高中数学8.1 成对数据的相关关系优秀课后练习题

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8.1.1变量的相关关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：相关关系与函数关系的概念及辨析；判断两个变量是否具有相关关系；判断正负相关

2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳

一、相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
相关关系与函数关系的异同点
(1)相同点：均是指两个变量的关系．
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系．
②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响．
二、散点图
1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；
如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．
2．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．
3．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
3、 散点图的应用
从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。
4、一元线性回归模型与函数模型
一元线性回归模型：我们称为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．
5、最小二乘法和经验回归方程
最小二乘法：我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，
回归方程：方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数．

回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心．
考点讲解


考点1：相关关系与函数关系的概念及辨析
例1．（多选）对于任意给定的两个变量的统计数据，下列说法错误的是（    ）
A．一定可以分析出两个变量之间的关系
B．一定可以用一条直线近似地表示两者之间的关系
C．一定可以画出散点图
D．一定可以用确定的表达式表示两者之间的关系
【答案】ABD
【详解】给出两个变量的统计数据，总可以画出相应的散点图，故C中说法正确；
但不一定能分析出两个变量之间的关系，更不一定符合线性相关，即不一定能用一条直线近似地表示两者之间的关系，故A、B中说法不正确；
两个变量之间不一定具有函数关系，故D中说法不正确．
故选：ABD．
【方法技巧】
利用成对数据的统计相关性进行分析即可.
【变式训练】
1．下列说法正确的是（    ）
A．中的x，y是具有相关关系的两个变量
B．正四面体的体积与棱长具有相关关系
C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量
【答案】D
【分析】根据相关关系的定义、函数的定义即可判断
【详解】A，B均为函数关系，故A、B错误；C，D为相关关系，故C错，D对.
故选：D
2．下列两个量之间的关系是相关关系的是（    ）
A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高
C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量
【答案】C
【分析】根据相关关系和函数关系的概念即可判断
【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，
故选：C
3．给出成对值的数据如下：

1
2
4
8

3
5
9
17
则根据数据可以判断和的关系是______．（填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”）
【答案】确定关系
【分析】根据两个变量的相关关系的概念分析可得答案.
【详解】由题表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系，函数解析式为，
所以x，y之间是一种确定的关系，即函数关系．
故答案为：确定关系．
考点2：判断两个变量是否具有相关关系
例2．给出下列关系，其中具有相关关系的是________．
①考试号与考生考试成绩；②勤能补拙；③水稻产量与气候；④正方形的边长与正方形的面积．
【答案】②③##
【详解】对于①，考试号只是确定考生考试的位置，与考试成绩无关，①不满足；
对于②，勤能补拙具有相关关系，②满足；
对于③，水稻产量与气候具有相关关系，③满足；
对于④，正方形的边长与正方形的面积是函数关系，④不满足.
故答案为：②③.
【方法技巧】
利用相关关系的定义直接判断即可得出结果.
【变式训练】
1．（多选）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量间具有相关关系的是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用散点图判断相关关系的方法，逐一分析各个选项中的图形，判断作答.
【详解】对于A，散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关系；
对于B、C，散点落在某条直线附近，这两个变量具有相关关系；
对于D，散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关性，不具有相关关系.
故选：BC
2．以下两个变量成正相关的是________．
①学生的学籍号与学生的数学成绩；
②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
③气温与冷饮销售量；
④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．
【答案】③④
【分析】利用相关关系的意义可判断①；再利用成相关关系的两个变量中一个变量值变大，另一个变量值是否变大而判断②，③，④作答.
【详解】对于①，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；
对于②，一般情况下，坚持每天吃早餐的人患胃病的概率低，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；
对于③，一般情况下，气温低，喝冷饮的人少，气温与冷饮销售量成正相关关系；
对于④，一般情况下，电瓶车越重，每千米的耗电量越高，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
综上，两个变量成正相关的是③、④.
故答案为：③④
3．在以下4幅散点图中，图______中的y和x之间存在相关关系（将正确答案的序号填在横线上）

【答案】（2）（3）（4）
【分析】根据散点图直接分析可知.
【详解】图（2）（3）中的点成带状区域分布在某一直线附近，（4）中点分布在某一曲线附近，故（2）（3）（4）存在相关关系.
故答案为：（2）（3）（4）
4．【多选】下列说法正确的是( )
A．同一物体的加速度与作用力是函数关系
B．产品的成本与产量之间的关系是相关关系
C．圆的周长与面积的关系是相关关系
D．学生的身高与体重是相关关系
【答案】ABD
【详解】根据函数关系和相关关系的定义可知：AC为函数关系，BD为相关关系
故选：ABD
考点3：判断正负相关
例3．某商场五天内某种恤衫的销售情况如下表：
第天





