人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课堂检测

人教A版（2019）选择性必修第三册《7.4.2 超几何分布》提升训练

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）已知集合，，，，，，，，则的真子集个数为   

A、

B、

C、

D、

A.  B.  C.  D.

2.（5分）设，则复数的虚部为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知直线的方程为，直线的方程为，则的充要条件是

A. 或 B.  C.  D. 或

4.（5分）将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象，如下结论中不正确的是

A. 图象的对称轴方程为
B. 图象的对称中心为
C. 函数的单调递增区间
D. 函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象

5.（5分）已如定点，动点在线性约東条件所表示的平面区域内，则直线的斜率的取值范围为

A.  B.
C.  D.

6.（5分）若x＞0.y＞0，且x＋y＝，则xy的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.（5分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 
 

A.  B.  C.  D.

8.（5分）在等差数列中，，，则

A.  B.  C.  D.

9.（5分）的展开式中，的系数为

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知，分别是函数，的零点，则

A.  B.  C.  D.

11.（5分）一排个座位坐了个小组的成员，每个小组都是人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为

A.  B.
C.  D.

12.（5分）从数字，，，，中任取两个数，则这两个数的和是的整数倍的概率为

A.  B.  C.  D.

13.（5分）已知，函数恰有个零点，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知，，，，则以，为方向向量的两直线的夹角为______.

15.（5分）已知二次函数为非零整数甲、乙、丙、丁四位同学给出下列四个结论： 
甲：是的零点；乙：是的极值点； 
丙：是的极值；丁：点在曲线上． 
这四个结论中有且只有一个是错误的，则非零整数的值为______．

16.（5分）由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为______．

17.（5分）已知函数经过点，且，请写出一个符合条件的函数表达式：______.

18.（5分）已知矩形的两边长分别为，，是对角线的中点，是边上一点，沿将折起，使得点在平面上的投影恰为如图所示，则此时三棱锥的外接球的表面积是______．
 

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）在锐角中，，，分别为角，，所对的边，，且的面积 
若，求； 
求的最大值．

20.（12分）已知数列的前项和为，且； 
求证：数列为等比数列； 
令，求数列的前项和．

21.（12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念． 
某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：

联合国世界卫生组织于年确定新的年龄分段：岁及以下为青年人，岁至岁为中年人，岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题： 
Ⅰ估计本市一个岁以上青年人每月骑车的平均次数； 
Ⅱ若月骑车次数不少于次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？

．

22.（12分）某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于的产品为优质品，现用两种新配方分别称为配方和配方做试验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：  
配方的频数分布表  

配方的频数分布表  

分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；  
已知用配方生产的一件产品的利润单位：元与其指标值的关系式为，估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率，并求用配方生产的上述产品平均每件的利润．

23.（12分）如图，四边形中，，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使得平面平面． 
若，求几何体的体积；  
求三棱锥的体积的最大值，并求此时二面角的正切值．  
 

答案和解析

1.【答案】null;

【解析】 
 

此题主要考查了子集及其运算，一个集合含有个元素，则其真子集的个数是，属于基础题. 
利用交集运算求出集合，写出其真子集，则答案可求． 
 

解：因为，所以的真子集为Ø，，，共个．

故选：
 

2.【答案】A;

【解析】解：， 
复数的虚部为． 
故选：． 
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

3.【答案】A;

【解析】解：因为或，  
故选：． 
已知：，：，则的充要条件是：，代入运算即可得解． 
该题考查了两直线垂直的充要条件、充分条件、必要条件、充要条件，属简单题
 

4.【答案】D;

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度可以得， 
对，令得，即的对称轴方程， 
对，令得，即的对称中心为， 
对，令得的递增区间为， 
故，，均正确； 
对，向右平移个单位可以得到， 
错误． 
故选： 
根据函数图象平移的性质可得，再分别代入对称轴、对称中心和点掉递增区间求解、、的结论，结合三角函数图象平移的方法判断即可． 
此题主要考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质，函数的对称性，单调性和函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

5.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查简单的线性规划，考查了斜率的求法，属于中档题． 
由约束条件作出可行域，联立方程组求得、的坐标，由两点求斜率公式求得，的斜率，可得的取值范围． 
 
解：由约束条件作出可行域如图： 
 
定点，动点在线性约束条件所表示的平面区域内，则直线的斜率， 
由题意可得，， 
可得， 
，直线的斜率的取值范围为：． 
故选：． 

 

6.【答案】D;

【解析】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故选D.
 

