新教材2023高中数学第七章随机变量及其分布章末复习课新人教A版选择性必修第三册 试卷

这是一份新教材2023高中数学第七章随机变量及其分布章末复习课新人教A版选择性必修第三册，共17页。

章末复习课

回顾本章学习过程,建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联系.


要点训练一　条件概率与全概率公式
(1)求事件概率的关键是将事件分解为若干个小事件,然后利用概率的加法公式和乘法公式来求解.
(2)求条件概率可通过两种方法求解:
①先求事件A包含的样本点数n(A),再求在事件A发生的条件下事件B包含的样本点数n(AB),得P(B|A)=.
②利用定义,分别计算出P(A)和P(AB),得P(B|A)=.
(3)一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=
P(Ai)P(B|Ai).
1.小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子,其中2个腊肉馅,3个豆沙馅,小明随机取出2个,设事件A为“取到的2个为同一种馅”,事件B为“取到的2个都是豆沙馅”,则 P(B|A)=(　　)
A.B.C.D.
解析:由题意,得P(A)==,
P(AB)==,
所以P(B|A)==.
答案:B
2.某教师准备对一天的五节课进行课程安排,要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课,则在数学不排第一节、物理不排最后一节的情况下,化学排第四节的概率是(　　)
A.B.C.D.
解析:设事件A为“数学不排第一节,物理不排最后一节”;事件B为“化学排第四节”.
P(A)==,
P(AB)==,
故所求概率P(B|A)==.
答案:C
3.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为(　　)
A.B.C.D.
解析:记事件A:甲获得冠军;事件B:比赛进行了三局;事件AB:甲获得冠军,且比赛进行了三局.
则第三局甲胜,前两局甲胜了一局,
所以P(AB)=×××=.
事件A包含两种情况:前两局甲胜和事件AB,
所以P(A)=+=,
所以P(B)==×=,故选A.
答案:A
4.据报道,某地居民患肺癌的概率约为0.1%,其中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.4%,则不吸烟者患肺癌的概率是0.000 25. 
解析:记患肺癌为事件C,吸烟为事件A.
由题意,得P(C)=0.001,P(A)=0.2,P(C|A)=0.004.
由全概率公式,得P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|)P(),
将数据代入,得0.001=0.004×0.2+P(C|)×0.8,
解得P(C|)=0.000 25.
所以不吸烟者患肺癌的概率为0.000 25.
5.某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加演讲比赛.
(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).
解:(1)由题意,得X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C,
则P(C)===.
所以所求概率为P()=1-P(C)=1-=.
(3)P(B)===.
P(B|A)===.
要点训练二　离散型随机变量的分布列
(1)求离散型随机变量的分布列,首先要确定随机变量X的所有可能取值以及取每一个值所代表的意义.
(2)要根据概率的相关知识,求出每一个取值所对应事件的概率.
(3)分布列可以用解析式表示,也可用表格表示.
1.已知随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P






若P(X2 A.4 C.x<4或x≥9　 D.x≤4或x>9
解析:由随机变量X的分布列,可知X2的所有可能取值为0,1,4,9,
P(X2=0)=,P(X2=1)=+=,
P(X2=4)=+=,P(X2=9)=.
因为P(X2 所以实数x的取值范围是4 答案:A
2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,则P(X<3)=.
解析:因为P(X=k)=(k=1,2,3,4),
所以P(X=1)=,P(X=2)==,
所以P(X<3)=+=.
3.一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.
(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列.
解:(1)取出的4张卡片中,不含编号为3的卡片的概率为P1===,故所求概率P=1-P1=.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
故随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P




要点训练三　离散型随机变量的数字特征
(1)求离散型随机变量的均值与方差的关键:
①确定随机变量的所有可能取值;
②写出随机变量的分布列;
③正确运用均值、方差公式进行计算.
(2)求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:
①理解X的意义,写出X的所有可能取值;
②求X取每个值的概率;
③写出X的分布列;
④由均值的定义求E(X);
⑤由方差的定义求D(X).
1.已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列选项正确的是(　　)
A.E(X)=,D(X)=
B.E(X)=2,D(X)=4
C.E(X)=2,D(X)=8
D.E(X)=,D(X)=8
解析:E(2X+3)=2E(X)+3=7,D(2X+3)=4D(X)=16.故E(X)=2,D(X)=4.
答案:B
2.随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=,则D(3X-2)=(　　)
X
-1
0
1
P

