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初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系获奖第3课时教案
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这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系获奖第3课时教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
第二十四章 圆
24.2.2直线和圆的位置关系
第3课时
一、教学目标
1.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并能利用定理进行简单的计算与证明；
2.经历画图、猜想、证明等数学活动的过程，学会从数学的角度解决问题，并能运用所学的知识解决问题，发展推理能力和应用意识；
3.在运用切线长定理解题的过程中渗透方程的思想，学会用代数的方法解几何题；
4.让学生经历探究新知的过程，感受数学的对称美，同时在数学活动中获得成功的体验，提高对数学的求知欲.
二、教学重难点
重点：会运用切线长定理进行简单的计算与证明
难点：切线长定理的推理与证明过程
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【学习目标】
1.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并能利用定理进行简单的计算与证明；
2.经历画图、猜想、证明等数学活动的过程，学会从数学的角度解决问题，并能运用所学的知识解决问题，发展推理能力和应用意识；
3.在运用切线长定理解题的过程中渗透方程的思想，学会用代数的方法解几何题；
4.让学生经历探究新知的过程，感受数学的对称美，同时在数学活动中获得成功的体验，提高对数学的求知欲.
熟悉学习目标
通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容，教学目标从知识技能、数学思考、解决问题、情感态度等方面着眼设计.
问题：你还记得童年时玩的悠悠球吗？在玩悠悠球时是否想过它的转动过程中还包含着数学知识？
问题：观察悠悠球转动时的内部结构，从中你能抽象出什么样的数学图形？
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形
被拉直的线绳可抽象成线段
这些图形有怎样的位置关系？
线绳所在的直线和中心轴所在的圆相切
认真观看并思考
通过熟悉的童年玩具引入新课，提高学生的学习兴趣，并激发对数学知识的探索和求知欲.同时让学生感受到数学和生活的紧密联系.
环节二 探究新知
还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？
思考：如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
可以作两条切线
教师给出切线长的概念
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
思考：切线长和切线有什么区别？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是圆外一点和切点之间的线段的长，可以度量．
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
猜想：PA=PB
∠APO=∠BPO
你能证明你的结论吗？
证明：连接OA，OB
∵PA和PB是⊙O 的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌ Rt△BOP.
∴PA=PB, ∠APO=∠BPO
思考：下面是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？请动手画一画．
ü 作圆的关键是什么？
确定圆心和半径．
ü 怎样确定圆心的位置？
作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．
ü 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？
过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长
就是圆的半径．
作法：
1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I；
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D；
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
学生思考并画出切线
认真思考并作图
熟悉切线的判定定理及两个要素
熟悉切线长和切线的区别
思考、探究、猜想
思考写出证明过程
思考并与同学交流
认真思考老师提出的几个问题
理解并熟悉概念
通过作图操作让学生回顾已学知识，为后面要讲解的内容作铺垫.
通过探究、画图等过程，让学生发现：过圆外的一点画圆的切线有且只有两条，培养学生运用已学知识解决问题的能力，同时为后面引出切线长的概念作铺垫.
以问题的形式让学生进一步熟悉切线长的概念.
通过动画演示，让学生形象直观的感受数学的对称美，并通过探究、猜想得出结论，激发学生的求知欲.
通过猜想、证明的过程，发展学生的推理能力，并引出后面的切线长定理.
通过填空的形式让学生熟悉切线长定理，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.
以“问题分析”的形式引导学生探究出“如何在三角形内画一个圆，并且圆与三角形的三条边都相切”，培养学生从数学的角度解决问题，同时为引出三角形的内切圆作铺垫.
环节三
应用新知
【例】△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
提示：关键是运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解：设AF=x，
则AE=x，
CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC，可得
(9-x)+(13-x)=14.
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
明确本题的做法
让学生在应用过程中进一步加深对切线长定理的认识和理解，培养学生的应用意识和推理能力.同时在解题过程中渗透方程思想，让学生学会运用代数思想解几何题.
环节四
巩固新知
1. PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.
（1）若AP=4，则OP= ；
（2）若∠BPA=60°，则OP= .
（3）若∠BAC=25°，则∠APB= .
2.如图，在△ABC中，点O是内心，∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC= .
3.如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.且PA=6.求：△PDE的周长.
答案：
1. （1）5； （2）6； （3）50°.
2.120°
3. 解：∵直线PA，PB，DE分别与圆相切于点A，B，C
∴PA=PB, DA=DC, EB=EC
∴C△PDE =PD+DE+PE
=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE
=PA+PB=2PA=2×6=12
∴ △PDE的周长为12.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五
课堂小结
回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第100页
练习第1、2题
第101页
习题24.2 第3、11题
课后完成练习
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.