7.【答案】C;

【解析】解：如图，三棱锥为所求，是长方体的一部分，易求， 
故选：． 
画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可． 
此题主要考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

 

8.【答案】C;

【解析】解：由等差中项知， 
， 
故， 
故选： 
利用等差中项整体求解即可． 
此题主要考查了等差中项的应用，属于基础题．
 

9.【答案】A;

【解析】解：， 
的展开式中含的项为， 
的展开式中含的项为． 
的展开式中，的系数为． 
故选：． 
利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有的项得答案． 
此题主要考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
 

10.【答案】C;

【解析】解：由，得，， 
由，得，则，可得， 
也是方程的一个根，而函数为定义域内的单调增函数， 
，则 
故选： 
由已知可得，是方程的根，再由函数为定义域内的单调增函数，可得，从而得答案． 
此题主要考查函数零点的判定及应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法分析． 
根据题意，分步进行分析： 
①将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列 
②每个小组的成员之间全排列， 
由分步计数原理计算可得答案． 
 
 
解：根据题意，分步进行分析： 
①，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，将个小组进行全排列，有种排法， 
②每个小组的成员之间有种排法，有个小组，故共有种排法， 
则不同的坐法有种排法； 
故选：．
 

12.【答案】A;

【解析】解：从数字，，，，中任取两个数， 
基本事件总数， 
这两个数的和是的整数倍包含的基本事件有： 
，，，，共个， 
则这两个数的和是的整数倍的概率为 
故选： 
基本事件总数，利用列举法能求出这两个数的和是的整数倍包含的基本事件有个，由此能求出这两个数的和是的整数倍的概率． 
此题主要考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】D;

【解析】解：函数， 
由得或， 
由，解得，又则或或， 
作出函数图象，如图所示： 
 
由图象可知， 
故选： 
根据分段函数的性质，分别求出两段函数的零点，作出函数图象，利用数形结合法判断，即可得出答案． 
此题主要考查分段函数的性质和函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】;

【解析】解：，， 
， 
又， 
，， 
又， 
设以，为方向向量的两直线的夹角为， 
则 
 
故答案为： 
由已知向量，的坐标，结合求得，在求出，由两向量的夹角公式求得以，为方向向量的两直线的夹角． 
此题主要考查数量积表示两个向量的夹角，如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式即可求解，是中档题．
 

15.【答案】;

【解析】解：①当甲错误时，则乙、丙、丁正确，由是的极值点，是的极值， 
则可设，由点在曲线上， 
得，则，满足题意， 
②当乙错误时，则甲、丙、丁正确，由是的零点，点在曲线上， 
得：， 
由是的极值得：， 
联立解得无解， 
即②不成立， 
③当丙错误时，则甲、乙、丁正确，由是的零点，点在曲线上， 
得：， 
由是的极值点，则， 
联立解得：， 
即③不成立， 
④当丁错误时，则甲、乙、丙正确， 
则有：， 
解得：， 
即④不成立， 
综合①②③④得： 
非零整数的值为， 
故答案为：． 
利用二次函数的极值、对称轴、零点进行简单的合情推理，逐一检验即可得解． 
此题主要考查了二次函数的极值、对称轴、零点及进行简单的合情推理，属中档题．
 

16.【答案】;

【解析】解：由曲线与直线，得，解得或， 
则根据积分的几何意义可知所求的几何面积， 
故答案为：． 
联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论． 
此题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．
 

17.【答案】5x-2（答案不唯一）;

【解析】解：若，则， 
故，即函数经过且， 
故答案为：答案不唯一 
由已知结合基本初等函数及函数的求导公式即可求解． 
本题是一道开放性题目，主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】解：连接、，如下图所示： 
 