a
b
A.B.C.5D.7
解析:因为E(X)=,
所以由随机变量X的分布列,得解得
所以D(X)=×+×+×=,
所以D(3X-2)=9D(X)=9×=5.
答案:C
3.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为3 500. 
解析:设检测机器所需的费用为X,
则X的所有可能取值为2 000,3 000,4 000.
P(X=2 000)==,
P(X=3 000)==,
P(X=4 000)=1--=.
所以所需检测费的均值为
2 000×+3 000×+4 000×=3 500.
4.某企业甲、乙两个研发小组研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品M,乙组研发新产品N.设甲、乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品M研发成功,则企业可获得利润120万元,若新产品N研发成功,则企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和均值.
解:(1)设“至少有一种新产品研发成功”为事件A,且事件B为事件A的对立事件,则事件B为“新产品M,N都没有研发成功”.
因为甲、乙两组研发新产品成功的概率分别为,,
所以P(B)=×=×=,
所以P(A)=1-P(B)=,
所以至少有一种新产品研发成功的概率为.
(2)设该企业可获得的利润为X(单位:万元),
则X的可能取值为0,100,120,220.
P(X=0)=×=,
P(X=100)=×=,
P(X=120)=×=,
P(X=220)=×=.
所以X的分布列为
X
0
100
120
220
P




则E(X)=0×+100×+120×+220×=20+32+88=140.
要点训练四　二项分布与超几何分布
1.求解二项分布问题的注意事项
(1)首先要判断随机变量是否服从二项分布.
判断方法:
①看是否为n重伯努利试验;
②看随机变量是否为n重伯努利试验中某事件发生的次数.
(2)建立二项分布模型,求出随机变量取值时对应事件的概率.
2.求解超几何分布问题的注意事项
(1)在产品抽样中,若采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布.
(2)如果随机变量服从超几何分布,那么只要代入公式就可求得相应的概率,关键是明确随机变量的所有取值.
1.已知X~B,则P=(　　)
A.B.C.D.
解析:P=P(X=2)+P(X=3)=××+××
=.
答案:C
2.有8件产品,其中4件是次品,从中有放回地取3次,每次取1件,若X表示取得次品的次数,则P(X≤2)=(　　)
A.B.C.D.
解析:因为是有放回地取产品,
所以每次取到次品的概率为=.
从中取3次,X为取得次品的次数,
则X~B,
P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)
=××+××+×
=.
答案:D
3.某地7个村中有3个村是旅游示范村,现从这7个村中任意选3个村,下列事件中概率等于的是(　　)
A.至少有1个旅游示范村
B.有1个或2个旅游示范村
C.有2个或3个旅游示范村
D.恰有2个旅游示范村
解析:用X表示所选3个村中旅游示范村数,X服从超几何分布,
故P(X=k)=,
所以P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
因为P(X=1)+P(X=2)=,
所以所选3个村中有1个或2个旅游示范村的概率为.
答案:B
4.某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
(1)若用频率估计概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率(结果用分数表示).
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种方案给采购商参考.
方案1:不分类卖出,单价为20元/kg.
方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下:
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价/(元/kg)
16
18
22
24
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,Y表示抽取的是精品果的数量,求Y的分布列及均值E(Y).
解:(1)设“从这100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则P(A)==.
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X,则X~B,
所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X=2)=××=.
(2)设方案2的售价为Z,则售价的均值为
E(Z)=16×+18×+22×+24×=
=20.6.
因为E(Z)>20,所以从采购商的角度考虑,应该采用方案1.
(3)用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个,其中精品果有4个,非精品果有6个.
现从中随机抽取3个,则精品果的数量Y服从超几何分布,Y的所有可能的取值为0,1,2,3.
则P(Y=0)==,
P(Y=1)==,
P(Y=2)==,
P(Y=3)==.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P




