高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示综合训练题

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理  同步练习

学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 学号：___________

一．选择题

1. 设点D为中边BC上的中点，O为AD上靠近点A的三等分点，则   

A.  B.
C.  D.

2. 已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是     

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，，，，，设，则     
    

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 已知A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，，点P在平面ABO内，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则     

A.  B.  C.  D.

5. 如果与是一组基底，则下列不能作为基底的是

A. 与 B. 与
C. 与 D. 与

6. 如图，在中，，，若，，则     

A.               B.
C.               D.

7. 已知点G为的重心，过点G作一条直线与AB，AC分别交于M，N，若，，x，R，则     

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 如图，在中，，，圆O为的外接圆，的平分线交圆O于点D，设，，则向量     

A.          B.
C.         D.

9. 多选题在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，，给出下列四组等式，其中，符合条件的是     

1. ， B. ，
   C. ， D. ，

二．填空题

10. 已知，是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数          
11. 在梯形ABCD中，已知，，，，若，则_________．
12. 在矩形ABCD中，，，，，若，则的值为_________．
13. 如图，在中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足，若，则的最小值为______．

14. 若点M是所在平面内一点，且满足：．
    求与的面积之比
    若N为AB中点，AM与CN交于点O，设，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
15. 设，是不共线的非零向量，且，．

证明：，可以作为一组基底；

以，为基底，求向量的分解式；

若，求，的值．






 

16. 如图所示，在中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底、表示向量．

答案和解析

一．选择题

1.【答案】D
【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加减、数乘运算、基本定理的应用，属基础题．
根据平面向量的加减、数乘运算法则即可解答．

【解答】

解：依题意，得：



，
故选D．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
过P作，，由，根据题意，与的面积之比为BP：：2，得出结论．
本题考查平面向量的基本定理，共线向量的性质，面积之比与边的比的关系，基础题．
【解答】
解：点P是所在平面上一点，过P作，，
由，

故AE：：：PB，
所以与的面积之比为BP：：2，
故选：D．
3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的应用，属于基础题，解题时要认真审题，运用数形结合是解题的关键．
由题意，过C作交AO的延长线于D，连接BC，可推出，从而可得，由此得出答案．
【解答】
解：过C作交AO的延长线于D，连接BC．

由，，，，得，
在中，可得，
则，
故，．
故选B ．
4.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题考查平面向量的线性运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用即可求解．
【解答】解：根据向量的平行四边形法则得，，

故选B．
5.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量共线的充要条件，属于基础题．
根据两个不共线的向量可以作为一组基底即可得结论．
【解答】解：由题意知，与不共线，
根据平行四边形法则可知与，与，与中的两个向量均不共线，都可以作为基底，
而，两者共线，不能作为基底．
6.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题考查平面向量的线性运算的知识，属于基础题．
 ．

【解答】

解：，．

，，

．
故选B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题．
方法一，利用平面向量的基本定理，建立方程组，解得即可；
方法二，取特殊位置，利用平面向量的基本定理，即可得解．
【解答】解：方法一如图，连接AG并延长交BC于点D，由题意可知，点G为的重心，
所以，
所以．
又，且与共线，
所以存在实数，使得成立，即，
所以，消去得，即，故．
故选C．

方法二根据过点G作直线的任意性，可取此直线过点B，则点M与点B重合，点N为AC的中点，
所以有，，故．
故选C．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题，根据中的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO为菱形，所以．
【解答】
解：设外接圆的圆心为O，半径为r，连接BD，OD．
在中，，，
所以，，AD为的平分线，
所以，
则根据圆的性质知．
又因为在中，，
所以四边形ABDO为菱形，
所以．
故选C．
9.【答案】BD
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算，属于基础题．
由题意，设，，利用向量的加法，加法，数乘运算得出

，利用向量的基本定理得出，即可得出选项．

【解答】
解：由题意，设，
则

， 
又， 
则，即，满足题意的有BD．
故选BD．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线、平面向量的基本定理以及向量的加减运算，A，B，D三点共线，可得存在实数，使得，利用平面向量的基本定理即可得出．

【解答】
解：，，
．
又，且A，B，D三点共线，
一定存在实数，使，
，

．
故答案为．
11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查向量的几何表示，加减法，数乘运算以及平面向量的基本定理，属于基础题．
数形结合根据平面向量的基本定理，向量的几何表示，加减法以及数乘运算将用表示，求出，的值即可得出结果．
【解答】
解：如图示：梯形ABCD中，，，，．






．
又，
，．
故．
12.【答案】7
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的基本定理，向量的线性运算，属于基础题．
根据平面向量的基本定理结合题设把表示为，再由，得，，即从而求得，，．
【解答】
解：在矩形ABCD中，，．
利用勾股定理可得．
，，
，，
故．
，．
故．
13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的加减的几何意义以及二次函数的性质，属于中档题．
不妨设，，根据向量的加减的几何意义可得，，代入得到，即可求出最值．
【解答】

解：不妨设，，



，
，
，，


，
当时，有最小值，最小值为．
故答案为：．

14.【答案】解由，可知M、B、C三点共线，
如图令

，
，即面积之比为1：
由，得，，
由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线得： ，
解得  ，
所以x、y的值分别为： ， ．
 

【解析】由，可知M、B、C三点共线．可得，即可求答案；
由，，利用共线向量定理可得答案．
本题考查向量共线定理和共面向量定理、三角形的面积之比，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】证明：若，共线，则存在，使，
则由不共线，得得
不存在，故与不共线，可以作为一组基底；
设，则，
可得，得，故；
由，
得，
可得，解得．
 

【解析】本题考查平面向量基本定理、向量共线条件，是基础题．
证明，不共线即可，假设存在，使，求无解，即不存在，故与不共线，可以作为一组基底；
设，由向量相等列不等式组，求出m，n即可；
由，由向量相等列不等式组，求出，即可．
16.【答案】解：由已知，在中，，且，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM与D，

在三角形ACM中，CN：：：3，
所以ND：：：：3，
所以，
．
 

【解析】过N作AB的平行线，交CM与D，利用平行线的性质得到线段的比例关系，结合向量的线性表示得到解答．
本题考查了向量的三角形法则和平面向量基本定理，属于基础题．