销售量y（件）





则下列说法正确的是（    ）
A．与负相关 B．与正相关
C．与不相关 D．与成正比例关系
【答案】B
【详解】根据表格中的数据作出散点图如图，

可知所有点都在一条直线附近波动，是线性相关的，且值随着值的增大而增大，即与正相关，
故选：B．
【方法技巧】
作出散点图，可得出结论.
【变式训练】
1．已知变量与正相关，变量与满足，则下列说法正确的是（    ）
A．与正相关，与正相关 B．与正相关，与负相关
C．与负相关，与正相关 D．与负相关，与负相关
【答案】D
【分析】根据关系式可直接判断.
【详解】因为，所以与负相关，
又因为变量与正相关，所以与负相关.
故选：D.
2．下列关于y与x的回归直线方程中，变量成正相关关系的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据选项中的回归直线方程，求得回归系数，结合回归系数的含义，即可求解.
【详解】对于A中，由方程，可得，所以变量成负相关关系；
对于B中，由方程，可得，所以变量成正相关关系；
对于C中，由方程，可得，所以变量成负相关关系；
对于D中，由方程，可得，所以变量成负相关关系；
故选：B.
3．对变量、由观测数据得散点图，对变量、由观测数据得散点图.由这两个散点图可以判断（    ）

A．变量与负相关，与正相关
B．变量与负相关，与负相关
C．变量与正相关，与正相关
D．变量与正相关，与负相关
【答案】B
【分析】根据散点图直接判断可得出结论.
【详解】由散点图可知，变量与负相关，变量与正相关，所以，与负相关.
故选：B.
4．如图是两个变量的散点图，关于的回归方程可能是（    ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】有散点图可知与负相关，结合选项的单调性可得.
【详解】由散点图可知，y与x负相关，易知，当时，函数单调递增，故A错误；
因为函数和单调递增，故BD错误.
故选：C．

知识小结


一、相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
相关关系与函数关系的异同点
(1)相同点：均是指两个变量的关系．
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系．
②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响．
二、散点图
1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；
如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．
2．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．
3．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
4、 散点图的应用
从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。
4、一元线性回归模型与函数模型
一元线性回归模型：我们称为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．
巩固提升

一、单选题
1．下列关于散点图的说法中，错误的是（    ）
A．可以通过散点图绘制数据的频率直方图
B．成对的数据一般适用于散点图
C．任意给定的统计数据，都可以绘制散点图
D．散点图可以看出数据的分布情况
【答案】C
【分析】利用散点图、频率直方图的定义即可判断答案.
【详解】根据散点图、频率直方图的定义，容易得到ABD正确；
而对于C，散点图只能表示两个变量组成的数对，并不能表示任意给定的统计数据，故C错误;
故选：C.
2．通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】正确理解相关系数，相关关系与因果关系的区别是解题的关键.
【详解】当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，但相关关系是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，丁的意见最可能成立.
故选：D.
3．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和身体健康情况；④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量.其中两个变量成正相关的是（    ）
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
【答案】C
【分析】根据变量的相关关系的概念判断即可.
【详解】由变量的相关关系的概念知，②⑤是正相关，①③是负相关，④为函数关系.
故选：C
4．某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：

由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合散点图的特点，选择合适的方程类型作为回归方程类型.
【详解】由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长速度越来越快，
所以最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.
故选：C
5．在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据散点图中两个变量的变化趋势直接判断即可.
【详解】对于A，散点的变化具有波动性，非正相关关系，A错误；
对于B，当变大时，的变化趋势也是逐渐增大，可知两个变量具有正相关关系，B正确；
对于C，当变大时，的变化趋势是逐渐减小，可知两个变量具有负相关关系，C错误；
对于D，两个变量的变化无规律，二者没有相关性，D错误.
故选：B.
6．某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下：
月份






人均销售额






利润率






根据表中数据，下列说法正确的是（    ）A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正出例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
【答案】A
【分析】作出利润率与人均销售额的散点图，可得出结论.
【详解】作出利润率与人均销售额的散点图，如下图所示：

