人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课堂检测

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1． 12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12))为( )
A．P(X＝6) B．P(X＝5) C．P(X＝3) D．P(X＝7)
【答案】C
【详解】由题意可知随机变量X服从参数为N＝12，M＝5，n＝6的超几何分布．由公式P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，易知eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12))表示的是X＝3的取值概率．
2．（2021·全国高二单元测）纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为，满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，
所以，故选：B.
3．（2021·贵州高二期末）甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则=( )
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】B
【解析】由已知得


故选B．
4.（2021·全国高二专题练）某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（ ）
A．至少有个深度贫困村B．有个或个深度贫困村
C．有个或个深度贫困村D．恰有个深度贫困村
【答案】B
【详解】用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，
故，所以，，
，，
.故选：B
5．（2021·广东中山一中高二月考）甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则=( )
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】B
【解析】由已知得


6．（多选题）（2021·山东菏泽市高二期末）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
【答案】BD
【详解】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，
也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；对于，取出2个白球的概率为，故错误；对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故正确．故选：．
二、填空题
7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________.
【答案】
【解析】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
.
8．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高二月考）把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为_____________.
【答案】2110
【解析】以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，一共能画出C53=10个三角形，
其中钝角三角形有7个，所以X=0，1，2，3，
P(x=0)=C33C103=1120，P(x=1)=C71C32C103=21100，
P(x=2)=C72C31C103=63120，P(x=3)=C73C103=35120，
所以E(X)=0×1120+1×21100+2×63120+3×35150=2110．
9．（2021·辽宁高二月考）设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为_______.
【答案】3
【详解】口袋中有白球个，由已知可得取得白球个数的可能取值为，，
则服从超几何分布，，
，，
,，
,
10．（2021·全国高二专题练习）已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为___________.
【答案】20%
【详解】设10件产品中有x件次品，则＝＝，
所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.．
三、解答题
11．（2021·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A、B、C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．
（1）求3个人来自两个不同专业的概率；
（2）设X表示取到B专业的人数，求X的分布列．
【详解】
令事件A表示“3个来自于两个不同专业”，
表示“3个人来自于同一个专业”，
表示“3个人来自于三个不同专业”，
，
，
个人来自两个不同专业的概率：．
随机变量X有取值为0，1，2，3，
，
，，，
的分布列为：
12．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列.
【详解】
（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，则，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，
∴恰好有2个水果是礼品果的概率为.
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，
再从中随机抽取3个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0,1，2,3，
则.
的分布列为
X
0
1
2
3
P
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
0
1
2
3