第二十四章 圆
24.2.2直线和圆的位置关系
第3课时
一、教学目标
1.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并能利用定理进行简单的计算与证明；
2.经历画图、猜想、证明等数学活动的过程，学会从数学的角度解决问题，并能运用所学的知识解决问题，发展推理能力和应用意识；
3.在运用切线长定理解题的过程中渗透方程的思想，学会用代数的方法解几何题；
4.让学生经历探究新知的过程，感受数学的对称美，同时在数学活动中获得成功的体验，提高对数学的求知欲.
二、教学重难点
重点：会运用切线长定理进行简单的计算与证明
难点：切线长定理的推理与证明过程
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【学习目标】
1.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并能利用定理进行简单的计算与证明；
2.经历画图、猜想、证明等数学活动的过程，学会从数学的角度解决问题，并能运用所学的知识解决问题，发展推理能力和应用意识；
3.在运用切线长定理解题的过程中渗透方程的思想，学会用代数的方法解几何题；
4.让学生经历探究新知的过程，感受数学的对称美，同时在数学活动中获得成功的体验，提高对数学的求知欲.
熟悉学习目标
通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容，教学目标从知识技能、数学思考、解决问题、情感态度等方面着眼设计.
问题：你还记得童年时玩的悠悠球吗？在玩悠悠球时是否想过它的转动过程中还包含着数学知识？
问题：观察悠悠球转动时的内部结构，从中你能抽象出什么样的数学图形？
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形
被拉直的线绳可抽象成线段
这些图形有怎样的位置关系？
线绳所在的直线和中心轴所在的圆相切
认真观看并思考
通过熟悉的童年玩具引入新课，提高学生的学习兴趣，并激发对数学知识的探索和求知欲.同时让学生感受到数学和生活的紧密联系.
环节二 探究新知
还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？
思考：如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
可以作两条切线
教师给出切线长的概念
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
思考：切线长和切线有什么区别？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是圆外一点和切点之间的线段的长，可以度量．
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
猜想：PA=PB
∠APO=∠BPO
你能证明你的结论吗？
证明：连接OA，OB
∵PA和PB是⊙O 的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌ Rt△BOP.
∴PA=PB, ∠APO=∠BPO
思考：下面是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？请动手画一画．
ü 作圆的关键是什么？
确定圆心和半径．
ü 怎样确定圆心的位置？
作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．
ü 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？
过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长
就是圆的半径．
作法：
1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I；
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D；
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
学生思考并画出切线
认真思考并作图
熟悉切线的判定定理及两个要素
熟悉切线长和切线的区别
思考、探究、猜想
思考写出证明过程
思考并与同学交流
认真思考老师提出的几个问题
理解并熟悉概念
通过作图操作让学生回顾已学知识，为后面要讲解的内容作铺垫.
通过探究、画图等过程，让学生发现：过圆外的一点画圆的切线有且只有两条，培养学生运用已学知识解决问题的能力，同时为后面引出切线长的概念作铺垫.
以问题的形式让学生进一步熟悉切线长的概念.
通过动画演示，让学生形象直观的感受数学的对称美，并通过探究、猜想得出结论，激发学生的求知欲.
通过猜想、证明的过程，发展学生的推理能力，并引出后面的切线长定理.
通过填空的形式让学生熟悉切线长定理，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.
以“问题分析”的形式引导学生探究出“如何在三角形内画一个圆，并且圆与三角形的三条边都相切”，培养学生从数学的角度解决问题，同时为引出三角形的内切圆作铺垫.
环节三
应用新知
【例】△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
提示：关键是运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解：设AF=x，
则AE=x，
CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC，可得
(9-x)+(13-x)=14.
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
明确本题的做法
让学生在应用过程中进一步加深对切线长定理的认识和理解，培养学生的应用意识和推理能力.同时在解题过程中渗透方程思想，让学生学会运用代数思想解几何题.
环节四
巩固新知
1. PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.
（1）若AP=4，则OP= ；
（2）若∠BPA=60°，则OP= .
（3）若∠BAC=25°，则∠APB= .
2.如图，在△ABC中，点O是内心，∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC= .
3.如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.且PA=6.求：△PDE的周长.
答案：
1. （1）5； （2）6； （3）50°.
2.120°
3. 解：∵直线PA，PB，DE分别与圆相切于点A，B，C
∴PA=PB, DA=DC, EB=EC
∴C△PDE =PD+DE+PE
=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE
=PA+PB=2PA=2×6=12
∴ △PDE的周长为12.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五
课堂小结
回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第100页
练习第1、2题
第101页
习题24.2 第3、11题
课后完成练习
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