：

（1）当时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；
（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？
（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？
【答案】（1）；（2）120；（3）该商店可能购进并销售学习机80台或30台
【分析】
（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价均减少5元，可列式；
（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，在计算x=60时的进价和售价，可得利润；
（3）分当x＞40,和当x≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可；
【解析】
（1）由题意可知当时，每台学习机的售价为．
（2）设题图中直线的解析式为．
把和代入得
解得
故直线解析式为．
当时，进价为（元），
售价为（元），
则每台学习机可以获利（元）．
（3）当时，每台学习机的利润是，则．
解得（舍去）．
当时，每台学习机的利润是，则，
解得（舍去）．
答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用和函数图形的知识点，准确理解是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动．

（1）如果点P、Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC的面积的？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2秒或4秒时，△PCQ的面积为8cm2；（2）不存在；理由见解析．
【分析】
（1）设秒后，可使△PCQ的面积为8cm2，根据三角形的面积公式即可列式求解；
（2）设秒时，四边形APQB的面积等于△ABC的面积的，则△PCQ的面积是△ABC的面积的，根据三角形的面积公式列方程，根据根的判别式进行判断即可．
【解析】
解：（1）设秒后，△PCQ的面积为8cm2，
由题意，得，
解得，，
所以，2秒或4秒时，△PCQ的面积为8cm2；
（2）不存在．理由如下：
设秒时，四边形APQB的面积等于△ABC的面积的，则△PCQ的面积是△ABC的面积的．
由题意，得，即，
由于，方程没有实数根，
所以，不存在某一时刻使四边形APQB的面积等于△ABC面积的．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式求解．
27．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．
（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？
（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分别比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值．
【答案】（1）50，25；（2）20
【分析】
（1）先将10.5万元化为105000元，设该乡镇有名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x名初中学生受到资助，由题意得一元一次方程，求解即可；
（2）以“2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程，然后设a%＝t，化为关于t的一元二次方程，求解出t，再根据a%＝t，求得a即可．
【解析】
（1）10.5万元＝105000元
设该乡镇有名高中学生获得了资助，则该乡镇有名初中学生受到资助，由题意得：

解得：
∴
∴该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助．
（2）由题意得：

∴
设，则方程化为：
∴
解得（舍）或
∴．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程和一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
28．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？

【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．

则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=6cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=，x2=；
∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB=16-3y，
∴PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当＜x≤时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP•CQ=（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-（舍去）；
③＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP•CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
考点：一元二次方程的应用．
29．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值．
【答案】（1）该小区有250套80平方米住宅；（2）的值为50.
【分析】
（1）设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；（2）50平方米住宅有500×40%=200户参与活动一，80平方米住宅有250×20%=50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100（1- a%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1-a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二.根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，列出方程求解即可.
【解析】
（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.
由题意得知：
解得
答：该小区有250套80平方米住宅.
（2）
参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有套参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有套参与活动二，
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为元，有套参与活动一；
80平方米住宅每户所交物管费为元，有50套参与活动二；
由题意得：

令.
化简得：.
解得：（舍去），
（舍去）
答：的值为50.
【点睛】
本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方程是解题的关键.