7.5.1 三角形内角和定理教案 北师大版数学八年级上册

这是一份7.5.1 三角形内角和定理教案 北师大版数学八年级上册，共7页。
5　三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和定理

1．经历探索证明三角形内角和定理的过程，初次学习添加辅助线的方法，进一步了解数学证明的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动的探索性和创造性．
2．能够运用三角形内角和定理的知识，解决有关求角的问题．

重点：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明．
难点：应用运动变化的观点认识数学，正确引入辅助线．

一、导入新课
师：“三角形内角和是180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？
生：是真命题．可以从度量、折纸、拼角得到的．
师：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性．那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？
这就需要证明，由哪些公理、定理、定义可以得到三角形内角的和为180°？
这就是我们本节所要学习的内容．
二、探究新知
探究1　动手操作、探索解法：
生：每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验．通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？
师：组织学生开展小组竞赛，指派小组代表展示拼图，并说出理由．鼓励学生各抒己见，并倾听他人的方法．
师生共同归纳：可以拼一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，也可以拼两个角、三个角用“平角定义”说明．
师：引导学生合理添加辅助线，为书写证明过程做好铺垫．指导学生写出已知、求证、证明过程，抽两人黑板演示，给予点评，并规范证明格式．
已知：如图所示，△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA.
∵CE∥BA，
∴∠B＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)，
∠A＝∠ACE(两直线平行，内错角相等)，
∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．
注意：应指出辅助线通常画为虚线，并在证明前交代说明．添加辅助线不是盲目的，而是证明需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添加辅助线创造条件，以达到证明的目的．
探究2　师：还有其他证明方法吗？
师生共同总结“拼三个角”的特点：把角“拼”到一起，让顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角定义．
师：在证明三角形内角和定理时，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点吗？引导学生叙述证明过程．
已知：如图所示，△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.

证明：过A点作DE∥BC.
∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)．
师：那么是否可以把三个角集中到三角形的一边上呢？集中在内部任意一点上呢？外部呢？
生：思考后，讲解自己的思考过程和解法．
三、新知归纳
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
四、典例剖析
例1　在一个三角形中，下列说法错误的是(　　)
A．可以有一个锐角和一个钝角
B．可以有两个锐角
C．可以有一个锐角和一个直角
D．可以有两个钝角
思路分析：如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180°，故D错误．
答案：D
例2　如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．

思路分析：由已知∠B，∠C求出∠BAC，再由角平分线的定义求出∠BAD，再由△ABD的内角和等于180°，求出∠ADB.
解：在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°(三角形内角和定理)．
∵∠B＝38°，∠C＝62°(已知)，
∴∠BAC＝180°－38°－62°＝80°(等式的性质)．
∵AD平分∠BAC(已知)，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°(角平分线的定义)．
在△ADB中，∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°(三角形内角和定理)．
∵∠B＝38°(已知)，∠BAD＝40°(已证)，
∴∠ADB＝180°－38°－40°＝102°(等式的性质)．
例3　如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点I.求证：∠BIC＝90°＋∠A.

思路分析：欲证明∠BIC与∠A之间的关系，但它们之间的关系不直接，∠BIC与∠IBC，∠ICB在同一个三角形中，故有∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)，而∠A与∠ABC，∠ACB在同一个三角形中，故有∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)，又因为BE，CF是角平分线，于是∠IBC与∠ABC有关系：∠IBC＝∠ABC.同理，∠ICB＝∠ACB，从而可以通过中间量∠ABC，∠ACB或∠IBC，∠ICB找到∠BIC与∠A之间的关系．
证明：∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A(等式的性质)．
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB(已知)，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB(角平分线定义)．
在△BIC中，∠BIC＋∠EBC＋∠FCB＝180°(三角形内角和定理)，
∴∠BIC＝180°－(∠EBC＋FCB)(等式的性质)．
∴∠BIC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A(等量代换)．
五、反馈训练
完成《作业与单元评估》随堂演练．
六、课堂小测
1．如果三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，则它是(　A　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．钝角或直角三角形
2．任何一个三角形的三个角中至少有(　B　)
A．一个锐角 B．两个锐角
C．一个直角 D．一个钝角
3．三角形中最大的内角一定是(　D　)
A．钝角
B．直角
C．大于60°的角
D．大于或等于60°的角
4．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，CD是高．求证：∠BCD＝∠A.

证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)，
∠B＝∠ACB(已知)，
∴∠B＝＝90°－∠A(等式的性质)．
∵CD是△ABC的高(已知)，
∴∠BDC＝90°(高的定义)．
∵∠BDC＋∠B＋∠BCD＝180°(三角形内角和定理)，
∴∠BCD＝180°－∠BDC－∠B＝180°－90°－＝∠A(等式的性质)．
七、课堂小结
本节课主要学习三角形内角和定理．证明的基本思想：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角．辅助线是联系命题条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它．
八、布置作业
完成《作业与单元评估》课后作业的相关练习．