高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示巩固练习，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第六章6.3.1平面向量基本定理能力提升--人教版A版必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，在中，，则（    ）

A．18 B．9 C．12 D．6
2．在平行四边形ABCD中，，，则（    ）
A． B．
C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（    ）

A． B． C． D．
4．在中，，，直线DE与直线BC交于点F．设，，则＝（    ）
A． B． C． D．
5．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（    ）
A． B． C． D．
6．已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则等于（    ）
A． B． C． D．
7．如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（    ）

A． B． C． D．– 3
8．在中，，，，若点满足，则（    ）
A． B． C．1 D．

二、多选题
9．已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（    ）
A．2 B． C． D．1
10．如图，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，.则（    ）

A． B．
C． D．
11．如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．
C． D．
12．正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（    ）

A．向量，夹角的余弦值是
B．若，则
C．若，则
D．若，非零向量，则的最小值为

三、填空题
13．在△ABC中，点D满足，若，则________．
14．在平行四边形ABCD中，点E满足，且O是边AB中点，若AE交DO于点M．且，则______．
15．已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为______．
16．已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．

四、解答题
17．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．

(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；
(2)若，求.

参考答案：
1．D
【分析】根据向量的加减运算及数量积的定义、运算性质求解即可.
【详解】，即，
，
.
故选：D
2．C
【分析】设，，将，，都用，表示，设，解出m，n.
【详解】
设，，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
，解得，，即.
故选：C.
3．C
【分析】根据向量的运算法则得到，，得到答案.
【详解】，
，
故.
故选：C
4．C
【分析】根据题意，可得，再由三点共线，利用共线定理求解即可.
【详解】如下图所示：

由题可知，，
由共线定理可知，存在实数满足，
又因为，所以，
因此，
又与共线，
所以，解得，
则


.
故选：C.
5．B
【分析】根据平面向量基本定理，用表示即可得答案.
【详解】解：如图，因为点为的中点，，
所以，，
，
所以，即，解得
所以，的值为.
故选：B

6．B
【分析】根据平面向量的线性运算和基本定理运算求解.
【详解】解：如图，因为，所以,
又因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，在平面四边形中，,
所以且
所以相似于相似比为，
所以,

,
所以，
故选:B.

7．C
【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
【详解】由已知，，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
，
所以，

.
故选：C.
8．C
【分析】根据向量的数量积公式和向量转化为基地进行表示即可求解.
【详解】


.
故选：C.
9．CD
【分析】以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点P的坐标为,结合题意可得，又知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，整理得，变形结合基本不等式即可求解的取值范围，进而得解．
【详解】如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则，，则，，
所以，则点P的坐标为．

由题意可知，，则，
易知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，所以，
即，即，即，
易知，故．
因为，，所以，所以，得，
结合，可得．
故选：CD．
10．BC
【分析】利用平面向量的线性运算，结合三点共线的向量表示，逐个验证选项.
【详解】三点共线，设，三点共线，设，
A选项：

，
，
∴，解得，
，
所以A选项错误；
B选项：
由，得，
三点共线，则，即，得，即，
有，得，
所以B选项正确；
C选项：

，
所以C选项正确；
D选项：

，
所以D选项错误.
故选：BC
11．BCD
【分析】根据向量的三角形法则逐项计算判断即可．
【详解】解：为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，
设三点共线，O为线外一点，则，
即与前系数和为1，
证：三点共线，
，
，
．
，
故A错；
三点共线，
，
三点共线，
，
，
解得，
，
∴ F为BE的中点，
，故B对；
，
，
，故C对；
取AB中点G，BC中点H，如下图，
则三点共线，


，故D对．
故选：BCD．
12．AD
【分析】选项A可以通过图形分析；选项B可以通过向量的基底运算求以及求的值；选项C可以利用选项B中的结论计算；选项D中可以通过表示出，然后两边同时平方计算出，发现可以表示成关于的二次函数，从而求出的最小值
【详解】因为O，A，B，C是该正六角星的顶点，所以，即向量，夹角的余弦值是，故A正确；

因为
，则若， ，故B错误；
因为，故C错误；
因为，所以
，令，所以，即当时，
所以的最小值为，故D正确
故选：AD
13．
【分析】由平面向量基本定理结合可得，即可求出的值，即可求出答案.
【详解】由，得，
所以，
即，
所以，所以，，
故．
故答案为：.
14．
【分析】由已知可得可得答案.
【详解】在平行四边形ABCD中，点E满足，且O边AB中点，
所以E是边DC离近C的三等分点，可得，，
所以


又，
所以，
故答案为：.

15．
【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得、、都可用基底、表示，将左右平方后所得式子与重要不等式联立可得，将、代入中计算即可.
【详解】设AC=b，AB=c，
则，
∵D为边BC的中点，
∴，
∴，即：，①
又∵，当且仅当时取等号. ②
∴由①②得：.
又∵E、F分别为BD、DC的中点，
∴，，
∴，当且仅当时取等号.
∴的最大值为.
故答案为：.
16．
【分析】先应用外心是垂直平分线的交点,再应用数量积的几何意义求得和列出方程组求解即可.
【详解】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．

由数量积的几何意义，可得，．

依题意有，即．
同理，即．
将两式相加得，所以．
故答案为: .
17．(1)
(2)存在，

【分析】（1）由题意得，结合即可得解；
（2）由，求解即可.
【详解】（1）在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
（2）



令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
18．(1)1
(2)9

【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.
（2）先求得，然后利用转化法求得.
【详解】（1）因为，

所以，
所以，
所以，
故.
（2），
，
为菱形，，
所以，
.