初中数学北师大版八年级上册5 三角形的内角和定理教学课件ppt

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了解并掌握三角形的外角的定义.
掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算.
7.5 三角形内角和定理第2课时
三角形内角和定理：三角形内角和等于 .
练一练：在△ABC中,若∠A +∠B=∠C，∠B-∠A =30°，则∠A = ，∠B = ，∠C= .
外角的定义：△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角。
如图，∠ACD是△ABC 的一个外角.
问题1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
有6个，分别是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
问题2： △ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
∠1和∠4是对顶角，相等；∠2和 ∠5是对顶角，相等；∠3和∠6是对顶角，相等.
★三角形的外角的特征：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
每一个三角形都有6个外角．
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC和△BEF的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
探究二：三角形外角的性质
（2）如图,△ABC 的外角∠ ACD与其与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
∠ACD与∠ACB互补.
（3）你能证明上述结论吗？
想一想：还有没有其他证明方法？
证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，（三角形内角和定理）∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质）∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义）∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质）∴∠A+∠B=∠ACD（等量代换）
证明：过C作CE∥AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
解：∵∠ACD=∠A+∠B,∴∠ACD＞A,∠ACD＞∠B.
在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推理可以当作定理使用.
定理：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
▼应用格式：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
▼应用格式：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD＞A,∠ACD＞∠B.
想一想：还有其它证明方法吗？
还可以利用“同位角相等”或“同旁内角互补”来证明.
证明：如图，延长BP，交AC于点D
∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）
∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）
∴ ∠ PDC ＞ ∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴ ∠ BPC ＞ ∠ A
你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流.
∠A < ∠1 < ∠2
解：(1)∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又∵∠B=∠BAD，∴∠B=40º.(2)∵在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180º-40º-70º=70°.
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. ∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知），∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），∴∠1>∠2（不等式的性质）.
定理：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
解：根据三角形外角的性质有∠ADC= ∠B+ ∠BCE,∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °.
证明：∵∠BCD是△CDE的一个外角，∴∠BCD＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）又∵∠ADB是△BDC的一个外角，∴∠ADB＞∠BCD（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠ADB＞∠CDE.
教材习题7.7.