高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式优秀课时训练

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2.3直线交点坐标与距离公式
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：相交直线交点坐标；两点间的距离公式；点到直线的距离公式；两条平行线间的距离公式
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
一．平面上两直线的位置关系及判断方法
（1）
①平行：且（注意验证）
②重合：且
③相交： 特别地，垂直：
（2）
①平行：且（验证）
②重合：且
③相交： 特别地，垂直：
（3）与直线平行的直线可设为：
与直线垂直的直线可设为：
二． 两点间距离公式
平面上两点间的距离公式：，则
三． 点到直线的距离公式
点到直线的距离公式：
四． 平行线间的距离公式
两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）
五、其他公式
（1）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为
（2）三角形重心坐标公式：，则三角形的重心坐标公式为：
（3）点关于点的对称点的求法：点为中点
（4）点关于直线的对称点的求法：利用直线与直线垂直以及的中点在直线上，列出方程组，求出点的坐标。
考点讲解


考点1：相交直线交点坐标
例1．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．或
【方法技巧】
求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.
【变式训练】
【变式1】．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（      ）
A． B． C． D．
【变式2】．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是______．
【变式3】．直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．
【变式4】．已知两直线和的交点为P．求：
(1)过点P与的直线方程；
(2)过点P且与直线平行的直线方程．

考点2：两点间的距离公式
例2．已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（       ）
A．5 B．6 C． D．

【方法技巧】
1.根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解.
2.平面上两点间的距离公式：，则
【变式训练】
【变式1】．设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（       ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式2】．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（       ）
A． B． C． D．
【变式3】．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．

考点3：点到直线的距离公式
例3．已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．

【方法技巧】
利用对称性求出对称点的坐标。
画出示意图，数形几何，求出结果
【变式训练】
【变式1】．点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
【变式2】．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．
【变式3】．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（       ）
A． B．5 C． D．
【变式4】．已知直线过点，O为坐标原点．
(1)若与OM垂直，求直线的方程；
(2)若O到的距离为2，求直线的方程．


考点4两条平行线间的距离公式
例4．已知两直线与，则与间的距离为（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
1.两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）
2.根据平行线间距离公式即可求解.
【变式训练】
【变式1】．若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为____．
【变式2】．两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．
【变式3】．已知直线.
(1)若，求实数的值；
(2)当时，求直线与之间的距离.


知识小结

1.两点间距离公式
平面上两点间的距离公式：，则
2.点到直线的距离公式
点到直线的距离公式：
3.平行线间的距离公式
两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）
巩固提升

一、单选题
1．若直线：与：垂直，则实数（          ）
A． B．
C． D．
2．直线：与：之间的距离为（       ）
A． B． C． D．
3．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(       )
A． B．
C． D．
4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（       ）

A． B．
C． D．
5．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（       ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
6．点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．
8．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（       ）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
10．下列说法错误的是（       ）
A．点到直线的距离为
B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
三、填空题
11．直线关于直线对称的直线方程为___________.
12．已知的顶点为，则边上的中线长为____．
13．设的最小值为_______.
14．过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为________．
四、解答题
15．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.
(1)求直线AB的方程；
(2)若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程.

16．已知直线和．
(1)若两直线垂直，求实数a的值；
(2)若两直线平行，求两直线间的距离．