所以E(Y)=0×+1×+2×+3×=.
要点训练五　正态分布的概率
(1)解题时注意3σ原则,记住随机变量在三个区间内取值的概率.
(2)注意数形结合,根据正态曲线的对称性结合图象解决某一区间内的概率问题.
1.若随机变量X服从正态分布N(2,σ2),X在区间(4,+∞)上取值的概率是0.2,则X在区间[0,2]上取值的概率是(　　)
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.8
解析:根据题意分析知,随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X>4)=0.2.
根据对称性可得P(X<0)=0.2,
所求概率P(0≤X≤2)==0.3.
答案:A
2.某校约有1 000人参加模块考试,其数学考试成绩Y服从正态分布N(90,σ2)(σ>0),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的60%,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为(　　)
A.600B.400C.300D.200
解析:根据正态分布知,
其均值为90分.
又因为70分到110分之间的人数约为总人数的60%,
所以根据对称性知90分到110分之间的人数约为总人数的30%,
所以不低于110分的人数约为总人数的50%-30%=20%,
故大约有1 000×20%=200(人).
答案:D
3.若X~N(2,σ2),P(1.6 (　　)
A.0.1B.0.3C.0.4D.0.6
解析:由题意,
得μ=2,P(2≤X≤2.8)=P(1.6 所以P(X<1.2)=P(X>2.8)=0.5-P(2≤X≤2.8)=0.1.
答案:A
要点训练六　求解条件概率的方法
1.用定义法求条件概率P(B|A)
先分析题意,弄清概率模型,再计算P(A),P(AB),最后代入公式P(B|A)=求解.
2.利用缩小样本空间计算条件概率
将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A,原来的事件B缩小为事件AB.在缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=.利用缩小样本空间求条件概率问题,应搞清楚是求哪个事件的样本点数.
3.用条件概率的性质解题
对于比较复杂的事件的概率,一般先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用概率加法公式即得所求的复杂事件的概率.
1.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6 ,若一个这种元件使用到1年时还未破损,则这个元件使用寿命超过2年的概率为(　　)
A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48
解析:因为这种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,
所以在一个这种元件使用到1年时还未破损的前提下,这个元件使用寿命超过2年的概率P==0.75,故选A.
答案:A
2.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5 ,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4 ,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为(　　)
A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9
解析:设“第一个路口遇到红灯”为事件A,“第二个路口遇到红灯”为事件B,
则P(A)=0.5 ,P(AB) =0.4,则P(B|A)==0.8,
故选C.
答案:C
要点训练七　方程思想
方程思想是一种重要的数学思想,用方程思想解题的关键是利用
已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、
几何及生活实际中有着广泛的应用.
1.设X是一个离散型随机变量,其分布列如下表,则q=(　　)
X
-1
0
1
P

2q-1
q
A.B.C.D.
解析:由分布列的性质,可得解得q=.
答案:B
2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则P(X=3)=(　　)
A.B.C.D.
解析:因为随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,3),
所以a=1,解得a=.
所以P(X=3)=×=.故选A.
答案:A
要点训练八　转化思想
转化思想是解决数学问题的重要思想,数学解题的本质就是转化.如:将实际问题与数学问题互相转化.
1.多选题已知随机变量X~N(0.4, ),Y~N(0.8, ), 其正态曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)
B.P(X≥0)=P(Y≥0)
C.X的取值比Y的取值更集中于平均值左右
D.两条正态曲线与x轴之间的区域的面积均为1
解析:由已知,得μ1=0.4, μ2=0.8,σ1<σ2.
故P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)=0.5,故A项正确.
由题图可知,在y轴的左侧,随机变量X~N(0.4, )的图象在Y~N(0.8,)的图象下方,
故P(X≥0)>P(Y≥0).故B项错误.
随机变量X~N(0.4,)的图象比Y~N(0.8,)的图象更“瘦高”,故X的取值比Y的取值更集中于平均值左右,故C项正确.
显然,两条正态曲线与x轴之间的区域的面积均为1,故D项正确.故选ACD.
答案:ACD
2.如图所示,曲线C为正态分布N(2, 1)的正态曲线的一部分,在正方形中随机投掷1 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是
(　　)

