初中人教版第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教学设计

21.2.3 提公因式法解一元二次方程的

教学设计

一、内容和内容解析

1．内容

用提公因式法解一元二次方程．

2．内容解析

教材通过实际问题得到方程10x2－4.9x=0，让学生思考解决方程的方法除了之前所学习过的配方法和公式法以外，是否还有更简单的方法解方程，接着思考为什么用这种方法可以求出方程的解，从而引出本节课的教学内容．

解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法将一个一元二次方程转化为两个一次式的乘积为零，是解某些一元二次方程较为简便灵活的一种特殊方法．体现了降次的思想，这种思想在以后处理高次方程时也很重要．

基于以上分析，确定出本节课的教学重点：会用因式分解法解特殊的一元二次方程．
二、目标和目标解析

1．教学目标

（一）知识目标：

（1）了解用因式分解解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程，了解其他的几种解法。

（2）学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程。

（3）明确用因式分解法解一元二次方程的依据和“降次”转化的数学思想方法。

（二）能力目标：

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标：

（1）结合实际与探索，寻找解决问题的策略和方法。

（2）养成良好的学习习惯。

2．目标解析

（1）学生能理解因式分解法的概念，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会利用因式分解求解特殊的一元二次方程；

（2）学生通过对比一元二次方程的结构类型，选用适当的方法合理的解方程，增强解决问题的灵活性．

三、教学问题诊断分析

学生在此之前已经学过了用配方法和公式法求一元二次方程的解，然后通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，符合学生的认知规律．

在实际的教学中，学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积的形式．另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程结构的观察，从而在方法的选择上欠佳，缺乏解决问题的灵活性，增加了计算的难度，降低了计算的准确性．为了突破这一难点，应带领学生认真观察方程的结构，对比方法的难易简便，从而选择合理的方法解决一元二次方程．

本节课的难点：学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．

四、教学过程设计

（一）创设情景，明确目标

问题  根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为10x2－4.9x=0．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？

师：这个物理学规律有一个故事：同学们有没有思考过竖直上抛的物体为什么没有飞上天而是落地呢？大科学家牛顿就是由落在自己头上的苹果陷入思考，而不是象大多数人一样对这种现象熟视无睹，经过探索，最终牛顿发现了万有引力定律，本题中的代数式就是由牛顿发现的定律得到的。这个故事启发我们：只要你有善于发现问题的眼睛，并且乐于探索、思考，说不定下一个牛顿就是你。同学们有没有信心成为象牛顿这样的科学家？　　现在我们就从解决这个问题迈出你超越牛顿的第一步。

师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”．

【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程．在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲．

（二）合作探究，达成目标

探究一　如何求出方程的解呢？

师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程．

【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备．

问题　如果a ·b=0，则有什么结论？对于你解方程有什么启发吗？

师生活动：学生很容易回答有a=0或b=0的结论．由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积．

【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解．

讨论　上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的？

师生活动：学生通过对解决问题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导．

【设计意图】让学生对比不同解法，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法．在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容．

探究点二    例题示范，灵活运用

例　解下列方程

（1）x (x -2) + x - 2=0；           （2）5x2 - 2x -= x2 -2x+．

 师生活动：提问：（1）如何求出方程（1）的解呢？说说你的方法．

（2）对比解法，说说各种解法的特点．

学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同．

【设计意图】问题（1）的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将x -2当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式．通过问题（2）的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构．

小组讨论1 ：提问：运用因式分解法解一元二次方程时方程两边如何处理 ？

小组讨论，师生共同归纳．

【设计意图】找准因式分解法解一元二次方程的关键：右化零，左分解；两因式，各求解．

针对训练1

1.（2015重庆）一元二次方程x2－2x=0的根是(     )             

     A.x1=0，x2=－2        B. x1=1，x2=2

     C. x1=1，x2=－2       D. x1=0，x2=2

2.快速回答，下列方程的要是什么？

（1）x (x -2) =0     （2）(y+2)(y-3)=0

（3）(3x+2)(2x-1)=0   （4）x2=x

【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况．

探究点三   选择恰当的方法解一元二次方程

例2：观察下列方程，选择适当的解法：

：

思考：

（1）哪种方法更简便？

（2）因式分解法适合什么样的方程？

【设计意图】在实际的教学中，学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积的形式．另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程结构的观察，从而在方法的选择上欠佳，缺乏解决问题的灵活性，增加了计算的难度，降低了计算的准确性．为了突破这一难点，应带领学生认真观察方程的结构，对比方法的难易简便，从而选择合理的方法解决一元二次方程．

针对训练2

选择适当的方法解下列方程：

（1） (y -2)2 =5     （2） (y-3)2=4(3-y)

（3）x2-2x-399=0 

【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况．

（三）总结梳理 内化目标

反思小结：一般而言，直接开平方法适合于解形如(x+m)2=n(n≥0)形式的一元二次方程；配方法通常适用于二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程；公式法的意义在于,对于任意的一元二次方程,只要将方程化成一般形式,用公式法求解即可：若一边可以分解成两个因式乘积的形式,可以因式分解法解方程。

师生活动：学生积极思考，归纳因式分解法的一般步骤．总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题．

【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解；而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式；另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想．

（四）达标检测   反思目标

1.方程x (x -3) =x的根是（    ）

A -2     B 0     C 无实根     D 0或-2

2.若（m2+n2+2）（3-m2-n2）＝0，则m2+n2的值为       

3.二次三项式3x2－6x+3分解因式的结果为       ，如果令3x2－6x+3＝0，那么它的两个要是             

4.选择适当的方法解下列方程：

（1） (x -5)2 =4     （2）x2=8x

（3）(2x+1)2=-6x-3  

（五）作业布置

上交作业：教科书第17页第6题

课后作业： “学生用书”的“课后评价案”部分．