易知平面，由于，为的中点，所以，， 
平面，、、平面，， 
易证，、、是三个全等的直角三角形，， 
由勾股定理可得， 
所以，三棱锥的外接球直径为． 
因此，三棱锥的外接球的表面积为． 
故答案为：． 
由平面，结合，证明、、是三个全等的三角形，于是得出，并计算出的长度，然后利用公式可计算出三棱锥的外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案． 
该题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于计算出几何体的各棱长，再利用合适的模型计算出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．
 

19.【答案】解：（I）由△ABC的面积S=2，得bcsinA=2， 
又∵b=2，，得c=． 
∵△ABC是锐角△ABC中，∴cosA==， 
由余弦定理得=+-2bccosA=4+-2×2××=， 
∴a=． 
（II）由余弦定理得=+-2accosB≥2ac-2accosB=2ac（1-cosB）， 
∴4≥2ac（1-cosB）， 
由△ABC的面积S=2，acsinB=2，∴ac=， 
∴4≥2××（1-cosB）==8tan， 
∴0＜tan≤，∴tanB==， 
令y=在（0，]上单调递减， 
∴y≥2-=， 
∴tanB∈（0，]． 
∴tanB的最大值为．;

【解析】 
由已知得，可求，由余弦定理可求得； 
由余弦定理得，由的面积，可得，进而可得，利用，可求的最大值． 
此题主要考查余弦定理，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，属中档题．
 

20.【答案】解：证明：时，，解得； 
时，， 
， 
， 
从而，即， 
数列是以为公比和首项的等比数列． 
由知，即， 
所以， 
记，①， 
， 
则，②， 
由①②得： 
， 
， 
．;

【解析】本题为数列的综合应用，考查等比数列的判定，同时考查了错位相减法求和以及分组转化法求和，属于中档题． 
由，可得，两式相减可得，故数列是以为公比和首项的等比数列； 
由可得，然后分两部分求和，一部分利用错位相减法求和，一部分利用等差数列的求和公式，即可得答案． 

 

21.【答案】解：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为（20×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×55）÷（20+40+40+200+200+300）=42.75； 
（Ⅱ）列联表：

K2==18＞10.828， 
∴能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．;

【解析】 
Ⅰ利用组中值，即可估计本市一个岁以上青年人每月骑车的平均次数；  
Ⅱ根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论． 
此题主要考查独立性检验的应用，本题解答该题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．
 

22.【答案】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3  
∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．  
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42  
∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；  
（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间  
[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，  
∴P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，  
即X的分布列为  

∴X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．;

【解析】 
根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．  
根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．  
该题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题．
 

23.【答案】解：（1）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，FD⊥EF，  
∴FD⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，  
∴FD⊥AF，又AF⊥EF，FD∩EF=F，  
∴AF⊥平面EFDC，  
同理，CE⊥平面ABEF，  
连结FC，将几何体BEC-AFD分成三棱锥A-CDF和四棱锥C-ABEF，  
对于三棱锥A-CDF，棱锥高为AF=BE=3，FD=5，  
∴V三棱锥A-CDF===5，  
对于四棱锥C-ABEF，棱锥高为CE=3，  
∴V四棱锥C-ABEF===6，  
∴几何体BEC-AFD的体积V=V三棱锥A-CDF+V四棱锥C-ABEF=5+6=11．  
（2）设BE=x，∴AF=x（0＜x≤6），FD=8-x，  
∴V三棱锥A-CDF=，  
∴当x=4时，V三棱锥A-CDF有最大值，且最大值为，  
在直角梯形CDEF中，EF=2，CE=2，DF=4，  
∴CF=2，CD=2，DF=4，  
∴CF2+CD2=DF2，∠DCF=90°，∴DC⊥CF，  
又AF⊥平面EFDC，DC⊂平面EFDC，  
∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，∴DC⊥AC，  
∴∠ACF为二面角A-CD-E的平面角，  
tan==，  
∴二面角A-CD-E的正切值为．;
 

【解析】 
推导出平面，从而平面，平面，连结，将几何体分成三棱锥和四棱锥，由此能求出几何体的体积．  
设，则，，，当时，有最大值，为二面角的平面角，由此能求出二面角的正切值．  
该题考查几何体的体积的求法，考查三棱锥的体积的最大值时二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．