参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤
μ+2σ)≈0.954 5.
A.136 B.159C.341D.477
解析:由题意可知,正态分布N(2,1)在区间[0,1]上取值的概率是题图中阴影部分的面积,
则S阴=×[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=
0.135 9,故落入阴影部分的点的个数的估计值是1 000×0.135 9=135.9≈
136.故选A.
答案:A
3.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(2≤X≤5)=0.3.
解析:因为随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,
所以μ==2.所以正态曲线关于直线x=2对称.
所以P(-1≤X≤5)=2P(2≤X≤5)=1-0.2-0.2=0.6,
所以P(2≤X≤5)=0.3.
4.江先生的单位实行的是“朝九晚五”的工作时间,他上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行
5 min,乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1(单位:min)服从正态分布N(33, 42),下车后步行再到单位需要12 min;乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2(单位:min)服从正态分布N(44,22),下地铁后再步行到单位需要5 min.现有下列说法:
①若8:00出门,则乘坐公交一定不会迟到;
②若8:02出门,则乘坐公交和乘坐地铁上班不迟到的可能性相同;
③若8:06出门,则乘坐公交比乘坐地铁上班迟到的可能性大;
④若8:12出门,则乘坐地铁比乘坐公交上班迟到的可能性大.
则以上说法中正确的序号是②④.
参考数据:若Z~N(μ,σ2),则
P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析:若8:00出门,江先生乘坐公交,从家到公交站需要5 min,下车后再步行到单位需要12 min,乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N(33,42),
故P(Z1>45)=≈=0.001 35.
所以江先生仍有可能迟到,只不过概率很小,故①错误.
若8:02出门,江先生乘坐公交.
因为从家到公交站需要5 min,下车后再步行到单位需要12 min,乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N(33,42),
故当满足P(Z1≤41)=+P(25≤Z1≤41)≈0.977 25时,江先生乘坐公交不会迟到.
若8:02出门,江先生乘坐地铁.
因为从家到地铁站需要5 min,下地铁后再步行到单位需要5 min,乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N(44,22),
故当满足P(Z2≤48)=+P(40≤Z2≤48)≈0.977 25时,江先生乘坐地铁不会迟到.
此时两种上班方式江先生不迟到的概率相等,故②正确.
类似可得,若8:06出门,则乘坐公交比乘坐地铁上班迟到的可能性小,故③错误.
若8:12出门,则乘坐地铁比乘坐公交上班迟到的可能性大,故④正确.
故答案为②④.

随机变量及其分布的综合问题
改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付方式
支付金额/元
(0,1 000]
(1 000,2 000]
大于2 000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和均值.
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.
解:(1)由题意,得从全校所有学生中随机抽取的100人中,A,B两种支付方式都不使用的有5人,仅使用A的有30人,仅使用B的有25人,
所以A,B两种支付方式都使用的人数为100-5-30-25=40①, ………………………1分
所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率约为=0.4②. ……………………1分(累计2分)
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,则X的所有可能取值为0,1,2. ……………1分(累计3分)
样本中仅使用A的学生有30人,其中支付金额在区间(0,1 000]上的有18人,超过1 000元的有12人,样本中仅使用B的学生有25人,其中支付金额在区间(0,1 000]上的有10人,超过1 000元的有15人,
故P(X=0)=×=,
P(X=1)=×+×=,
P(X=2)=×=,③ ………3分(累计6分)
所以X的分布列如下:
X
0
1
2
④

P




………………………1分(累计7分)
均值E(X)=0×+1×+2×=1⑤. …………………………3分(累计10分)
(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.
假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)==. …………………………1分(累计11分)
答案1:…1分(累计12分)
理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,所以有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.⑦ …………………………1分(累计13分)
答案2: …………………………1分(累计12分)
理由如下:
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.⑦ ………………1分(累计13分)
评分细则
第(1)题:
①求出使用人数得1分.
②概率结果正确得1分.
第(2)题:
③要有列举,每个取值的概率正确得1分.
④列出正确的分布列得1分.
⑤求出均值时,有式子可得2分,结果正确得1分.
第(3)题:
⑥有判断得1分,没有判断不得分.
⑦理由合理,与判断的结果相吻合即可得分.



得分技巧
1.得步骤分:第(1)题①中求出人数得1分.
第(2)题③中列举每个取值的概率各有相应得分.
2.得规范分:第(3)题⑥中没有对结论的判断会失分.
3.得运算分:如第(2)题⑤中运算结果错误会失分.