由散点图可知，利润率与人均销售额成正相关关系.
故选：A.
7．下列变量之间的关系是相关关系的是（　　）
A．正方体的表面积与体积
B．光照时间与果树的产量
C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
D．某运动会中某代表团的足球队的比赛成绩与乒乓球队的比赛成绩
【答案】B
【分析】A与C是一种函数关系，D不具备相关关系，B满足相关关系.
【详解】对于A，正方体的体积确定，则表面积随之确定，是一种确定性关系，A错误；
对于B，光照时间越长，果树的产量相对越大，是一种线性相关关系，B正确；
对于C，行驶速度与时间是一种确定的函数关系，C错误；
对于D，足球比赛成绩与乒乓球比赛成绩没有关系，不具有相关关系，D错误.
故选：B
8．已知变量、、都是正数，与的回归方程：，且每增加个单位，减少个单位，与的回归方程：，则（  ）.
A．与正相关，与正相关
B．与正相关，与负相关
C．与负相关，与正相关
D．与负相关，与负相关
【答案】D
【分析】利用已知条件，结合每增加1个单位，减少2个单位，推出，然后判断相关性即可．
【详解】解：由题意与的回归方程：，且每增加1个单位，减少2个单位，变量，，都是正数，
可得：，又，故与正相关，与负相关，可得与负相关．
故选：D．
二、多选题
9．下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（    ）
A．某商品的销售价格与销售量 B．学生的学籍号与学生的数学成绩
C．气温与冷饮的销售量 D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
【答案】CD
【分析】根据相关关系的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，A中为相关关系，且为负相关关系；B中为非确定性关系；C、D中均为相关关系，且为正相关关系．
故选：CD．
10．下列关系中，属于相关关系的是（    ）．
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．农作物的产量与施肥量之间的关系
C．出租车车费与行驶的里程之间的关系
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
【答案】BD
【分析】根据相关关系的概念逐项分析可得答案.
【详解】A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；
B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；
C中，出租车车费与行驶的里程之间的关系为确定的函数关系；
D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
故选：BD．
三、填空题
11．根据一组试验数据画出的散点图如图所示．现有如下5个模拟函数：
①；②；③；④；⑤．
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选______（填序号）．

【答案】④
【分析】由各类函数图象性质判断
【详解】由图可知上述点大体在函数的图象上，故选择可以近似地反映这些数据的规律
故答案为：④
12．以下是收集到的某物品的销售价格y和物品的大小x的数据：
物品大小/m2
11.5
110
80
135
105
销售价格/万元
4.8
21.6
18.4
29.2
22
则根据数据可以判断x，y________相关关系.(填“有”或“无”)
【答案】有
【分析】分析表格数据物品大小与销售价格的关系得解.
【详解】解：物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此，两个变量有相关关系.
故答案为：有
13．下列关系中，属于相关关系的是________(填序号).
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③出租车费与行驶的里程；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
【答案】②④##④②
【分析】利用相关关系和函数关系的概念分析解答.
【详解】在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.
故答案为：②④
14．命题①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题是____________．
【答案】③④⑤
【解析】首先理解相关关系和函数关系的定义，然后根据定义依次判断①②③，根据回归分析的定义判断④⑤.
【详解】客观现象之间存在的相互依存关系叫相关关系，是一种不确定的关系，函数关系是一种确定的关系.
①任何两个变量不一定都具有相关关系，故①错；
②圆的周长与该圆的半径是函数关系，而不是具有相关关系，故②错；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系，故③正确；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的，故④正确；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究，故⑤正确；
故答案为：③④⑤
【点睛】本题考查了相关关系与函数关系的辨析，以及回归分析，属于基础题型，本题的关键是正确理解相关概念.

四、解答题
15．山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
棉花产量y
330
345
365
405
445
450
455
（1）画出散点图；
（2）判断是否具有相关关系.
【答案】（1）散点图见解析；（2）具有相关关系.
【分析】（1）根据已知画出散点图.
（2）结合散点图进行判断.
【详解】（1）散点图如图所示

（2）由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.
16．某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍．有人发现了一个有趣的现象，该地区有5个村庄，其中3个村庄附近栖息的天鹅较多，婴儿出生率也较高；2个村庄附近栖息的天鹅较少，婴儿的出生率也较低．有人认为婴儿出生率和天鹅数之间存在相关关系，并得出一个结论：天鹅能够带来孩子，你同意这个结论吗？为什么？
【答案】不同意；理由见详解.
【分析】根据相关关系的判断方法即可给出理由.
【详解】某个地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，
与这个地区的环境条件有很大的关系，适合天鹅栖息的地区天鹅栖息就较多，
不适合天鹅栖息的地区天鹅栖息就较少，婴儿出生率与生理遗传有关，
当然也受地区环境的影响，但是两者并不存在必然的相关关系，
“天鹅能够带来孩子”这个结论是错误的.