人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程优秀达标测试

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2.4圆的方程
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：圆的标准方程；圆的一般方程；点和圆的位置关系；圆的几何性质；圆---求轨迹
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一．圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
二．点与圆的位置关系：
1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
(1)点在圆上 d=r； (2)点在圆外 d＞r； (3)点在圆内 d＜r．
2.给定点及圆.
①在圆内 ②在圆上
③在圆外
三．圆的一般方程： .
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形（称虚圆）.
注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.
圆的直径或方程：已知
考点讲解



考点1：圆的标准方程
例1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
1.以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.
2.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
【变式训练】
【变式2】．已知圆的方程为x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（        ）
A．2 B．3 C．π D．4π
【变式3】．已知圆方程的圆心为（       ）
A． B． C． D．
【变式4】．已知实数x，y满足，则x的最大值是（       ）
A．3 B．2 C．1 D．以上答案都不对

考点2：圆的一般方程
例2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
.
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形（称虚圆）.
注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.
圆的直径或方程：已知
【变式训练】
【变式1】．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】．方程所表示圆的圆心与半径分别为（       ）
A． B． C． D．
【变式3】．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

考点3：点与圆的位置关系
例3．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.
甲：该圆经过点.
乙：该圆的半径为.
丙：该圆的圆心为.
丁：该圆经过点，
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（       ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【方法技巧】
1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
(1)点在圆上 d=r； (2)点在圆外 d＞r； (3)点在圆内 d＜r．
2.给定点及圆.
①在圆内 ②在圆上
③在圆外
【变式训练】
【变式1】．过点可以向圆引两条切线，则的范围是（       ）
A． B．
C． D．
【变式2】．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【变式3】．若点不在圆的外部，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

考点4：圆的几何性质
例4．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．3
【方法技巧】
先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.
【变式训练】
【变式1】．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（       ）
A． B．17 C． D．15
【变式2】．某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（       ）
A． B． C． D．

【变式3】．已知圆关于直线对称，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

考点5：轨迹问题------圆
例5．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【方法技巧】
1.建立合适的平面直角坐标系
2.设出所求的量
3.找出限制条件
4代入
5.化简。下结论
【变式训练】
【变式1】．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是___________．
【变式2】．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.
【变式3】．如图，圆与圆内切，且，大圆的半径为5.过动点P分别作圆､圆的切线PM､PN（M､N分别为切点），使，试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹.


知识小结

一． 求圆轨迹的步骤
1.建立合适的平面直角坐标系
2.设出所求的量
3.找出限制条件
4代入
5.化简。下结论
二．求圆轨迹的方法
1.定义法
2.待定系数法
3.几何法
巩固提升

一、单选题
1．圆的圆心和半径分别是（       ）
A．， B．， C．， D．，
2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（       ）
A． B．
C． D．
3．方程表示的曲线是（       ）．
A． B．
C． D．
4．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（       ）
A． B．9 C．4 D．8
5．已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．圆关于原点对称的圆的方程为（       ）．
A． B．
C． D．
7．已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在圆上取一点A（，），点B为点A关于y轴的对称点，E，F为圆O上的两点，且满足，则EF的斜率为（       ）


A．—2 B． C．—1 D．

二、多选题
9．［多选题］若是一个圆的方程，则实数m可取的值有（       ）
A． B．0 C．1 D．2
10．设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（       ）
A．该圆的圆心为 B．该圆过原点
C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为

三、填空题
11．方程表示圆，则的取值范围为______．
12．在半径为的圆中，一条弦的长度为，则这条弦所对的圆心角是__________．
13．已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________.
14．过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．

四、解答题
15．如图所示，为一弓形，且A，B，C的坐标分别为，，求弓形所在圆的标准方程．

16．已知方程表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.